高三數(shù)學人教版A版數(shù)學（理）高考一輪復習教案：3.6 簡單的三角恒等變換 簡單的三角恒等變換 Word版含答案

1、淘寶店鋪：漫兮教育第六節(jié)簡單的三角恒等變換 簡單的三角恒等變換能運用公式進行簡單的恒等變換(包括導出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶)知識點一半角公式1用cos 表示sin2 ，cos2 ，tan2 .sin2；cos2 ；tan2 .2用cos 表示sin ，cos ，tan .sin ± ；cos ± ；tan ± .3用sin ，cos 表示tan .tan .易誤提醒應用“sin± ”或“cos± ”求值時，可由所在象限確定該三角函數(shù)值的符號易混淆由決定必記結(jié)論用tan 表示sin 2與cos 2sin 22sin

2、 cos ；cos 2cos2sin2.自測練習1已知cos ，<<3，那么sin()a.bc. d解析：<<3，<<.sin.答案：d知識點二輔助角公式asin bcos sin().易誤提醒在使用輔助角公式易忽視的取值，應由點(a，b)所在象限決定，當在第一、二象限時，一般取最小正角，當在第三、四象限時，一般取負角自測練習2函數(shù)f(x)sin 2xcos 2x的最小正周期為()ab.c2 d.解析：f(x)sin 2xcos 2xsin，t.答案：a3函數(shù)f(x)sin xcos的值域為()a2,2 b，c1,1 d.解析：f(x)sin xcossin

3、 xcos xcossin xsinsin xcos xsin xsin(xr)，f(x)的值域為，答案：b考點一三角函數(shù)式的化簡|化簡：(1)sin 50°(1tan 10°)；(2).解：(1)sin 50°(1tan 10°)sin 50°(1tan 60°tan 10°)sin 50°·sin 50°·1.(2)原式cos 2x.考點二輔助角公式的應用|(1)函數(shù)ysin 2x2 sin2x的最小正周期t為_解析ysin 2x2sin2xsin 2xcos 2x2sin(2x)

4、，所以該函數(shù)的最小正周期t.答案(2)設(shè)當x時，函數(shù)f(x)sin x2cos x取得最大值，則cos _.解析f(x)sin x2cos xsin(x)，其中sin ，cos ，當x2k(kz)時函數(shù)f(x)取到最大值，即2k時函數(shù)f(x)取到最大值，所以cos sin .答案(1)利用asin xbcos xsin(x)把形如yasin xbcos xk的函數(shù)化為一個角的一種函數(shù)的一次式，可以求三角函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、值域、最值和對稱軸等(2)化asin xbcos xsin(x)時的求法：tan ；所在象限由(a，b)點確定已知函數(shù)f(x)2sin xsin.求函數(shù)f(x)的最小正周期

5、和單調(diào)遞增區(qū)間解：f(x)2sin x×sin 2xsin.函數(shù)f(x)的最小正周期為t.由2k2x2k，kz，解得kxk，kz，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，kz.考點三三角恒等變換的綜合應用|三角恒等變換是高考必考內(nèi)容，考查時多與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解三角形及平面向量交匯綜合考查，歸納起來常見的命題探究角度有：1三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合2三角恒等變換與三角形的綜合3三角恒等變換與向量的綜合探究一三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合1已知函數(shù)f(x)sin(x)的圖象關(guān)于直線x對稱，且圖象上相鄰兩個最高點的距離為.(1)求和的值；(2)若f，求cos的值解：(1)因為f(

6、x)的圖象上相鄰兩個最高點的距離為，所以f(x)的最小正周期t，從而2.又f(x)的圖象關(guān)于直線x對稱，所以2×k，k0，±1，±2，.因為<，所以k0，所以.(2)由(1)得fsin，所以sin.由<<，得0<<，所以cos.因此cossin sinsincoscossin××.探究二三角恒等變換與三角形的結(jié)合2(2016·臺州模擬)已知實數(shù)x0，x0是函數(shù)f(x)2cos2xsin(>0)的相鄰的兩個零點(1)求的值；(2)設(shè)a，b，c分別是abc三個內(nèi)角a，b，c所對的邊，若f(a)且，試判斷

7、abc的形狀，并說明理由解：(1)f(x)1cos 2xsin 2xcos 2xsin 2xcos 2x1sin1，由題意得t，.1.(2)由(1)得f(x)sin1，f(a)sin1，即sin.0<a<，<2a<，2a，即a.由得，所以cos bcos c2cos a1，又因為bc，所以cos bcos1，即sin1，所以bc.綜上，abc是等邊三角形探究三三角恒等變換與向量的綜合3(2015·合肥模擬)已知向量a，b(3,0)，其中，若a·b1.(1)求sin 的值；(2)求tan 2的值解：(1)由已知得：cos，sin，sin sinsinc

8、oscos·sin.(2)由cos得sin cos ，兩邊平方得：12sin cos ，即sin 2，而cos 212sin2，tan 2.三角恒等變換的綜合應用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換把函數(shù)化為yasin(x)的形式再研究其性質(zhì)，解題時注意觀察角、名、結(jié)構(gòu)等特征，注意利用整體思想解決相關(guān)問題 5.三角恒等變換與解三角形的綜合的答題模板【典例】(12分)(2015·高考山東卷)設(shè)f(x)sin xcos xcos2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)在銳角abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c.若f0，a1，求abc面積的最大值思路點撥(1)首

9、先利用二倍角公式及誘導公式將f(x)的解析式化為“一角一函數(shù)”的形式，然后求解函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間(2)首先求出角a的三角函數(shù)值，然后根據(jù)余弦定理及基本不等式求出bc的最大值，最后代入三角形的面積公式即可求出abc面積的最大值規(guī)范解答(1)由題意知f(x)sin 2x.(3分)由2k2x2k，kz，可得kxk， kz；(4分)由2k2x2k，kz，可得kxk，kz，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kz)；(5分)單調(diào)遞減區(qū)間是(kz)(6分)(2)由fsin a0，得sin a，由題意知a為銳角，所以cos a.(8分)由余弦定理a2b2c22bccos a，(9分)可得1bcb2c22bc，

10、(10分)即bc2，且當bc時等號成立因此bcsin a.(11分)所以abc面積的最大值為.(12分)模板形成跟蹤練習已知函數(shù)f(x)2sin xcos x2cos2x1(xr)(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值；(2)已知abc為銳角三角形，a，且f(b)，求cos 2b的值解：(1)由f(x)2sin xcos x2cos2x1得f(x)sin 2xcos 2x2sin.所以函數(shù)f(x)的最小正周期為.因為f(x)2sin在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又f(0)1，f2，f1，所以f(x)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為1.(2)因為abc為銳角三角形，且a6

11、0°，所以即b，所以2b.由(1)可知f(b)2sin，即sin，cos，所以cos 2bcoscoscossinsin.a組考點能力演練1(2015·洛陽統(tǒng)考)已知sin 2，則cos2()a bc. d.解析：cos2，cos2.答案：d2已知2sin 3cos 0，則tan 2()a. b.c. d.解析：2sin 3cos 0，tan ，tan 2.答案：b3sin 2，0<<，則cos的值為()a. bc. d±解析：因為sin 2cos2cos21，所以cos±，因為sin 2，所以cos±，因為0<<，所以

12、<<，所以cos.答案：c4(2015·太原一模)設(shè)abc的三個內(nèi)角分別為a，b，c，且tan a，tan b，tan c,2tan b成等差數(shù)列，則cos(ba)()a bc. d.解析：由題意得tan ctan b，tan atan b，所以abc為銳角三角形又tan atan(cb)tan b，所以tan b2，tan a1，所以tan(ba).因為b>a，所以cos(ba)，故選d.答案：d5若，且3cos 2sin，則sin 2的值為()a. bc. d解析：依題意得3(cos2sin2)(cos sin )，cos sin ，(cos sin )22，即

13、1sin 2，sin 2，故選d.答案：d6計算_.解析：.答案：7化簡sin2sin2sin2的結(jié)果是_解析：法一：原式sin21sin21cos 2·cossin21.法二：令0，則原式.答案：8設(shè)sin 2sin ，則tan 2的值是_解析：sin 22sin cos sin ，cos ，又，sin ，tan ，tan 2.答案：9設(shè)函數(shù)f(x)sin xsin，xr.(1)若，求f(x)的最大值及相應x的集合；(2)若x是f(x)的一個零點，且0<<10，求的值和f(x)的最小正周期解：由已知：f(x)sin xcos xsin.(1)若，則f(x)sin.又xr

14、，則sin，f(x)max，此時x2k，kz，即x.(2)x是函數(shù)f(x)的一個零點，sin0，k，kz，又0<<10，2，f(x)sin，此時其最小正周期為.10(2016·沈陽模擬)已知函數(shù)f(x)sin xcos x2，記函數(shù)f(x)的最小正周期為，向量a(2，cos )，b，且a·b.(1)求f(x)在區(qū)間上的最值；(2)求的值解：(1)f(x)sin xcos x22sin2，x，x，f(x)的最大值是4，最小值是2.(2)2，a·b2cos tan()2sin ，sin ，2cos 2.b組高考題型專練1(2015·高考北京卷)已

15、知函數(shù)f(x)sincossin2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間，0上的最小值解：(1)因為f(x)sin x(1cos x)sin，所以f(x)的最小正周期為2.(2)因為x0，所以x.當x，即x時，f(x)取得最小值所以f(x)在區(qū)間，0上的最小值為f1.2(2013·高考陜西卷)已知向量a，b(sin x，cos 2x)，xr，設(shè)函數(shù)f(x)a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在上的最大值和最小值解：f(x)·(sin x，cos 2x)cos xsin xcos 2xsin 2xcos 2xcossin 2xsincos 2xsin.(1)f(x)的最小正周期t，即函數(shù)f(x)的最小正周期為.(2)0x，2x.當2x，即x時，f(x)取得最大值1.當2x，即x0時，f(0)，當2x，即x時，f，f(x)的最小值為.因此，f(x)在上的最