2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第2節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與最值 教案 (2)

1、第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值最新考綱1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義.2.會運用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì)1函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為i，如果對于定義域i內(nèi)某個區(qū)間d上的任意兩個自變量的值x1，x2定義當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間d上是增函數(shù)當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間d上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間d上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)yf(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)

2、間d叫做yf(x)的單調(diào)區(qū)間2函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為i，如果存在實數(shù)m滿足條件對于任意的xi，都有f(x)m；存在x0i，使得f(x0)m對于任意的xi，都有f(x)m；存在x0i，使得f(x0)m結(jié)論m為yf(x)的最大值m為yf(x)的最小值1函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論(1)對x1，x2d(x1x2)，0f(x)在d上是增函數(shù)；0f(x)在d上是減函數(shù)(2)對勾函數(shù)yx(a0)的增區(qū)間為(，和，)，減區(qū)間為，0)和(0，(3)在區(qū)間d上，兩個增函數(shù)的和仍是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和仍是減函數(shù)(4)函數(shù)f(g(x)的單調(diào)性與函數(shù)yf(u)和ug(x)的單調(diào)性的關(guān)系是“同增異減”2函數(shù)最值

3、存在的兩個結(jié)論(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大(小)值一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)y的單調(diào)遞減區(qū)間是(，0)(0，)()(2)若定義在r上的函數(shù)f(x)有f(1)f(3)，則函數(shù)f(x)在r上為增函數(shù)()(3)函數(shù)yf(x)在1，)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是1，)()(4)閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，其最值一定在區(qū)間端點取到()答案(1)×(2)×(3)×(4)二、教材改編1函數(shù)yx26x10在區(qū)間(2,4)上()a遞減b遞增c先遞減后遞增 d先遞增后遞減c因為函數(shù)yx26x

4、10的圖象為拋物線，且開口向上，對稱軸為直線x3，所以函數(shù)yx26x10在(2,3)上為減函數(shù)，在(3,4)上為增函數(shù)2下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)的是()ay|x| by3xcy dyx24ay3x在r上遞減，y在(0，)上遞減，yx24在(0，)上遞減，故選a.3若函數(shù)y(2k1)xb在r上是減函數(shù)，則k的取值范圍是_因為函數(shù)y(2k1)xb在r上是減函數(shù)，所以2k10，即k.4已知函數(shù)f(x)，x2,6，則f(x)的最大值為_，最小值為_2易知函數(shù)f(x)在x2,6上為減函數(shù)，故f(x)maxf(2)2，f(x)minf(6).考點1確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)確定函數(shù)單調(diào)性的四種

5、方法(1)定義法利用定義判斷(2)導(dǎo)數(shù)法適用于初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)等可以求導(dǎo)的函數(shù)(3)圖象法由圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間需注意兩點：一是單調(diào)區(qū)間必須是函數(shù)定義域的子集；二是圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要分開寫，用“和”或“，”連接，不能用“”連接(4)性質(zhì)法利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，尤其是利用復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則時，需先確定簡單函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1)函數(shù)f(x)|x23x2|的單調(diào)遞增區(qū)間是()a. b.和2，)c(，1和 d.和2，)(2)函數(shù)y的單調(diào)遞增區(qū)間為_，單調(diào)遞減區(qū)間為_(1)b(2)2，)(，3(1)y|x23x2|如圖所示，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和2，)；單調(diào)遞減區(qū)間是(，1和

6、.故選b.(2)令ux2x6，則y可以看作是由y與ux2x6復(fù)合而成的函數(shù)令ux2x60，得x3或x2.易知ux2x6在(，3上是減函數(shù)，在2，)上是增函數(shù)，而y在0，)上是增函數(shù)，所以y的單調(diào)減區(qū)間為(，3，單調(diào)增區(qū)間為2，)(1)求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟一般為：確定函數(shù)的定義域；求簡單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其依據(jù)是“同增異減”，如本例(2)(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間如本例(2)含參函數(shù)的單調(diào)性一題多解判斷并證明函數(shù)f(x)ax2(其中1a3)在x1,2上的單調(diào)性解法一：(定義法)設(shè)1x1x22，則f(x2)f(x1)ax(x2x1)，由1x

7、1x22，得x2x10,2x1x24，1x1x24，1.又1a3，所以2a(x1x2)12，得a(x1x2)0，從而f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，故當a(1,3)時，f(x)在1,2上單調(diào)遞增法二：(導(dǎo)數(shù)法)因為f(x)2ax，因為1x2，1x38，又1a3，所以2ax310，所以f(x)0，所以函數(shù)f(x)ax2(其中1a3)在1,2上是增函數(shù)定義法證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：任取x1，x2d，且x1x2；作差f(x1)f(x2)；變形(通常是因式分解和配方)；定號(即判斷f(x1)f(x2)的正負)；下結(jié)論(即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間d上的單調(diào)性)1.函數(shù)f(x)|x2

8、|x的單調(diào)遞減區(qū)間是()a1,2 b1,0c(0,2 d2，)a由題意得，f(x)當x2時，2，)是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；當x2時，(，1是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，1,2是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間2判斷并證明函數(shù)f(x)(a0)在(1,1)上的單調(diào)性解法一：(定義法)設(shè)1x1x21，f(x)aa，f(x1)f(x2)aa，由于1x1x21，所以x2x10，x110，x210，故當a0時，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函數(shù)f(x)在(1,1)上遞減；當a0時，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函數(shù)f(x)在(1,1)上遞增法二：(導(dǎo)數(shù)法)f(x)，所以

9、當a0時，f(x)0，當a0時，f(x)0，即當a0時，f(x)在(1,1)上為單調(diào)減函數(shù)，當a0時，f(x)在(1,1)上為單調(diào)增函數(shù)考點2函數(shù)的最值求函數(shù)最值的五種常用方法及其思路(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值(3)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值(4)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點值，求出最值(5)換元法：對比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值(1)若函數(shù)f(x)的最小值為f(0)，則實數(shù)a的取值范圍

10、是()a1,2 b1,0c1,2 d0,2(2)函數(shù)f(x)xlog2(x2)在區(qū)間1,1上的最大值為_(3)函數(shù)yx(x0)的最大值為_(1)d(2)3(3)(1)當x0時，f(x)xa2a，當且僅當x，即x1時，等號成立故當x1時取得最小值2a，f(x)的最小值為f(0)，當x0時，f(x)(xa)2單調(diào)遞減，故a0，此時的最小值為f(0)a2，故2aa2，得1a2.又a0，得0a2.故選d.(2)f(x)log2(x2)在區(qū)間1,1上單調(diào)遞減，f(x)maxf(1)3log213.(3)令t，則t0，所以ytt22，當t，即x時，ymax.逆向問題若函數(shù)f(x)b(a0)在上的值域為，則

11、a_，b_.1f(x)b(a0)在上是增函數(shù)，f(x)minf，f(x)maxf(2)2.即解得a1，b.(1)求函數(shù)的最值時，應(yīng)先確定函數(shù)的定義域如本例(3)(2)求分段函數(shù)的最值時，應(yīng)先求出每一段上的最值，再選取其中最大的作為分段函數(shù)的最大值，最小的作為分段函數(shù)的最小值如例(1)(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)，則必在區(qū)間的端點處取得最值如本例(2)；若函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上不單調(diào)，則最小值為函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)的極小值和區(qū)間端點值中最小的值，最大值為函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)的極大值和區(qū)間端點值中最大的值1.函數(shù)f(x)的值域為_(，44，)當x0時，f(x)x4，當且僅當x2時

12、取等號；當x0時，x4，即f(x)x4，當且僅當x2時取等號，所以函數(shù)f(x)的值域為(，44，)2對于任意實數(shù)a，b，定義mina，b設(shè)函數(shù)f(x)x3，g(x)log2x，則函數(shù)h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_1法一：(圖象法)在同一坐標系中，作函數(shù)f(x)，g(x)圖象，依題意，h(x)的圖象如圖所示易知點a(2,1)為圖象的最高點，因此h(x)的最大值為h(2)1.法二：(單調(diào)性法)依題意，h(x)當0x2時，h(x)log2 x是增函數(shù)，當x2時，h(x)3x是減函數(shù)，所以h(x)在x2時取得最大值h(2)1.考點3函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用比較大小比較函數(shù)值大小的解題思路比較函數(shù)

13、值的大小時，若自變量的值不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用其函數(shù)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)進行比較，對于選擇題、填空題能數(shù)形結(jié)合的盡量用圖象法求解已知函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個單位后關(guān)于y軸對稱，當x2x11時，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，設(shè)af，bf(2)，cf(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為()acabbcbacacb dbacd根據(jù)已知可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，且在(1，)上是減函數(shù)所以aff，f(2)f(2.5)f(3)，所以bac.本例先由f(x2)f(x1)(x2x1)0得出f(x)在(1，)上是減函數(shù)，然后借助對稱性，化變量，2,3于同一單調(diào)區(qū)間，并借

14、助單調(diào)性比較大小解不等式求解含“f”的函數(shù)不等式的解題思路先利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x)f(h(x)的形式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)h(x)(或g(x)h(x)此時要特別注意函數(shù)的定義域定義在2,2上的函數(shù)f(x)滿足(x1x2)·f(x1)f(x2)0，x1x2，且f(a2a)f(2a2)，則實數(shù)a的取值范圍為()a1,2) b0,2)c0,1) d1,1)c因為函數(shù)f(x)滿足(x1x2)f(x1)f(x2)0，x1x2，所以函數(shù)在2,2上單調(diào)遞增，所以22a2a2a2，解得0a1，故選c.本例在求解時，應(yīng)注意隱含條件為a2a2,2，

15、2a22,2教師備選例題f(x)是定義在(0，)上的單調(diào)增函數(shù)，滿足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，則不等式f(x)f(x8)2的解集為_(8,9因為211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2可得fx(x8)f(9)，f(x)是定義在(0，)上的增函數(shù)，所以有解得8<x9.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍(或值)的方法(1)視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；(2)需注意若函數(shù)在區(qū)間a，b上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的(1)(2019·鄭州模擬)函數(shù)y在(1，)上單調(diào)遞增，

16、則a的取值范圍是()aa3 ba3ca3 da3(2)已知f(x)滿足對任意x1x2，都有0成立，那么a的取值范圍是()a(1,2) b.c. d.(1)c(2)c(1)y11，由題意知得a3.所以a的取值范圍是a3.(2)由已知條件得f(x)為增函數(shù)，所以解得a2，所以a的取值范圍是.故選c.分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點的取值如本例(2)1.若函數(shù)f(x)2|xa|3在區(qū)間1，)上不單調(diào)，則a的取值范圍是()a1，) b(1，)c(，1) d(，1b因為函數(shù)f(x)2|xa|3因為函數(shù)f(x)2|xa|3在區(qū)間1，)上不單調(diào)，所以a1.所以a的取值范圍是(1，)故選b.2設(shè)函數(shù)f(x)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，a1)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是()a(，1 b1,4c4，) d(，14，)d作出函