三等角型相似初三壓軸題

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載中考熱點(diǎn)5三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景，一個與等腰三角形的底角相等的頂點(diǎn)在底邊所在的直線上，角的兩邊分別與等腰三角形的兩邊相交如圖所示：等角的頂點(diǎn)在底邊上的位置不同得到的相似三角形的結(jié)論也不同，當(dāng)頂點(diǎn)移動到底邊的延長線時，形成變式圖形，圖形雖然變化但是求證的方法不變。此規(guī)律需通過認(rèn)真做題，細(xì)細(xì)體會。典型例題【例 1】如圖，等邊 abc 中，邊長為6，d 是 bc 上動點(diǎn)， edf =60（1）求證： bde cfd（2）當(dāng) bd=1，fc=3 時，求 be【思路分析】本題屬于典型的三等角型相似，由題意可得b=c= edf =

2、60再用外角可證bed=cdf ，可證 bde 與 cfd 相似排出相似比便可求得線段 be 的長度解： （ 1） abc 是等邊三角形，edf=60 b=c=edf =60 edc= edf +fdc =b+bed bed=fdc bde cfd（ 2） bde cfdbecdbdfcbd=1，fc=3，cd=5 be=35點(diǎn)評： 三等角型的相似三角形中的對應(yīng)邊中已知三邊可以求第四邊?！纠?2】如圖，等腰 abc 中， ab=ac，d 是 bc 中點(diǎn)， edf=b，求證： bde dfe【思路分析】比較例 1 來說區(qū)別僅是點(diǎn)d 成為了 bc 的中點(diǎn)，所以bde 與cfd 相似的結(jié)論依然成立，

3、用相似后的對應(yīng)邊成比例，以及bd=cd 的條件可證得 bde 和 dfe 相似解：ab=ac， edf =b b=c=edf edc= edf +fdc =b+bed bed=fdc bde cfddfdecdbe又 bd=cddfdebdbe即dfbddebe edf =bc a d b e f c d e a b f 學(xué)習(xí)必備歡迎下載 bde dfe點(diǎn)評： 三等角型相似中若點(diǎn)d 是等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)則僅有一對相似三角形，若點(diǎn)d 是底邊中點(diǎn)則有三對相似三角形，bde 與 cfd 相似后若得dfdecfbd加上 bd=cd 可證得 cfd 與 dfe 相似【例 3】如圖，在 abc 中，

4、 ab=ac=5cm，bc=8，點(diǎn) p 為 bc 邊上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)b、c 重合） ，過點(diǎn) p作射線 pm 交 ac 于點(diǎn) m，使 apm= b；（1）求證： abp pcm ；（2）設(shè) bp=x，cm=y求 y 與 x 的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域（3）當(dāng) apm 為等腰三角形時，求 pb 的長【思路分析】第（ 1） （2）小題都是用常規(guī)的三等角型相似的方法。對apm 進(jìn)行等腰三角形的分類討論時，可將條件轉(zhuǎn)化成與abp pcm 相關(guān)的結(jié)論解： （ 1） ab=ac， apm=b apm =b=c apc= apm+mpc=b+bap bap=mpc abp pcm（ 2） bp=x，cm

5、=y，cp=8-xmcbppcabyxx85xxy58512)80(x（ 3）當(dāng) ap=pm 時abpcpapmpc=ab=5 bp=3 當(dāng) ap=am 時 apm=b=c pam=bac 即點(diǎn) p 與點(diǎn) b 重合p 不與點(diǎn) b、c 重合舍去當(dāng) mp=am 時 map=mpa map abc85bcabapmp85abpcpapm即8558xbp=839點(diǎn)評： 等腰三角形分類討論需要靈活應(yīng)用，可采用的方法添底邊上的高，將等腰的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，三等角型相似這類問題中可將等腰的條件轉(zhuǎn)化至abp 和 pcm 中簡化運(yùn)算。a b p c m a b c p m a b c p m 學(xué)習(xí)必備歡迎下載【例

6、4】 （1）在abc中，5acab，8bc，點(diǎn)p、q分別在射線cb、ac上（點(diǎn)p不與點(diǎn)c、點(diǎn)b重合），且保持abcapq. 若點(diǎn)p在線段cb上（如圖10） ，且6bp，求線段cq的長；若xbp，ycq，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；（2）正方形abcd的邊長為5（如圖 12） ， 點(diǎn)p、q分別在直線cb、dc上（點(diǎn)p不與點(diǎn)c、點(diǎn)b重合），且保持90apq. 當(dāng)1cq時，寫出線段bp的長（不需要計(jì)算過程，請直接寫出結(jié)果）. 【思路分析】 本例與前幾例的區(qū)別在于與等腰三角形底角相等的角的頂點(diǎn)不僅在線段上還可以運(yùn)動至線段的延長線上，這類變式問題是上海中考中最常見的，雖然圖形改變， 但

7、是方法不變， 依舊是原來的兩個三角形相似列出比例式后求解。 當(dāng)?shù)妊切巫兪綖檎叫螘r，依然沿用剛才的方法便可破解此類問題。解： （ 1）bapbcpqapq，abcapq，cqpbap. 又acab，cb.qcpabp. abcpbpcq. 5acab，8bc，6bp，268cp，526cq，512cq.（2）若點(diǎn)p在線段cb上，由（ 1）知abcpbpcq. xbp，8bc， xbpbccp8，又ycq，5ab，58xxy，即xxy58512.故所求的函數(shù)關(guān)系式為xxy58512，)80(x.若點(diǎn)p在線段cb的延長線上，如圖11.cpqapbapq，pabapbabc，abcapq，p a

8、 bc p q. 又abcabp180，a b c 備用圖a b c p q a b c d 圖 12a b c 備用圖p q 學(xué)習(xí)必備歡迎下載acbpcq180，acbabc，pcqabp. qcppba. pcabcqbp. xbp，xbpbccp8，5ab，ycq，xyx85，即xxy58512)0(x. （2）當(dāng)點(diǎn)p在線段bc上，255bp，或255bp.當(dāng)點(diǎn)p在線段bc的延長線上，則點(diǎn)q在線段dc的延長線上，2535bp. 當(dāng)點(diǎn)p在線段cb的延長線上，則點(diǎn)q在線段dc的延長線上，2535bp.點(diǎn)評： 此題是典型的圖形變式題，記住口訣：“圖形改變，方法不變”。動點(diǎn)在線段上時，通過哪兩個

9、三角形相似求解，當(dāng)動點(diǎn)在線段的延長線上時，還是找原來的兩個三角形，多數(shù)情況下這兩個三角形還是相似的，還是可以沿用原來的方法求解。強(qiáng)化訓(xùn)練：1.如圖，在 abc 中，8acab，10bc，d是bc邊上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)e在ac邊上，且cade(1) 求證： abd dce；(2) 如果xbd，yae，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的定義域；(3) 當(dāng)點(diǎn)d是bc的中點(diǎn)時，試說明ade 是什么三角形，并說明理由2.已知：如圖，在abc 中，5acab，6bc，點(diǎn) d 在邊 ab上，abde， 點(diǎn) e 在邊 bc 上 又點(diǎn) f 在邊 ac 上， 且bdef(1) 求證： fce ebd；(2) 當(dāng)點(diǎn)

10、 d 在線段 ab 上運(yùn)動時，是否有可能使ebdfcess4如果有可能，那么求出bd 的長如果不可能請說明理由3.如圖，在 abc 中， ab=ac=5，bc=6，p 是 bc 上一點(diǎn)，且bp=2，將一個大小與b 相等的角的頂點(diǎn)放在p 點(diǎn)，然后將這個角繞p 點(diǎn)轉(zhuǎn)動，使角的兩邊始終分別與ab、ac 相交，交點(diǎn)為d、 e。（1）求證 bpd cep（2）是否存在這樣的位置，pde 為直角三角形？c p e a b d a b c d e a b c d e f 學(xué)習(xí)必備歡迎下載若存在，求出bd 的長；若不存在，說明理由。4.如圖，在 abc 中，ab=ac=5，bc=6，p 是 bc 上的一個動點(diǎn)

11、(與 b、c不重合 )，peab 與 e， pfbc 交 ac 與 f，設(shè) pc=x，記 pe=1y，pf=2y（1）分別求1y、2y關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式（2） pef 能為直角三角形嗎?若能，求出cp 的長，若不能，請說明理由。5.如圖，在 abc 中，ab=ac=5，bc=6，p 是 bc 上的一個動點(diǎn)(與 b、c不重合 )，peab 與 e，pfbc 交 ac 與 f，設(shè) pc=x， pef 的面積為 y（1）寫出圖中的相似三角形不必證明；（2）求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x 的取值范圍；（3）若 pef 為等腰三角形，求pc 的長。6.已知在等腰三角形abc中，4,6abbc

12、ac，d是ac的中點(diǎn)，e是bc上的動點(diǎn)（不與b、c重合），連結(jié)de，過點(diǎn)d作射線df，使e d fa，射線df交射線eb于點(diǎn)f，交射線ab于點(diǎn)h. （1）求證：cedadh；（2）設(shè),ecx bfy. 用含x的代數(shù)式表示bh；求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的定義域 . 7.已知在梯形abcd中，adbc，adbc，且ad5，abdc2（1）如圖 8，p為ad上的一點(diǎn)，滿足bpca求證；abpdpc求ap的長（2）如果點(diǎn)p在ad邊上移動（點(diǎn)p與點(diǎn)a、d不重合），且滿足bpea，pe交直線bc于點(diǎn)e，同時交直線dc于點(diǎn)q，那么當(dāng)點(diǎn)q在線段dc的延長線上時，設(shè)apx，cqy，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式

13、，并寫出函數(shù)的定義域；當(dāng)ce1 時，寫出ap的長（不必寫出解題過程）c p e a b f c p e a b f habcdefc d a b p 學(xué)習(xí)必備歡迎下載8.已知：如圖，直角梯形abcd 中， adbc，90b，8ab，12ad，34tanc，amdc，e、f 分別是線段ad、am 上的動點(diǎn)（點(diǎn)e 與 a、d 不重合）且ambfem，設(shè)xde，ymf. （1）求證：dmam；（2）求y與 x 的函數(shù)關(guān)系式并寫出定義域；（3）若點(diǎn) e 在邊 ad 上移動時，efm為等腰三角形，求x 的值；9.已知在梯形abcd 中， adbc，ad bc，且 bc =6，ab=dc=4，點(diǎn) e 是

14、ab 的中點(diǎn)（ 1）如圖， p 為 bc 上的一點(diǎn)，且bp=2求證： bep cpd；（ 2）如果點(diǎn) p 在 bc 邊上移動（點(diǎn)p 與點(diǎn) b、c 不重合），且滿足 epf=c，pf 交直線 cd 于點(diǎn) f，同時交直線ad 于點(diǎn) m，那么當(dāng)點(diǎn) f 在線段 cd 的延長線上時，設(shè)bp=x，df =y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；當(dāng)bepdmfss49時，求 bp 的長10.如圖，在梯形abcd 中， ad/bc，ab=cd=bc=4， ad=2點(diǎn) m 為邊 bc的中點(diǎn)，以m 為頂點(diǎn)作 emf =b，射線 me 交邊 ab 于點(diǎn) e，射線 mf交邊 cd 于點(diǎn) f，連結(jié) ef（1）指

15、出圖中所有與bem 相似的三角形，并加以證明；（2）設(shè) be=x，cf=y，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，并寫出定義域；答案：1.解： （1） ab=ac b=c adc=ade+cde=b+ bad bad=cde abd dce（ 2） abd dceabcdbdcea e f d b m c e d c b a p （第 25 題圖）e d c b a （備用圖）a b c d m e f 學(xué)習(xí)必備歡迎下載xbd，yae，xdc10yxx8108845812xxy)100(x（ 3）acab，d是bc的中點(diǎn) ad bc dae+ ade=90 deae ade 是直角三角形2.解： （

16、1） ab=ac b=c bed+def=c+efc =90又bdef bed=efc fce ebd（2） bd=x，be=x35，xec356 fce ebd2)(bdecssbedfec若ebdfcess44)356(2xx1118x31136356xbd 不存在3.解： （1） ab=ac b=c dpc=dpe+epc=b+bdp epc =bdp abd dce（ 2） dpe=b90若 pde=90 ，在 rtabh 和 rtpde 中cosabh =cosdpe=53pepdabbh53pcbdpepdpc=4 512bd若 ped=90 在 rtabh 和 rtpde 中co

17、sabh =cosped=53pdpeabbh35pcbdpepdpc=4 5320bd（舍去）綜上所述， bd 的長為5124.解： （1）52454)6(541xxy、xy342（2） fpe=b90若 pfe=90 ，在 rtabh 和 rtpfe 中cosabh =cosfpe=53pepfabbh5312yy535245434xx1727x若 pef=90 ，在 rtabh 和 rtpfe 中cosabh =cosfpe=53pepfabbhc p e a b d h c p e a b d h c p e a b f h c p e a b f h 學(xué)習(xí)必備歡迎下載3512yy35

18、5245434xx3x5.解： （1） peb epc（2） pc=xxpf34，)6(54xpe，)6(251654xepeh)6(7532)6(2516342121xxxxehpfy即xxy256475322)30(x（3）當(dāng) pe=pf 時， epc peb，pc=be=x，536xx49x當(dāng) pe=ef 時，xpfph3221，cos eph=cosb，53)6(5432xx43108x當(dāng) fe=pf 時，)6(5221xeppm， cosfpm =cosb，5334)6(52xx2x綜上所述， pc 的長分別為49x、43108、26.解： （1）abbc,accdeedfah又ed

19、fa, cdehcedadh（ 2）cedadh，cecdadahd是ac的中點(diǎn)，6ac，3adcd，又,4cex ab當(dāng)h點(diǎn)在線段ab的延長線上時，334xbh，94bhx當(dāng)h點(diǎn)在線段ab上時，334xbh，94bhx過點(diǎn)d作 dgab, 交bc于點(diǎn)g12dgcgcdabbcac，2,2dgbg當(dāng)h點(diǎn)在線段ab的延長線上時， bhbfgdgf， 9422yxy18890924xyxx當(dāng)h點(diǎn)在線段ab上時，bhbfgdgf，9422yxy81894924xyxx7.解： （1）證明：abp 180aapb，dpc180bpcapb，c p e a b f g h m 學(xué)習(xí)必備歡迎下載bpca，

20、abpdpc 在梯形abcd中，adbc，abcd，adabpdpc解：設(shè)apx，則dp 5x，由abpdpc，得dcpdapab，即252xx解得x11，x24，則ap的長為 1 或 4（2）解：類似（1），易得abpdpq，dqappdab即yxx252，得225212xxy，1x4ap2 或ap358.證明： （1）過點(diǎn) m 作admg交ad于 g am/dccamb8ab,90bbmabcambtantanbm8346bmad/bc ，ab/mg ag=bm=6 ad=12 ag=gd agmdgmam=dm (2) ambfemaf eam befmaemfmememam22226)-(8em1086amxyxx2222)6(8)6(8101056101y2xx定義域?yàn)椋?20 x(3) femaefmaeefmem fm 若efm為等腰三角形，則ef=em 或 ef=fm 當(dāng) ef=e