2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）考點13 指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算（解析版）

1、考點13 指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算【命題解讀】學(xué)生應(yīng)指數(shù)冪的含義及運(yùn)算法則，實數(shù)指數(shù)冪的意義；理解對數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，換底公式使用方法，對數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)；【基礎(chǔ)知識回顧】 1根式(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)(2)性質(zhì)：()na(a使有意義)；當(dāng)n為奇數(shù)時，a，當(dāng)n為偶數(shù)時，|a|2分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a(a0，m，nn*，且n1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a(a0，m，nn*，且n1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義(2)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：arasars；(ar)sars；(ab)rarbr，其中a0，b0

2、，r，sq3對數(shù)的概念如果abn(a>0且a1)，那么數(shù)b叫做以a為底n的對數(shù)，記作loganb，其中_a_叫做對數(shù)的底數(shù)，_n_叫做真數(shù)4對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則(1)對數(shù)的運(yùn)算法則如果a>0且a1，m>0，n>0，那么loga(mn)logamlogan；logalogamlogan；logamnnlogam (nr)；mnlogam(2)對數(shù)的性質(zhì)_n_；logaan_n_(a>0且a1)(3)對數(shù)的重要公式換底公式：logan (a，c均大于零且不等于1)；logab，推廣logab·logbc·logcdlogad1、設(shè)a， b， c均為

3、不等于1的正實數(shù)， 則下列等式中恒成立的是a b c d【答案】b【解析】，1 考察對數(shù)2個公式： ，對選項a：，顯然與第二個公式不符，所以為假對選項b：，顯然與第二個公式一致，所以為真對選項c：，顯然與第一個公式不符，所以為假對選項d：，同樣與第一個公式不符，所以為假所以選b2、=a b c 2 d 4【答案】d【解析】3、化簡4a·b÷的結(jié)果為()abc d6ab【答案】c【解析】原式6ab6ab1.4、(多選)已知aa13，在下列各選項中，其中正確的是()aa2a27 ba3a318caa± da2【答案】abd【解析】在選項a中，因為aa13，所以a2a2

4、(aa1)22927，故a正確；在選項b中，因為aa13，所以a3a3(aa1)(a21a2)(aa1)·(aa1)233×618，故b正確；在選項c中，因為aa13，所以(aa)2aa125，且a0，所以aa，故c錯誤；在選項d中，因為a3a318，且a0，所以a3a3220，所以a2，故d正確5、的值是_【答案】1【解析】6、計算：log54log210(3)7log72_【答案】0【解析】原式log52log210(3)2log5(1032)log551.7、（2012北京）已知函數(shù)，若，則 【答案】2【解析】由，得，于是考向一指數(shù)冪的運(yùn)算例1化簡下列各式(其中各字母

5、均為正數(shù))(1)0.00210(2)10(2)(a>0，b>0)(3) 0；(4)【解析】(1)原式50011010201.(2)原式a1b12.(3原式=110.(4)原式.變式1、計算下列各式的值：（）；（）【解析】（）原式；（）原式變式2、已知3，求的值【解析】設(shè)t，則，已知即t3.于是，t3·，而x2x2t42, 將t3，平方得 t229，于是t27.從而，原式.方法總結(jié)：(1)指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計算，這時要注意：必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；運(yùn)算的先后順序(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時，先確定符號，再把底數(shù)化為正數(shù)(3)運(yùn)算

6、結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)考向二 對數(shù)的運(yùn)算例1、（1）化簡：_（2）化簡：_（3）設(shè)2a5bm，且2，則m等于( )a. b. c. d. 【解析】（1）原式1（2）23·2log0548·8·2log248·8·2（3）d 由2a5bm得alog2m，blog5m，logm2logm5logm102，logm102，m210，m變式1、化簡下列各式：(1)lg25lg2lglg(0.01)1；(2)(lg2)2lg2·lg50lg25；(3)計算(log32log92)·(log43log

7、83)；（4）2log32log3log383log55；【解析】(1)原式lglg.(2) 原式(lg2)2(1lg5)lg2lg52(lg2lg51)lg22lg5(11)lg22lg52(lg2lg5)2.(3) (log32log92)·(log43log83)···.（4）2log32log3log383log55log322log3(32×25)log3233log3(22×32×25×23)3log3323231.變式2、(1)2log32log3log38；(2)(log2125log425log8

8、5)·(log52log254log1258)【解析】(1)原式2log325log3223log3231.(2)(方法1)原式log25·3log5213··log5213.(方法2)原式13.方法總結(jié)：對數(shù)的運(yùn)算主要是要熟練掌握三條運(yùn)算性質(zhì)，不能把公式記錯，當(dāng)然也有一定的運(yùn)算技巧，例如：(1)拆：首先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡合并；(2)合：將對數(shù)式化為同底數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運(yùn)算考向三 指數(shù)是與對數(shù)式的綜合例3(1)已知a

9、，b，c均為正數(shù)，且3a4b6c，求證： ；(2)若60a3，60b5，求的值【解析】(1)設(shè)3a4b6ck，則k>1.由對數(shù)定義得alog3k，blog4k，clog6k，則2logk3logk4logk9logk4logk36.又2logk6logk36，.(2)由alog603，blog605，得1b1log605log6012，于是1ab1log603log605log604，則有l(wèi)og124，1212log12412log1222.變式1、設(shè)2a5bm，且2，則m等于_.由2a5bm得alog2m，blog5m，logm2logm5logm10.2，logm102，m210，m

10、.方法總結(jié)：這是一道關(guān)于指數(shù)式與對數(shù)式的混合問題，求解這類問題，以下兩點值得關(guān)注：1. 根據(jù)對數(shù)的定義，對數(shù)式與指數(shù)式能夠相互轉(zhuǎn)化，其解答過程體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，其核心是化生為熟、化難為易、化繁為簡，困難之處在于將指數(shù)由“高”降“低”，便于進(jìn)一步計算，這是指、對數(shù)運(yùn)算經(jīng)常使用的方法2. 不同底數(shù)的對數(shù)計算、化簡與恒等證明的常用方法是利用換底公式，先將底數(shù)統(tǒng)一，再利用同底的對數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計算和化簡，求得結(jié)果1、（2013浙江）已知為正實數(shù)，則a b c d【答案】d【解析】取特殊值即可，如取2、（2020全國文8）設(shè)，則（ ）a b c d【答案】b【解析】由可得，有，故選b3、（2017新課標(biāo)）設(shè)為正數(shù)，且，則a      b     c     d【答案】d【解析】設(shè)，因為為正數(shù)，所以，則，所以，則，排除a、b；只需比較與，則，選d4、（2017北京）根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限m約為，而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)約為則下列各數(shù)中與最接近的是（參考數(shù)據(jù)：048）a b  c d【答案】d【解析】設(shè)，兩邊取對數(shù)得，所以，即最接近，選d5、（2020全國理12）若，則（ ）abcd【