高中數(shù)學(xué)必修1《二分法求方程的近似解》說課稿

1、二分法求方程的近似解說課發(fā)言稿幻燈片 1：各位老師，大家上午好！我是來自惠州一中的陳玲榮，我今天說課的題目是二分法求方程的近似解。內(nèi)容出自人教a 版必修 1 第 3.1.2 節(jié)?；脽羝?2：下面我將從教材分析、學(xué)情分析、過程分析、以及評價分析這四個方面進(jìn)行闡述?；脽羝?3：首先是教材分析。零點問題，即方程根的問題，是不等關(guān)系的基礎(chǔ)。用二分法求方程的近似解是新課程中新增的內(nèi)容。按照對新事物的認(rèn)知規(guī)律， 教材分四個步驟進(jìn)行：零點是什么；零點有沒有；零點有幾個；零點怎么求。本節(jié)課要討論的就是最后一個步驟，零點怎么求的問題。本節(jié)內(nèi)容滲透了函數(shù)與方程、 數(shù)形結(jié)合、算法和逼近等數(shù)學(xué)思想?；脽羝?4：通過對

2、教材的地位和作用進(jìn)行分析，我將本節(jié)課的重點定為： 理解用二分法逼近方程根的過程；難點定為：理解精確度的作用，歸納二分法的一般步驟?；脽羝?5：其次是學(xué)情分析。本節(jié)課的教學(xué)對象是高一普通班的學(xué)生。從認(rèn)知基礎(chǔ)看， 學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)零點定理， 初步了解函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化思想；但對于高次方程和超越方程根的尋求有困難；另外，模式化求近似解是一個全新問題?；脽羝?6：接下來是過程分析?？偟膩碚f，我將本節(jié)課分為四個部分：引入課題，構(gòu)建模型，分析歸納，應(yīng)用鞏固。我的設(shè)計思路是，首先由數(shù)學(xué)史引問題，游戲引方法；然后按照游戲中的思想從表格圖象兩方面入手構(gòu)建模型；接著歸納二分法的定義及步驟； 最后通過練習(xí)鞏固二分法

3、的使用。下面我將按這個流程進(jìn)行具體闡述?；脽羝?7：第一部分，引入課題。向?qū)W生介紹中外歷史上方程求解的一些史料，發(fā)現(xiàn)，對于高次方程及其它的一些非常規(guī)方程， 沒有具體的求根公式。 怎么辦呢？因此有必要尋求它們的近似解?；脽羝?8：設(shè)計意圖是， 通過介紹方程求解的發(fā)展史， 讓學(xué)生了解有些非常規(guī)方程是很難求根的，從而引出問題：怎么求這類方程的近似解？幻燈片 9：接著，組織學(xué)生做一個游戲： “猜猜我的年齡”。這是某明星近期出席活動的照片，觀察這張照片， 大家一起來猜猜她到底有多少歲呢？通過觀察，我們可初步斷定她的年齡是介于20 歲到 60 歲之間，那如何既快又準(zhǔn)地猜出她的年齡呢？允許誤差小于 5 歲。

4、讓學(xué)生以小組為單位討論， 然后向全班展示小組的猜測方案。通過對這些方案進(jìn)行討論和比較，我們確定出了如下的一個最優(yōu)方案：首先猜測 40 歲，發(fā)現(xiàn)低了，于是她的年齡范圍就縮短為40 歲到 60歲之間；再猜50 歲，發(fā)現(xiàn)還是低了，于是年齡范圍再次縮短，變?yōu)?0 歲到 60 歲之間；最后猜測 55 歲。那她的實際年齡到底是多少呢？通過百度，我們發(fā)現(xiàn)一個不可置信的事實：這位明星已經(jīng)有 58 歲了，真是人不可貌相！但這與我們猜測的結(jié)果相差不到5 歲， 總算猜中了！在這個游戲中， 通過不斷地將年齡范圍一分為二，從而使得所猜年齡逐步逼近實際年齡，這就是二分法的思想。那到底這個游戲與求函數(shù)零點有什么聯(lián)系？事實上

5、，我們可以將實際年齡對應(yīng)到零點， 年齡高低的判斷對應(yīng)到零點存在定理，而允許誤差則對應(yīng)到精確度。從而將游戲與本節(jié)課內(nèi)容聯(lián)系起來?；脽羝?10：設(shè)計意圖是通過游戲激發(fā)學(xué)生的思維，并將其與數(shù)學(xué)問題對應(yīng)，從而引出解決問題的方法：二分法?；脽羝?11：在這一部分中， 通過數(shù)學(xué)史引出本節(jié)課研究的主要問題，又通過游戲引出解決問題的方法。接下來，進(jìn)入到第二部分，構(gòu)建模型。設(shè)置這樣一道例題， 求函數(shù) f(x)零點的近似值， 精確度為 0.1. 那精確度是指什么呢？如果區(qū)間(a , b)滿足精確度， 那么零點0 x屬于(a , b)且區(qū)間長度小于這道題的解決思路是， 首先用表格分析零點的近似值，再用幾何畫板作圖詮

6、釋逼近思想。 這部分總的設(shè)計意圖是將游戲中采用的方法嚴(yán)謹(jǐn)化，從表格、圖象兩方面入手解決問題。幻燈片 12：由于學(xué)生已經(jīng)有了游戲中的二分法思想作基礎(chǔ)，又由上一節(jié)課的探究，學(xué)生們已經(jīng)知道函數(shù)的零點大致在區(qū)間(2 , 3) 內(nèi)。下面讓學(xué)生兩人一組，一人拿計算器，一人記錄過程，共同完成這個表格。之后讓學(xué)生展示計算結(jié)果并解釋過程，最后教師對學(xué)生的回答進(jìn)行總結(jié)：幻燈片 13：零點所在的初始區(qū)間為(2 , 3)，區(qū)間長度為 1，顯然沒有達(dá)到精確度，怎么辦呢？我們需要縮小區(qū)間，于是取區(qū)間(2,3)的中點 2.5，那這時零點區(qū)間變?yōu)槟囊欢瘟四?？因?f(2.5)0，所以用 2.5 來替換區(qū)間的左端點 2，由于

7、2.5 與 3 的函數(shù)值異號，所以零點就落在了區(qū)間(2.5,3)內(nèi)。那這時有沒有達(dá)到精確度呢？我們發(fā)現(xiàn)此時區(qū)間長度為0.5，仍沒有達(dá)到精確度，因此還要進(jìn)一步縮小區(qū)間，于是繼續(xù)取區(qū)間中點。那這個過程持續(xù)到什么時候結(jié)束呢？直到區(qū)間長度小于0.1，達(dá)到精確度，我們才停止運算。最終得到當(dāng)精確度為0.1時，零點所在區(qū)間為 2.5,2.5625。那近似值到底取哪個點呢？事實上，對于這個區(qū)間中的任意點x，它與零點0 x之間的距離都小于精確度0.1.因此都可作為近似值。但我們習(xí)慣上取端點值。另外，如果在某個區(qū)間中點處的函數(shù)值剛好就是0，那此時，這個中點值就是函數(shù)的零點。幻燈片 14：這部分的設(shè)計意圖是， 學(xué)生

8、小組通過完成表格的活動，體會二分法的運用過程； 另外，教師通過展示，讓學(xué)生清晰零點區(qū)間如何縮小，以及精確度作為判斷終止條件的作用。從而讓學(xué)生掌握重點， 攻破難點?；脽羝?15：接下來，用幾何畫板作圖來向?qū)W生演示零點區(qū)間如何逐步地逼近零點。零點所在的初始區(qū)間為（2 , 3） ，如何縮小這個區(qū)間讓它滿足給定的精確度呢？我們?nèi)^(qū)間中點1m. 由于1m與 3 的函數(shù)值異號， 所以零點區(qū)間縮短為 (1m, 3)，再取區(qū)間中點2m，由于1m、2m的函數(shù)值異號，所以零點區(qū)間再次縮短，變?yōu)?1m, 2m)。依此類推，不斷縮小零點區(qū)間，直到它的長度達(dá)到精確度為止。設(shè)計意圖是用幾何畫板作圖， 讓學(xué)生對二分法的過程

9、形成比較直觀的印象，從而更好的理解二分法。幻燈片 16：下面進(jìn)入到第三部分，分析歸納。在第二部分中，我們用游戲中的二分法思想解決了一個具體的函數(shù)零點問題，建立了解決問題的數(shù)學(xué)模型，那么對于一般函數(shù)，如果存在零點，是不是也可以用這種方法去求呢？比如a、b、c、d 四個函數(shù)圖象。學(xué)生經(jīng)過思考討論發(fā)現(xiàn)，圖象b 好像不能用二分法思想解決。為什么呢？因為二分法的依據(jù)是零點存在定理，而這個定理的條件是零點所在的某個區(qū)間端點處的函數(shù)值異號，并且函數(shù)在該區(qū)間連續(xù)。所以 b 選項不能用二分法求零點。而d 選項雖然整個函數(shù)不連續(xù)，但它在零點附近是連續(xù)的，所以可以用二分法。由此可得出二分法只能用來解決在零點附近連續(xù)

10、且“穿軸”的零點問題。從而得到二分法的定義。設(shè)計意圖是引導(dǎo)學(xué)生將上述例子推廣到一般的函數(shù)，并注意推廣的條件。從而歸納出二分法的定義，體會從特殊到一般的思想。幻燈片 18、19：接下來，讓學(xué)生分小組討論如何由前面例題的解法，從文字、符號、框圖三個角度概況二分法解決一般函數(shù)零點問題的步驟。但實際的活動效果是大部分小組都用文字語言概況了步驟，只有少數(shù)小組用符號和框圖語言。 于是教師引導(dǎo)學(xué)生從這兩個角度去進(jìn)一步完善二分法的步驟?；脽羝?19：設(shè)計意圖是通過一步步完善學(xué)生的歸納，最后總結(jié)出二分法求函數(shù)零點的步驟，使學(xué)生加深了對二分法過程的理解， 有助于突破難點?；脽羝?20：其實這節(jié)課的核心思想是逼近，采用的方法是二分法。 可是除了這種方法外， 還有沒有其它的逼近方式呢？比如說四分法，每次將零點區(qū)間一分為四；還有牛頓切線法，通過不斷的作切線來逼近零點。這讓有興趣有能力的學(xué)生在逼近的不同方式上去做更多的思考。幻燈片 20：接下來進(jìn)入第四部分，應(yīng)用鞏固。我設(shè)計了一道練習(xí)題， 讓學(xué)生通過練習(xí)熟練地掌握二分法。并布置了必做題、選做題、課外實踐，通過分層作業(yè)既使學(xué)生掌握了基礎(chǔ)知識，又使學(xué)有余力的學(xué)生有所提高。以下是我的板書設(shè)計，簡潔明了，重點突出，有利于提高教學(xué)效果?；脽羝?22：最后是我對本節(jié)課做的自我評價分析。我這節(jié)課設(shè)計的亮點主要有三個：