2022年圓錐曲線的解題技巧和方法

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載圓錐曲線的解題技巧一.考查目標(biāo)：1.嫻熟把握三大曲線的定義和性質(zhì)；2 .能夠處理圓錐曲線的相關(guān)軌跡問題；3 .能夠處理圓錐曲線的相關(guān)定值.最值問題；二.相關(guān)學(xué)問考查：1 .精確懂得基本概念（如直線的傾斜角.斜率.距離等,也要留意斜率的存在與否）2.嫻熟把握基本公式（如兩點(diǎn)間距離公式.點(diǎn)到直線的距離公式.斜率公式.定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式.到角公式.夾角公式等）3.嫻熟把握求直線方程的方法（如依據(jù)條件敏捷選用各種形式.爭論斜率存在和不存在的各種情形等等）4.在解決直線與圓的位置關(guān)系問題中,要善于運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)以削減運(yùn)算5.明白線性規(guī)劃的意義及簡潔應(yīng)用

2、6.熟識(shí)圓錐曲線中基本量的運(yùn)算7.把握與圓錐曲線有關(guān)的軌跡方程的求解方法（如：定義法.直接法.相關(guān)點(diǎn)法.參數(shù)法.交軌法.幾何法.待定系數(shù)法等）8.把握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的常見判定方法,能應(yīng)用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系解決一些常見問題三.常規(guī)七大題型：（ 1）中點(diǎn)弦問題具有斜率的弦中點(diǎn)問題,常用設(shè)而不求法（點(diǎn)差法）：設(shè)曲線上兩點(diǎn)為 x1 、 y1 , x2 、 y2 ,代入方程,然后兩方程相減,再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式（當(dāng)然在這里也要留意斜率不存在的請(qǐng)款爭論）,消去四個(gè)參數(shù)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2如：（ 1 ） x2y1ab0 與直線相交于a. b,設(shè)弦ab 中點(diǎn)為

3、mx 0 、y0,就有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0y0a 2b 2a 2b 2k0 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載222（） xy22abx0y0a 2b 2 k01a0、 b0 與直線l相交于a .b,設(shè)弦ab 中點(diǎn)為mx 0、y0就有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（3） y2=2px（ p>0）與直線l 相交于 a.b 設(shè)弦 ab 中點(diǎn)為 mx 0、y0、就有 2y0k=2p、即 y0k=p.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

4、- - 歡迎下載典型例題給定雙曲線x2y21 ；過 a（ 2,1）的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)p12及 p2 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載求線段 p1 p2 的中點(diǎn) p 的軌跡方程；（ 2）焦點(diǎn)三角形問題橢圓或雙曲線上一點(diǎn)p,與兩個(gè)焦點(diǎn)f1 . f2 構(gòu)成的三角形問題,常用正.余弦定理搭精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載橋；x 2典 型 例 題設(shè)px、y為 橢圓2ay221 上 任 一點(diǎn),f1 bc、0 , f2 c、0 為焦 點(diǎn),精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載pf1 f2,pf2 f1；sin（ 1）求證離心率e；3sinsin精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資

5、料 - - - 歡迎下載3（ 2）求 |pf1|pf2 |的最值；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 3）直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法為解方程組,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式. 根與系數(shù)的關(guān)系.求根公式等來處理,應(yīng)特殊留意數(shù)形結(jié)合的思想,通過圖形的直觀性幫忙分析解決問題,假如直線過橢圓的焦點(diǎn),結(jié)合三大曲線的定義去解；典型例題精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載拋物線方程 y 2p x1 p0 ,直線 xyt與x 軸的交點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線的右邊；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 1）求證：直線與拋物線總有兩個(gè)不同交點(diǎn)（ 2

6、）設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為a.b,且 oa ob,求 p 關(guān)于 t 的函數(shù) ft 的表達(dá)式；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 4）圓錐曲線的相關(guān)最值（范疇）問題圓錐曲線中的有關(guān)最值（范疇）問題,常用代數(shù)法和幾何法解決；<1>如命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義,一般可用圖形性質(zhì)來解決；<2>如命題的條件和結(jié)論表達(dá)明確的函數(shù)關(guān)系式,就可建立目標(biāo)函數(shù)（通常利用二次函數(shù),三角函數(shù),均值不等式）求最值；（ 1）,可以設(shè)法得到關(guān)于a 的不等式,通過解不等式求出a 的范疇,即： “ 求范疇,找不等式 ”；或者將 a 表示為另一個(gè)變量的函數(shù),利用求函數(shù)的

7、值域求出a 的范疇；對(duì)于（ 2）第一要把 nab 的面積表示為一個(gè)變量的函數(shù),然后再求它的最大值、即：“ 最值問題,函數(shù)思想”；最值問題的處理思路：1.建立目標(biāo)函數(shù)；用坐標(biāo)表示距離,用方程消參轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題,關(guān)鍵為由方程求x.y 的范疇；2.數(shù)形結(jié)合,用化曲為直的轉(zhuǎn)化思想；3.利用判別式,對(duì)于二次函數(shù)求最值,往往由條件建立二次方程,用判別式求最值；4.借助均值不等式求最值；典型例題已知拋物線y2=2pxp>0,過 m（ a、0）且斜率為 1 的直線 l 與拋物線交于不同的兩點(diǎn)a.b,|ab| 2p（1）求 a 的取值范疇；（ 2）如線段 ab 的垂直平分線交x 軸于點(diǎn) n,

8、求 nab 面積的最大值；（ 5）求曲線的方程問題1曲線的外形已知- 這類問題一般可用待定系數(shù)法解決；典型例題已知直線l 過原點(diǎn),拋物線c 的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x 軸正半軸上；如點(diǎn)a（ -1, 0）和點(diǎn) b（ 0,8）關(guān)于 l 的對(duì)稱點(diǎn)都在c上,求直線l 和拋物線c 的方程；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載2曲線的外形未知-求軌跡方程典型例題已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)q（ 2,0）和圓 c：x2+y2 =1、 動(dòng)m點(diǎn) m 到圓 c的切線長與 |mq|的比等于常數(shù)（>0）、n求動(dòng)點(diǎn) m 的軌跡方程,并說明它為什么曲線；oq（ 6） 存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問題在曲線上兩

9、點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱問題,可以按如下方式分三步解決：求兩點(diǎn)所在的直線, 求這兩直線的交點(diǎn),使這交點(diǎn)在圓錐曲線形內(nèi)；（當(dāng)然也可以利用韋達(dá)定理并結(jié)合判別式來解決）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x 2典型例題已知橢圓c 的方程y 21 ,試確定m 的取值范疇,使得對(duì)于直線精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載43y4xm ,橢圓 c 上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 7）兩線段垂直問題精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載圓錐曲線兩焦半徑相互垂直問題,常用k1· k2y1 · y2x1 ·

10、; x21 來處理或用向量的坐標(biāo)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載運(yùn)算來處理；典型例題已知直線 l 的斜率為 k ,且過點(diǎn) p 2、0 ,拋物線 c: y 24x1 ,直線 l 與精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載拋物線 c 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（如圖）；（ 1）求 k 的取值范疇；（ 2）直線 l 的傾斜角為何值時(shí), a.b 與拋物線c 的焦點(diǎn)連線相互垂直；四.解題的技巧方面：在教學(xué)中, 同學(xué)普遍覺得解析幾何問題的運(yùn)算量較大；事實(shí)上, 假如我們能夠充分利用幾何圖形.韋達(dá)定理.曲線系方程,以及運(yùn)用“設(shè)而不求”的策略,往往能夠削減

11、運(yùn)算量；下面舉例說明：（ 1）充分利用幾何圖形解析幾何的爭論對(duì)象就為幾何圖形及其性質(zhì),所以在處懂得析幾何問題時(shí),除了運(yùn)用代數(shù)方程外,充分挖掘幾何條件,并結(jié)合平面幾何學(xué)問,這往往能削減運(yùn)算量；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載典型例題設(shè)直線 3x4 ym0 與圓 x 2y2x2y0 相交于p.q 兩點(diǎn), o 為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載坐標(biāo)原點(diǎn),如opoq ,求 m 的值；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載（2） ） 充分利用韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略我們常常設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)而不求它,而為結(jié)合韋達(dá)定理求解,這種方法在有關(guān)斜率.中點(diǎn)等問

12、題中常常用到；典型例題已知中心在原點(diǎn)o,焦點(diǎn)在y 軸上的橢圓與直線yx1 相交于 p.q 兩點(diǎn),精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載且 opoq , | pq|10 ,求此橢圓方程；2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（3） ） 充分利用曲線系方程2利用曲線系方程可以防止求曲線的交點(diǎn),因此也可以削減運(yùn)算；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2典型例題求經(jīng)過兩已知圓c1： xy 24 x2y0 和 c2 ：xy 22y40 的精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載交點(diǎn),且圓心在直線l ： 2 x4 y10 上的圓的方程；（ 4）充分利用橢圓的參數(shù)方程橢圓的

13、參數(shù)方程涉及到正.余弦,利用正.余弦的有界性, 可以解決相關(guān)的求最值的問題這也為我們常說的三角代換法；x2y2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載典型例題p 為橢圓a 2b 21 上一動(dòng)點(diǎn), a 為長軸的右端點(diǎn),b 為短軸的上端點(diǎn),求四精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載邊形 oapb面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)p 的坐標(biāo)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 5）線段長的幾種簡便運(yùn)算方法 充分利用現(xiàn)成結(jié)果,削減運(yùn)算過程一般地,求直線與圓錐曲線相交的弦ab 長的方法為：把直線方程ykxb 代入圓錐精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載曲線方程中,

14、得到型如ax 2bxc0 的方程,方程的兩根設(shè)為x a , x b ,判別式為,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就 |ab|1k 2 · |xx |1k 2·,如直接用結(jié)論,能削減配方.開方等運(yùn)算精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載| a |精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ab過程；例求直線 xy10 被橢圓 x 24 y 216 所截得的線段ab 的長；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 結(jié)合圖形的特殊位置關(guān)系,削減運(yùn)算在求過圓錐曲線焦點(diǎn)的弦長時(shí),由于圓錐曲線的定義都涉及焦點(diǎn),結(jié)合圖形運(yùn)用圓錐曲線的定義,可回避復(fù)雜運(yùn)算；精品學(xué)習(xí)