【教學(xué)隨筆】線性規(guī)劃問(wèn)題探究

1、錢(qián)牲規(guī)刻問(wèn)龜探究線性規(guī)劃問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)教材新增添的內(nèi)容,也是近兒年全國(guó)各地高考數(shù)學(xué)試卷屮的新 成員，已成為高考的熱點(diǎn)之一這類(lèi)試題的特點(diǎn)是：給出兒個(gè)條件，求在該條件的制約下目標(biāo)函數(shù)的最大(小)值或取值范 圍.解答的一般方法是：畫(huà)出可行域，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，結(jié)合圖形的幾何直觀性求解.一.直線的截距型/77如果目標(biāo)函數(shù)為：z = ax + by ,則變形為y = -x + -,把幺看作是直線hb hh7y = -x + -在縱軸上的截距，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求縱軸上的截距的最大(小)值或取值范圍.b by2,則目標(biāo)函數(shù)z = 2x+y的最小值為y3x-6( )(a) 2(b) 3(c) 4(d) 9【

2、解答】：畫(huà)出變量x、y所滿(mǎn)足的約束條件的可行域，在坐標(biāo) 系中畫(huà)出可行域如圖1所示為abc, a(2, 0), b(l, 1), c(3, 3),則目標(biāo)函數(shù)z =2x+y的最小值為3,選b.【評(píng)注】本題只是直接考查線性規(guī)劃問(wèn)題，是一道較為簡(jiǎn)單的送分題.x0沖0y+ xsy + 2x 4標(biāo)函數(shù)z = 3x+ 2y的最大值的變化范圍是(a.6,15 b. 7,15 c. 6,8 d.7,8a(0,2),b(4一s2s一4), c(0, $),c(0,4),(1)當(dāng)35 4時(shí)可行域是四邊形o abc,此時(shí)，7zy + 2x = 4x=4-s亠-,交點(diǎn)為下，當(dāng)3 s x 5 5時(shí),【評(píng)注】rti于有字母

3、參數(shù)，所以解答時(shí)，要分類(lèi)討論.二.兩點(diǎn)間的距離型如果目標(biāo)函數(shù)為：z = (x-a)2+(y-b)2,其中o,b 為常數(shù),則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求可 行域內(nèi)的點(diǎn)(兀,丿)與定點(diǎn)間的距離平方的最值問(wèn)題.x例3.己知x- +1 02x- y-2 0例4 b知實(shí)數(shù) s 滿(mǎn)足兀+?一,0yq則z = |3%-4y + 5|的最大值是【解答】：根據(jù)己知條件，在坐標(biāo)系中畫(huà)出可行域， 得三個(gè)交點(diǎn)為a(3,0)、b(5, 0)、c(l,2),因?yàn)閦斗3x_4y + 5|=5xh兀一竺+觀察知點(diǎn)b(5, 0倒直線3x-4y + 5 = 0的距離的最大，最大值是=|3x5 4x0 + 5| = 20.四、立線的斜率型：圖可x

4、2+y2的最小值是|0廿=12+25.三、點(diǎn)與直線間的距離型y （）（dcho） ,則可以變形為z = -x-的形式,czd無(wú)一（一）1j將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)點(diǎn)p（x,y）與定點(diǎn) 連線的斜率白勺土倍的最大（?。┲祷騰 ca ） c取值范圍.例5.己知x和y是正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足約束條件x+ y10,x-y7.【解答】：z = 2二2表示可行域內(nèi)的點(diǎn)p（x,y）與定點(diǎn)x-32（3,2）的斜率.畫(huà)出可行域，如圖所示，易得a點(diǎn)坐標(biāo)為（3.5, 6.5）, b點(diǎn)坐標(biāo)為（6, 4）,點(diǎn)c的坐標(biāo)為（3.5, 1.5）,15-2直線qc的斜率取得最小值，zmin二上=_1故所求的3.5 3最小值為一1.例6.已

5、知變量兀,y滿(mǎn)足約束條件lsx+y 54,-2 wx-y 52.,若h標(biāo)函數(shù)z = ax+y（其中670）僅在點(diǎn)（3,1）處取得最大值，則d的取值范圍為_(kāi)【解答】：在坐標(biāo)系中畫(huà)出可行域，如圖5為四邊形abcd,其中a（3, 1）,kad= 1,kab=-1,目標(biāo)函數(shù)z = ax+y（其中a0）中的 刁表示斜率為一。的直線系中的截距的大小，若僅在點(diǎn)（3,1）處取得最大值，則斜率應(yīng)小于心 =-1，即-gv-1，所以d的取值范圍為（1, +8）五、求平面區(qū)域的面積關(guān)鍵在于正確作出線性規(guī)劃的可行域的圖形.x+y-20,例7在平面直角坐標(biāo)系屮，不等式組x-j + 20,表示的平面區(qū)域的面積是（）x0形區(qū)域時(shí)有0.0 x q,q兀s c|,axx + a2yc.axa2y =(a) c2,(b)a2x + b2yc2,hx + h2y 0,x0,x0,y0護(hù)0y0y0cp c?千克且兀千克和y千克都是非負(fù)數(shù).故選c.例9.雙曲線x2-y2=4的兩條漸近線與直線x = 3闈成一個(gè)三角形區(qū)域，表示該區(qū)域的不等式組是x-