初一數(shù)學(xué)奧賽基礎(chǔ)知識講義

1、1 七年級奧賽數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識講義主講：王三祝第一講 和絕對值有關(guān)的問題一、知識結(jié)構(gòu)框圖：數(shù)二、絕對值的意義：(1)幾何意義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a 的點到原點的距離叫做數(shù)a 的絕對值，記作 |a|。(2)代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身；負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值是零。也可以寫成：| | 0 a a a a a a 當(dāng) 為正數(shù)當(dāng) 為0 當(dāng) 為負(fù)數(shù)說明：（） |a| 0 即|a|是一個非負(fù)數(shù)；（） |a| 概念中蘊(yùn)含分類討論思想。三、典型例題例1（數(shù)形結(jié)合思想）已知a、b、c 在數(shù)軸上位置如圖：則代數(shù)式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（）a

2、-3a b 2ca c2a2b d b 解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 分析：解絕對值的問題時，往往需要脫去絕對值符號，化成一般的有理數(shù)計算。脫去絕對值的符號時，必須先確定絕對值符號內(nèi)各個數(shù)的正負(fù)性，再根據(jù)絕對值的代數(shù)意義脫去絕對值符號。這道例題運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，由a、b、c 在數(shù)軸上的對應(yīng)位置判斷絕對值符號內(nèi)數(shù)的符號，從而去掉絕對值符號，完成化簡。例2已知：，且，那么的值（）a是正數(shù)b是負(fù)數(shù)c是零d不能確定符號解：由題意， x、y、z 在數(shù)軸上的位置如圖所示：所以分析：數(shù)與代數(shù)這一領(lǐng)域中數(shù)形結(jié)合

3、的重要載體是數(shù)軸。這道例題中三個看似復(fù)雜的不等關(guān)系借助數(shù)軸直觀、輕松的找到了 x、y、z 三個數(shù)的大小關(guān)系，為我們順利化簡鋪平了道路。雖然例題中沒有給出數(shù)軸，但我們應(yīng)該有數(shù)形結(jié)合解決問題的意識。例 3（分類討論的思想）已知甲數(shù)的絕對值是乙數(shù)絕對值的 3 倍，且在數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點的兩側(cè)，兩點之間的距離為8，求這兩個數(shù)；若數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點同側(cè)呢？分析：從題目中尋找關(guān)鍵的解題信息，“ 數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點的兩側(cè)” 意味著甲乙兩數(shù)符號相反，即一正一負(fù)。那么究竟誰是正數(shù)誰是負(fù)數(shù)，我們應(yīng)該用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決這一問題。解：設(shè)甲數(shù)為 x，乙數(shù)為 y 由題意得：，（1）數(shù)軸

4、上表示這兩數(shù)的點位于原點兩側(cè)：若x 在原點左側(cè)， y 在原點右側(cè)，即x0，則4y=8 ，所以 y=2 ,x= -6 若x 在原點右側(cè)， y 在原點左側(cè)，即x0，y0，y0，則2y=8 ，所以 y=4,x=12 例4（整體的思想）方程的解的個數(shù)是（）a1 個b2 個c3 個d無窮多個分析：這道題我們用整體的思想解決。將x-2008 看成一個整體，問題即轉(zhuǎn)化為求方程的0 ) ( ) ( y x z y z x y x z y z x 2 2010 2008 1 8 6 1 6 4 1 4 2 1 解，利用絕對值的代數(shù)意義我們不難得到，負(fù)數(shù)和零的絕對值等于它的相反數(shù)，所以零和任意負(fù)數(shù)都是方程的解，即

5、本題的答案為d。例5（非負(fù)性）已知 |ab 2|與|a1|互為相互數(shù)，試求下式的值1 1 1 1 1 1 2 2 2007 2007 ab a b a b a b 分析：利用絕對值的非負(fù)性，我們可以得到：|ab 2|=|a1|=0，解得： a=1,b=2 于是1 1 1 1 1 1 2 2 2007 2007 ab a b a b a b 2009 2008 2009 1 1 2009 1 2008 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2009 2008 1 4 3 1 3 2 1 2 1 在上述分?jǐn)?shù)連加求和的過程中，我們采用了裂項的方法，巧妙得出了最終的結(jié)果同學(xué)們可以再深入思考，如果

6、題目變成求值，你有辦法求解嗎？有興趣的同學(xué)可以在課下繼續(xù)探究。例6（距離問題）觀察下列每對數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點間的距離4 與，3 與5，與，與3. 并回答下列各題：（1）你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個數(shù)的差的絕對值有什么關(guān)系嗎？答：_ . （2）若數(shù)軸上的點 a 表示的數(shù)為 x，點b 表示的數(shù)為 1，則a 與b 兩點間的距離可以表示為分析：點 b 表示的數(shù)為 1，所以我們可以在數(shù)軸上找到點 b 所在的位置。那么點a 呢？因為 x 可以表示任意有理數(shù)，所以點a 可以位于數(shù)軸上的任意位置。那么，如何求出a 與b 兩點間的距離呢？結(jié)合數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)分以下三種情況進(jìn)行討論。當(dāng)x0，距離為 x+1 綜上，我們

7、得到 a 與b 兩點間的距離可以表示為（3）結(jié)合數(shù)軸求得的最小值為，取得最小值時 x 的取值范圍為_. 分析：即x 與2 的差的絕對值，它可以表示數(shù)軸上x 與2 之間的距離。即x 與-3 的差的絕對值，它也可以表示數(shù)軸上x 與-3 之間的距離。如圖， x 在數(shù)軸上的位置有三種可能：圖1 圖2 圖3 圖2 符合題意（4）滿足的x 的取值范圍為分析：同理表示數(shù)軸上 x 與-1 之間的距離，表示數(shù)軸上 x 與-4 之間的距離。本題即求，當(dāng) x 是什么數(shù)時 x 與-1 之間的距離加上 x 與-4 之間的距離會大于 3。借助數(shù)軸，我們可以得到正確答案： x-1。說明：借助數(shù)軸可以使有關(guān)絕對值的問題轉(zhuǎn)化為

8、數(shù)軸上有關(guān)距離的問題，反之，有關(guān)數(shù)軸上的距離問題也可以轉(zhuǎn)化為絕對值問題。這種相互轉(zhuǎn)化在解決某些問題時可以帶來方便。事實上，表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)a與數(shù)b的點之間的距離。這是一個很有用的結(jié)論，我們正是利用這一結(jié)論并結(jié)合數(shù)軸的知識解決了（3）、（ 4）這兩道難題。四、小結(jié)1理解絕對值的代數(shù)意義和幾何意義以及絕對值的非負(fù)性2體會數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用3 2008 2007 1 2007 2007 2007 2 2 2 2 3 2 3 a a a a a a a 2008 2007 1 2007 2007 2 2007 2 ) 1 ( 2007 2 2007 2 2

9、 2 2 2 2 2 2 3 a a a a a a a a a a a a a 第二講：代數(shù)式的化簡求值問題一、知識鏈接1“ 代數(shù)式 ” 是用運(yùn)算符號把數(shù)字或表示數(shù)字的字母連結(jié)而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等內(nèi)容，是初中階段同學(xué)們應(yīng)該重點掌握的內(nèi)容之一。2用具體的數(shù)值代替代數(shù)式中的字母所得的數(shù)值，叫做這個代數(shù)式的值。注：一般來說，代數(shù)式的值隨著字母的取值的變化而變化3求代數(shù)式的值可以讓我們從中體會簡單的數(shù)學(xué)建模的好處，為以后學(xué)習(xí)方程、函數(shù)等知識打下基礎(chǔ)。二、典型例題例1若多項式2 2 2 的值與 x無關(guān)，求2 2 的值. 分析：多項式的值與 x 無關(guān)，即含 x 的項系數(shù)均為零因為2

10、2 2 2 yxmxyxxxmx 所以m=4 將m=4 代人， 4 4 5 2 2 2 2 mmmmmm 利用“ 整體思想 ” 求代數(shù)式的值例2x=-2 時，代數(shù)式 6 3 5 cxbxax的值為 8，求當(dāng) x=2時，代數(shù)式 6 3 5 cxbxax的值。分析：因為 8 6 3 5 cxbxax 當(dāng)x=-2 時， 8 6 2 2 2 3 5 cba得到86222 3 5 cba，所以 14 6 8 2 2 2 3 5 cba 當(dāng)x=2 時， 6 3 5 cxbxax=206)14(6222 3 5 cba 例3當(dāng)代數(shù)式 5 3 2 xx的值為 7時,求代數(shù)式 293 2 xx的值. 分析：觀察

11、兩個代數(shù)式的系數(shù)由 7 5 3 2 xx得23 2 xx，利用方程同解原理，得693 2 xx 整體代人， 4 2 9 3 2 xx 代數(shù)式的求值問題是中考中的熱點問題，它的運(yùn)算技巧、解決問題的方法需要我們靈活掌握，整體代人的方法就是其中之一。例4已知 0 1 2 aa ，求20072 2 3 aa 的值. 分析：解法一（整體代人）：由 0 1 2 aa 得0 2 3 aaa 所以：解法二（降次）：方程作為刻畫現(xiàn)實世界相等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，還具有降次的功能。由 0 1 2 aa ，得aa1 2 ，所以：解法三（降次、消元）： 1 2 aa （消元、減項）2 0 0 8 2 0 0 7 1 2 0

12、 0 7 2 0 0 7 ) ( 2 0 0 7 2 0 0 7 2 2 2 2 2 2 3 2 3 a a a a a a a a a a a 例5（實際應(yīng)用） a 和b 兩家公司都準(zhǔn)備向社會招聘人才，兩家公司招聘條件基本相同，只有工資待遇有如下差異： a 公司，年薪一萬元，每年加工齡工資200 元；b 公司，半年薪五千元，每半年加工齡工資 50 元。從收入的角度考慮，選擇哪家公司有利？分析：分別列出第一年、第二年、第n 年的實際收入（元）第一年： a 公司10000；b 公司5000+5050=10050 4 第二年： a 公司10200；b 公司5100+5150=10250 第n 年：

13、a 公司10000+200(n-1）；b 公司： 5000+100(n-1)+5000+100(n-1)+50 =10050+200(n-1) 由上可以看出 b 公司的年收入永遠(yuǎn)比 a 公司多 50 元，如不細(xì)心考察很可能選錯。例6三個數(shù) a、b、c 的積為負(fù)數(shù)，和為正數(shù)，且bc bc ac ac ab ab c c b b a a ，則1 2 3 cxbxax的值是 _。解：因為 abc0 ，所以 a、b、c 中只有一個是負(fù)數(shù)。不妨設(shè) a0，c0 則ab0 所以x=-1+1+1-1-1+1=0 將x=0 代入要求的代數(shù)式，得到結(jié)果為1。同理，當(dāng) b0 時，即 x 5 2 ，5x-2=3，5x

14、=5，x=1 因為x=1 符合大前提 x 5 2 ，所以此時方程的解是 x=1 當(dāng)5x-2=0 時，即 x= 5 2 ，得到矛盾等式 0=3，所以此時方程無解當(dāng)5x-20 時，即 x1，x-1=-2x+1，3x=2，x= 3 2 因為x= 3 2 不符合大前提 x1，所以此時方程無解當(dāng)x-1=0 時，即 x=1，0=-2+1，0 =-1，此時方程無解當(dāng)x-10 時，即 x1，1-x=-2x+1，x=0 因為x=0 符合大前提 x1，所以此時方程的解為 x=0 綜上，方程的解為 x=0 三、小結(jié)1、體會方程思想在實際中的應(yīng)用2、體會轉(zhuǎn)化的方法，提升數(shù)學(xué)能力7 第四講：圖形的初步認(rèn)識一、相關(guān)知識鏈

15、接：1認(rèn)識立體圖形和平面圖形我們常見的立體圖形有長方體、正方體、球、圓柱、圓錐，此外，棱柱，棱錐也是常見的幾何體。我們常見的平面圖形有正方形、長方形、三角形、圓2 立體圖形和平面圖形關(guān)系立體圖形問題常常轉(zhuǎn)化為平面圖形來研究，常常會采用下面的作法（1）畫出立體圖形的三視圖立體圖形的的三視圖是指正視圖（從正面看）、左視圖（從左面看）、俯視圖（從上面看）得到的三個平面圖形。（2）立體圖形的平面展開圖、常見立體圖形的平面展開圖圓柱、圓錐、三棱柱、三棱錐、正方體（共十一種）二、典型問題：（一）正方體的側(cè)面展開圖（共十一種）分類記憶：第一類，中間四連方，兩側(cè)各一個，共六種。第二類，中間三連方，兩側(cè)各有一、

16、二個，共三種。第三類，中間二連方，兩側(cè)各有二個，只有一種。第四類，兩排各三個，只有一種?；疽螅?. 在右面的圖形中是正方體的展開圖的有（）（a）3 種（b）4 種（c）5 種（d）6 種2下圖中 , 是正方體的展開圖是 ( ) a b c d 3如圖四個圖形都是由 6 個大小相同的正方形組成，其中是正方體展開圖的是（）abcd較高要求：4下圖可以沿線折疊成一個帶數(shù)字的正方體，每三個帶數(shù)字的面交于正方體的一個頂點，則相交于一個頂點的三個面上的數(shù)字之和最小是( ) a7 b8 c9 d10 5一個正方體的展開圖如右圖所示，每一個面上都寫有一個自然數(shù)并且相對兩個面所寫的兩個數(shù)之和相等，那么a+b

17、-2c= （）a40 b.38 c.36 d. 34 分析：由題意8+a=b+4=c+25 所以b=4+a c=a-17 所以a+b-2c=a+(4+a)-2(a-17)=4+34=38 1 2 3 6 4 5 c 8 4 25 b a 8 6將如圖所示的正方體沿某些棱展開后，能得到的圖形是（） abcd7下圖是某一立方體的側(cè)面展開圖，則該立方體是（）還原正方體，正確識別正方體的相對面。（二）常見立體圖形的平面展開圖8下列圖形是四棱錐的展開圖的是（）（a）（b）（c）（d）9下面是四個立體圖形的展開圖，則相應(yīng)的立體圖形依次是( ) a正方體、圓柱、三棱柱、圓錐b.正方體、圓錐、三棱柱、圓柱c正

18、方體、圓柱、三棱錐、圓錐d.正方體、圓柱、四棱柱、圓錐10下列幾何體中是棱錐的是（）a. b. c. d. 11如圖是一個長方體的表面展開圖，每個面上都標(biāo)注了字母，請根據(jù)要求回答問題：（1）如果 a 面在長方體的底部，那么哪一個面會在上面？（2）若f 面在前面， b 面在左面，則哪一個面會在上面？（字母朝外）（3）若c 面在右面， d 面在后面，則哪一個面會在上面？（字母朝外）答案：（ 1）f ；（2）c，a （三）立體圖形的三視圖12如圖，從正面看可看到的是( c ) 13對右面物體的視圖描繪錯誤的是（c ）14如圖的幾何體，左視圖是（b ）15如圖，是由幾個相同的小正方體搭成的幾何體的三種

19、視圖，則搭成這個幾何體的小正方體的個數(shù)是 ( ) a3 b4 c5 d6 （四）新穎題型16. 正方體每一面不同的顏色對應(yīng)著不同的數(shù)字，將四個這樣的正方體如圖拼成一個水平放置的長方體，那么長方體的下底面數(shù)字和為 . 分析：正面 黃，右面 紅，上面 藍(lán)，后面 紫，下面 白，左面 綠所以，從右到左，底面依次為：白、綠、黃、紫數(shù)字和為： 4+6+2+5=17 17觀察下列由棱長為1 的小正方體擺成的圖形，尋找規(guī)律，如圖所示共有 1 個小立方體，其中 1 個看得見， 0 個看不見；如圖所示：共有 8 個小立方體，其中 7 個看得見， 1 個看不見；如圖所示：共有 27 個小立方體，其中 19 個看得見

20、， 8 個看不見 ?（1）寫出第個圖中看不見的小立方體有125 個；（ 2）猜想并寫出第 (n)個圖形中看不見的小立方體的個數(shù)為_ (n-1) 3 _個. 分析：1 1=1 0=0 3 2 8=2 3 1=1 3 3 27=3 3 8=2 3 4 64=4 3 27=3 3 n n 3 (n-1) 3 d c b a 俯視圖左視圖主視圖a b c d c (2) a d b 9 第五講：線段和角一、知識結(jié)構(gòu)圖直線線段直線性質(zhì)射線線段的比較和畫法線段的中點線段性質(zhì)兩點間的距離角角的分類角的比較、度量和畫法相關(guān)角角平分線平角直角銳角周角鈍角余角和補(bǔ)角定義性質(zhì)同角（或等角）的補(bǔ)角相等同角（或等角）的

21、余角相等二、典型問題：（一）數(shù)線段 數(shù)角數(shù)三角形問題1、直線上有 n 個點，可以得到多少條線段？分析：點線段2 1 3 3 =1+2 4 6=1+2+3 5 10=1+2+3+4 6 15=1+2+3+4+5 ? n 1+2+3+ ? +(n-1)= 2 問題2如圖，在 aob 內(nèi)部從o 點引出兩條射線 oc、od，則圖中小于平角的角共有（）個(a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 6 拓展： 1、在aob 內(nèi)部從 o 點引出 n 條射線圖中小于平角的角共有多少個？射線角1 3 =1+2 2 6=1+2+3 3 10=1+2+3+4 ? n 1+2+3+ ? +(n+1)= 2 類比：從

22、o 點引出 n 條射線圖中小于平角的角共有多少個？射線角2 1 3 3 =1+2 4 6=1+2+3 5 10=1+2+3+4 ? n 1+2+3+ ? +(n-1)= 2 類比聯(lián)想：如圖，可以得到多少三角形？（二）與線段中點有關(guān)的問題線段的中點定義：文字語言：若一個點把線段分成相等的兩部分，那么這個點叫做線段的中點圖形語言：m b a 幾何語言：m是線段 ab 的中點1 2 ，典型例題：1由下列條件一定能得到 “p 是線段 ab 的中點 ” 的是（）（a）ap= 2 1 ab （b）ab2pb （c）appb （d）appb= 2 1 ab 2若點 b 在直線 ac 上，下列表達(dá)式： ac

23、ab 2 1 ；ab=bc ；ac=2ab ；ab+bc=ac 其中能表示 b 是線段 ac 的中點的有（a ）a1 個b2 個c3 個d4 個3.如果點 c 在線段 ab 上,下列表達(dá)式 ac= 1 2 ab;ab=2bc; ac=bc;ac+bc=ab 中, 能表示 c 是10 r q p m n ab 中點的有 ( ) a.1 個b.2 個c.3 個d.4 個4已知線段 mn，p 是mn 的中點， q 是pn 的中點， r 是mq 的中點，那么 mr= _ mn分析：據(jù)題意畫出圖形設(shè)qn=x，則pq=x，mp=2x，mq=3x，所以， mr= 2 3 x ，則8 3 4 2 3 x x mn mr 5如圖所示， b、c 是線段 ad 上任意兩點， m是ab 的中點， n 是cd 中點，若 mn=a，bc=b，則線段 ad