2019年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(文科)

1、2019年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）、選擇題共 8 小題，每小題 5分，共 40 分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目 要求的一項(xiàng)。第4頁(yè)（共 16頁(yè)）15 分）已知集合Ax|1<x<2，B x|x> 1 ，則 AB23456A（ 1，1）5 分）已知復(fù)數(shù)B（1，2）C（ 1， +）D1，+）z 2+i，則 z? （B5 分）下列函數(shù)中，在區(qū)間（ 0， +）A y xxBy25 分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的B2A15 分）已知雙曲線AC3D上單調(diào)遞增的是（C ylog xs 值為（C3DD y2 1（a> 0）的離心率是 ，則aB4C2D5 分）設(shè)函數(shù) f（

2、 x） cosx+ bsinx（ b 為常數(shù)），則“ b0”是f（x）為偶函數(shù)” 的（ ）A 充分而不必要條件B必要而不充分條件7C充分必要條件D既不充分也不必要條件5 分）在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述兩顆星的星等與亮度滿足 m2 m1 lg，其中星等為 mk 的星的亮度為 Ek（ k 1，2）已知太陽(yáng)的星等是A 1010.1B10.1Clg10.1D 1010.18（ 5分）如圖， A，B 是半徑為 2的圓周上的定點(diǎn)，P 為圓周上的動(dòng)點(diǎn)， APB 是銳角，大小為 ，圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為（A 4+4cos B 4+4sin C2+2cosD 2+2sin 二、填空題

3、共 6小題，每小題 5分，共 30 分。9（ 5 分）已知向量 （ 4， 3）， （ 6， m），且 ，則m10（5 分）若 x，y滿足則 y x 的最小值為，最大值為26.7，天狼星的星等是 1.45，則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為（11（5分）設(shè)拋物線 y24x的焦點(diǎn)為 F，準(zhǔn)線為 l，則以 F為圓心，且與 l 相切的圓的方程12（ 5 分）某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如圖所示如果網(wǎng)格 紙上小正方形的邊長(zhǎng)為 1，那么該幾何體的體積為13（5 分）已知 l，m是平面 外的兩條不同直線給出下列三個(gè)論斷： l m； m； l 以其中的兩個(gè)論斷作為條件， 余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論

4、， 寫(xiě)出一個(gè)正確的命題： 14（5 分）李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷(xiāo)售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、 桃，價(jià)格依次為 60 元/盒、 65 元/盒、 80 元/盒、 90元/盒為增加銷(xiāo)量，李明對(duì)這四種水 果進(jìn)行促銷(xiāo)：一次購(gòu)買(mǎi)水果的總價(jià)達(dá)到 120 元，顧客就少付 x 元每筆訂單顧客網(wǎng)上支 付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%當(dāng) x10時(shí)，顧客一次購(gòu)買(mǎi)草莓和西瓜各 1盒，需要支付元； 在促銷(xiāo)活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷(xiāo)前總價(jià)的七折，則x 的最大值為 三、解答題共 6小題，共 80 分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。15（13 分）在 ABC 中， a3，bc

5、2，cosB （）求 b， c 的值；（）求 sin（B+C）的值16（13 分）設(shè) an是等差數(shù)列， a1 10，且 a2+10，a3+8，a4+6 成等比數(shù)列（）求 an的通項(xiàng)公式；（）記 an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，求 Sn的最小值17（12 分）改革開(kāi)放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變近年來(lái)，移動(dòng)支付已成為主 要支付方式之一 為了解某校學(xué)生上個(gè)月 A，B 兩種移動(dòng)支付方式的使用情況， 從全校所有的1000 名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100 人，發(fā)現(xiàn)樣本中 A， B 兩種支付方式都不使用的有 5人，樣本中僅使用 A 和僅使用B 的學(xué)生的支付金額分布情況如下：不大于 2000 元大于 2000

6、元僅使用 A27人3人僅使用 B24人1人（）估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月A，B 兩種支付方式都使用的人數(shù)；（）從樣本僅使用 B 的學(xué)生中隨機(jī)抽取 1人，求該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2000元的概率；（）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化現(xiàn)從樣本僅使用B 的學(xué)生中隨機(jī)抽查 1 人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000 元結(jié)合（）的結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅第3頁(yè)（共 16頁(yè)）第19頁(yè)（共 16頁(yè)）CF平面 PAE？說(shuō)明理由）若 ABC 60°，求證：平面）求橢圓 C 的方程；19使用 B的學(xué)生中本月支付金額大于 2000 元的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由18（ 14分）如圖，在四棱錐 P ABCD 中，

7、PA平面 ABCD ，底面 ABCD 為菱形， E為 CD 的中點(diǎn)）求證： BD 平面 PAC；PAB平面 PAE；的右焦點(diǎn)為（ 1， 0），且經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（ 0， 1）設(shè) O 為原點(diǎn)，直線 l ：y kx+t（ t± 1）與橢圓 C 交于兩個(gè)不同點(diǎn) P、Q，直線AP與 x軸交于點(diǎn) M，直線 AQ與 x軸交于點(diǎn) N若|OM|?|ON|2，求證：直線 l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)3220（ 14 分）已知函數(shù) f（x） x3 x2+x（）求曲線 yf（x）的斜率為 1 的切線方程；（）當(dāng) x2， 4時(shí)，求證： x6f（x） x；（）設(shè) F（x）|f（x）（x+a）|（aR），記 F（x）在區(qū)間 2，4上的

8、最大值為 M （ a）當(dāng) M（ a）最小時(shí)，求 a 的值2019 年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題共 8 小題，每小題 5分，共 40 分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目 要求的一項(xiàng)。1（ 5分）已知集合 Ax|1<x<2，B x|x> 1 ，則 AB（）A（ 1，1）B（1，2）C（ 1，+）D（1，+）解： Ax|1<x<2，B x|x> 1 ，ABx|1<x<2x|x>1（ 1，+）故選： C 2（5 分）已知復(fù)數(shù) z2+i，則 z? （ ）A BC 3D 5解： z 2+ i， z? 故選： D 3（5 分）下列函數(shù)中

9、，在區(qū)間（ 0，+）上單調(diào)遞增的是（）A y xBy 2 xC ylog xD y解：在（ 0，+）上單調(diào)遞增，和在（ 0， +）上都是減函數(shù)故選： A4（5 分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（ ）解：模擬程序的運(yùn)行，可得C3D4k1，s1s2不滿足條件 k 3，執(zhí)行循環(huán)體， k2，s2 不滿足條件 k 3，執(zhí)行循環(huán)體， k3，s2 此時(shí)，滿足條件 k3，退出循環(huán)，輸出 s 的值為 2故選： B 5（5 分）已知雙曲線A解：由雙曲線 2 y2 1（a> 0）By21的離心率是 ，則 a（）a> 0），得 b2 1，C2D故選： D 6（5 分）設(shè)函數(shù) f（ x） cosx+

10、 bsinx（ b 為常數(shù)），則“b0”是“f（x）為偶函數(shù)” 的（）A 充分而不必要條件B 必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件解：設(shè)函數(shù) f（ x） cosx+bsinx（b 為常數(shù)）， 則“ b 0” ? “f（x）為偶函數(shù)”， “ f（x）為偶函數(shù)” ? “ b0”， 函數(shù) f（x） cosx+bsinx（b 為常數(shù)）， 則“ b0”是“ f（x）為偶函數(shù)”的充分必要條件 故選： C 足 m2 m1 lg7（5 分）在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述兩顆星的星等與亮度滿，其中星等為 mk 的星的亮度為 Ek（ k 1，2）已知太陽(yáng)的星等是26.7，天狼星的

11、星等是 1.45，則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為（A 1010.1B10.1Clg10.1D 1010.1解：設(shè)太陽(yáng)的星等是 m1 26.7，天狼星的星等是m2 1.45，故選： A 8（ 5分）如圖， A，B 是半徑為 2的圓周上的定點(diǎn)，P 為圓周上的動(dòng)點(diǎn)， APB 是銳角，大小為 ，圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為（A 4+4cos B 4+4sin C2+2cosD 2+2sin 解：由題意可得 AOB 2 APB 2，要求陰影區(qū)域的面積的最大值，即為直線QO AB，即有 QO2，Q 到線段 AB的距離為 2+2cos，AB 2?2sin 4sin，扇形 AOB 的面積為 ?2?4 4，?2?

12、2sin24sin， ABQ 的面積為 （ 2+2cos）?4sin 4sin+4sincos 4sin+2sin2，SAOQ+SBOQ 4sin+2sin2即有陰影區(qū)域的面積的最大值為 4+4sin 故選： B 、填空題共 6小題，每小題 5分，共 30 分。9（ 5 分）已知向量 （ 4， 3）， （ 6， m），且 ，則 m解：由向量 （ 4， 3）， （ 6， m），且 ，得， m 8故答案為： 810（5分）若 x，y滿足則 yx的最小值為，最大值為解：由約束條件 作出可行域如圖，A（2， 1），B（2，3），令 z yx，作出直線 y x，由圖可知，平移直線 y x，當(dāng)直線 zyx

13、過(guò) A 時(shí)， z有最小值為 3，過(guò) B時(shí)， z有最大值 1 故答案為： 3， 111（5分）設(shè)拋物線 y24x的焦點(diǎn)為 F，準(zhǔn)線為 l，則以 F為圓心，且與 l 相切的圓的方程 為所求圓的圓心 F，且與準(zhǔn)線 x 1相切，圓的半徑為 2則所求圓的方程為（ x 1）2+y2 4故答案為：（ x1） 2+ y2 412（ 5 分）某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如圖所示如果網(wǎng)格 紙上小正方形的邊長(zhǎng)為 1，那么該幾何體的體積為該幾何體是把棱長(zhǎng)為 4 的正方體去掉一個(gè)四棱柱，則該幾何體的體積 V 故答案為： 4013（5 分）已知 l，m是平面 外的兩條不同直線給出下列三個(gè)論斷： l

14、m； m； l 以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)正確的命題： 解：由 l，m 是平面 外的兩條不同直線，知：由線面平行的判定定理得：若 l， lm，則 m故答案為：若 l ， l m，則 m 14（5 分）李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷(xiāo)售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、 桃，價(jià)格依次為 60 元/盒、 65 元/盒、 80 元/盒、 90元/盒為增加銷(xiāo)量，李明對(duì)這四種水 果進(jìn)行促銷(xiāo)：一次購(gòu)買(mǎi)水果的總價(jià)達(dá)到 120 元，顧客就少付 x 元每筆訂單顧客網(wǎng)上支 付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%當(dāng) x10時(shí)，顧客一次購(gòu)買(mǎi)草莓和西瓜各 1盒，需要支付元； 在促銷(xiāo)活動(dòng)中，

15、為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷(xiāo)前總價(jià)的七折，則 x 的 最大值為 解：當(dāng) x 10時(shí)，顧客一次購(gòu)買(mǎi)草莓和西瓜各 1 盒，可得 60+80140（元）， 即有顧客需要支付 14010 130（元）； 在促銷(xiāo)活動(dòng)中，設(shè)訂單總金額為 m 元， 可得（ mx）× 80%m×70%，即有 x ，由題意可得 m 120，可得 x 15，則 x 的最大值為 15 元故答案為： 130， 15 三、解答題共 6小題，共 80 分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。15（13 分）在 ABC 中， a3，bc2，cosB （）求 b， c 的值；（）求 sin（B+C）的值解

16、：（ 1） a3，b c 2， cosB 由余弦定理，得 b2 a2+c22accosB， b 7， c b 2 5；2）在 ABC 中， cosB sinB由正弦定理有： sinA sin（ B+C） sin（ A）sinA16（13 分）設(shè) an是等差數(shù)列，a1 10，且 a2+10， a3+8， a4+6 成等比數(shù)列）求 an的通項(xiàng)公式；（）記 an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，求 Sn的最小值解：（） an是等差數(shù)列， a1 10，且 a2+10，a3+8，a4+6 成等比數(shù)列2（ a3+8） 2（ a2+10）（a4+6），2（ 2+2d）2d（ 4+3d），解得 d 2， an a1+

17、（ n 1）d 10+2 n 22n 12（）由 a1 10，d 2，得：Sn 10n+n211n（ n ）2，n5 或 n6 時(shí)， Sn取最小值 3017（12 分）改革開(kāi)放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變近年來(lái)，移動(dòng)支付已成為主 要支付方式之一 為了解某校學(xué)生上個(gè)月 A，B 兩種移動(dòng)支付方式的使用情況， 從全校所 有的 1000 名學(xué)生中隨機(jī)抽取了 100 人，發(fā)現(xiàn)樣本中 A， B 兩種支付方式都不使用的有 5 人，樣本中僅使用 A 和僅使用 B 的學(xué)生的支付金額分布情況如下：不大于 2000 元 大于 2000 元僅使用 A27人3 人僅使用 B24人1 人（）估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月 A

18、，B 兩種支付方式都使用的人數(shù)；（）從樣本僅使用 B 的學(xué)生中隨機(jī)抽取 1人，求該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于 2000元的 概率；（）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化現(xiàn)從樣本僅使用 B 的學(xué)生中隨 機(jī)抽查 1 人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于 2000 元結(jié)合（）的結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅 使用 B的學(xué)生中本月支付金額大于 2000 元的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由解：（）由題意得：從全校所有的 1000 名學(xué)生中隨機(jī)抽取的 100 人中，A，B 兩種支付方式都不使用的有 5 人，僅使用 A 的有 30 人，僅使用 B的有 25 人， A，B 兩種支付方式都使用的人數(shù)有： 10053025 40，估計(jì)該

19、校學(xué)生中上個(gè)月 A， B兩種支付方式都使用的人數(shù)為： 1000×400 人（）從樣本僅使用 B 的學(xué)生有 25 人，其中不大于 2000 元的有 24 人，大于 2000 元的 有 1 人，從中隨機(jī)抽取 1 人，基本事件總數(shù) n25，該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于 2000 元包含的基本事件個(gè)數(shù) m1， 該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于 2000 元的概率 p （）不能認(rèn)為樣本僅使用 B 的學(xué)生中本月支付金額大于 2000 元的人數(shù)有變化， 理由如下：上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化現(xiàn)從樣本僅使用 B 的學(xué)生中隨機(jī)抽查 1 人， 發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于 2000 元的概率為 ， 雖然概率較

20、小，但發(fā)生的可能性為 故不能認(rèn)為樣本僅使用 B 的學(xué)生中本月支付金額大于 2000 元的人數(shù)有變化18（ 14分）如圖，在四棱錐 P ABCD 中，PA平面 ABCD ，底面 ABCD 為菱形， E為 CD 的中點(diǎn)）求證： BD 平面 PAC；）若 ABC 60°，求證：平面 PAB平面 PAE；CF平面 PAE？說(shuō)明理由PA平面 ABCD ，底面 ABCD 為菱形，BD PA，BDAC，PAACA， BD平面 PAC）在四棱錐 PABCD 中， PA平面 ABCD ，底面 ABCD 為菱形，E 為 CD 的中點(diǎn)， ABC 60°，ABAE，PAAE，PAABA， AE平面

21、 PAB， AE? 平面 PAE，平面 PAB平面 PAEPAEABCD 為菱形， E為CD 的中點(diǎn)，解：（）棱 PB 上是存在中點(diǎn) F ，使得 CF平面 理由如下：取 AB 中點(diǎn) G ，連結(jié) GF，CG ， 在四棱錐 P ABCD 中， PA平面 ABCD ，底面 CGAE，F(xiàn)GPA，CGFGG，AEPAA，平面 CFG 平面 PAE，1， 0），且經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（ 0，1）19第24頁(yè)（共 16頁(yè)）+解：（）橢圓 C：可得 bc1， a，則橢圓方程為）設(shè) O 為原點(diǎn)，直線 l ：y kx+t（ t± 1）與橢圓 C 交于兩個(gè)不同點(diǎn) P、Q，直線AP與 x軸交于點(diǎn) M，直線 AQ與 x軸交于點(diǎn) N若|OM|?|ON|2，求證：直線 l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)1 的右焦點(diǎn)為（ 1， 0），且經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（ 0， 1）證明： ykx+t 與橢圓方程 x2+2y22 聯(lián)立，可得（ 1+2k2） x2+4ktx+2t220， 設(shè) P（ x1，y1）， Q（x2， y2）， 16k2t2 4（ 1+2k2）（2t22） 0，x1+x2AP 的方程為x+1，令 y 0，可得 y，即AQ 的方程為x+1，令 y 0，可得 y即 y2） 1+ y1y2（ y1+y2）