再探平面幾何問(wèn)題向立體幾何中的移植

1、再探平面幾何問(wèn)題向立體幾何中的移植再探平面幾何問(wèn)題向立體幾何屮的移植文1屮以類比的方法介紹了從平面幾何向立體幾何的移植原則，并以此論證了 9對(duì)平面幾何立體幾何命題，的類比效應(yīng)，即本文將対1的移植原則稍做加工改造、重新布局，實(shí)現(xiàn)較強(qiáng)而（積）三邊長(zhǎng)棱（長(zhǎng)）三而角（頂點(diǎn)）角（頂點(diǎn)）二面介（棱）而積（法）體積（法）角內(nèi)切圓（心）內(nèi)切圓（心）外接圓（心）外切球（心）邊中點(diǎn)面的重心巫心四而體重形四面體下面我們運(yùn)川上述的新的移植原則，繼續(xù)探索一些平面幾何與立體幾何命題的關(guān)系問(wèn)題. 這可作為前述文1的完善和續(xù)補(bǔ).為證明立體幾何命題的需要，我們先引如幾個(gè)結(jié)論和記號(hào)。下文小，在沒(méi)有特殊說(shuō)明 的情況下，用v表示四面

2、體pabc的體積，sinab表示以ab為棱的二而角的人小的正弦值，sinbac表示zbac的正弦值，ab表示線段ab的長(zhǎng)，sa表示四而體pabc 的頂點(diǎn)a所對(duì)apbc的而積等。結(jié)論1。在四面體pabc屮，求證：v16ab ac ap sinabsin pabsin bac(1)證明：如圖1,做p0丄而/xabc于0, pd丄ab于d,連0d,則0d丄ab,所以，zpd0為 二而角pabc的平面角，故v13s abc p016ab acsinbac. (apsinpab)sinabl1616ab acsinbac. (apsinpab)sinab ab ac. apsinabsinpabsinb

3、ac同理可求得四面體pabc的另外幾種以從a出發(fā)的用棱所表示的體積公式：vv 1616ab ac. apsinacsinpacsinbac (2) ab ac. apsinapsinbapsincap (3) 比較(1)、(2)、(3)可得結(jié)論 2。同結(jié)論 1 的條件可得：sinabsinbapsincab sinacsinbacsincapsinapsinbapsincap si(a)si (a)稱為四面體apbc的關(guān)丁頂點(diǎn)a的第一種空間角。9v2 2spsascsinabsinbcsinabc.證明：由結(jié)論1知6v bc ba. bpsinbasinpbasinbac ；6v ba bp

4、bcsinbcsinpbcsincba兩式相乘得36v2 8 (1212bc ba. sinabc) (12ba bp. sinabp) bc bp. sinpbc) sinbcsinbasincba8spsascsinbcsinbasincba整理便得欲證結(jié)論。由結(jié)論3易知結(jié)論4。同結(jié)論1的條件可有：sinbcsinbasinabc sinbcsinbpsincbp sinbasinbpsinabp s2(b) s2(b)稱為關(guān)于四 而體bpac的頂點(diǎn)b的第二種空間角。結(jié)論14見(jiàn)文2、3。結(jié)論54。在共頂點(diǎn)p的兩個(gè)四面體pabc與pa1b1c1屮，若p、al、a； p、 bl、b； p、cl

5、、c分別三點(diǎn)共線,則2vp a1b1c1vp abcpai pb1 pcipa pb pc直接應(yīng)用結(jié)論1即口j證得上式。略。問(wèn)題1。(平而幾何)設(shè)m是線段ab上一定點(diǎn)，p 對(duì)am、的張角分別為a、b ,貝usin()pmsin pasin pb這是平而幾何中的較為有名的張角定理，其證明是典型的而積法，由此對(duì)證sin() sin cos cos sin 。這是平而三角中的正弦和角公式。(立體兒何)(四而體中的張角定理)設(shè)m為四而 體pabc的abc內(nèi)部任意一定點(diǎn)，記pmbc、pmca、pmab中關(guān)于p的第 一-種空間角分別為sl( )、sl( )、sl()，則s1(p) pmsl( )pasl(

6、 )pbsl( )pc證明：記四面體pmbc、pmca、pmab的體積分別為vi、v2、v3, pa、pb、 pc、pm的長(zhǎng)分別記a、b、c、m,由結(jié)論1知16abcsl (p) v vi v2 v31616mabsl () mbcsl () mcasl()兩邊同除以abcm便得欲證結(jié)論。在木題屮，若pm丄面abc,并記pm與pa、pb、pc所成角分別為1、1、1,則有si (p) si ()cos 1 si ()cos 1 si ()cos 1 o (*)這可視為空間四血體小的正弦和角公式，其證明類似于上面平面上的正弦和角公式。 問(wèn)題2。(平面兒何)設(shè)am是aabc的邊bc上的中線，任做一條

7、直線分別交ab、ac、 am于p、q、n,求證：aman1abac(1978年遼寧高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽)()。2apaq證明：如圖4,分別在aabc和aapq中運(yùn)用平面幾何中的張角定理，冇sin()masin absin ac(1)sin( )nas asin pasin qa又am平分aabc的面積，所以s abmcm3亦即sin ac12ab amsinsin ab12ac amsin ,即(2) 一 (1)并應(yīng)用(3)有sinsin qasin ac1abac( )o 2paqamanapasin ab（立體幾何）4:設(shè)m為pabc的地而aabc的重心,任做一截面a1b1c1交三側(cè)棱pa、pb、

8、pc及pm于al、bl、ck ml,求 證：pmpm113pa1（papbpb1pcpc1)o證明：分別在pabc和p a1b1c1中運(yùn)用四面體中的張角定理有sl(p)msl( )asl( )bsl( )c(1)sl(p)mlsl( )alsl( )blsl( )cl(2)13注意到m為aabc的重心，所以，vp abm vp bcm vp camsl( )av ,對(duì)上式運(yùn)用結(jié)論 1,有 abmsl ( ) bcmsl ( ) camsl ( ),sl()sl( )blsl( )bsl( )bsl( )c(3)(2) 一 (1)并運(yùn)用(3)得mmlalsl( )asl( )clsl( )c13

9、al(a bblccl)o這便證明了結(jié)論。立體兒何命題的證明與平而兒何命題的證明是如此的和諧統(tǒng)一。問(wèn)題3o (平面幾何)過(guò)aabc的重心g任做一條直線，將aabc的面積分成兩部分， 求證；這兩部分z差的絕對(duì)值不超過(guò)aabc的而積的九分z。(1978年安徽蕪湖市高中 數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)b4證明：連ag并延長(zhǎng)交bc與m,則ma為bc邊上的中線，設(shè)所求直線為b1c1,則由問(wèn)題 2的平而兒何中的結(jié)論有32 amag1(abacac1192ab1)abab1acac11, 149ab1c1ii 和abc 的面積）o（立體幾何）4：如圖5,設(shè)ml為四面體pabc的重心,過(guò)ml任做一截面a1b1c1交三 側(cè)棱p

10、a、pb、pc于al、b1、01,則a1b1c1將四面體pabc分成兩部分之差的絕對(duì)值不 超過(guò)四而體pabc體積的532證明：由四面體重心性質(zhì)及問(wèn)題2中立體兒何命題結(jié)論，知43 mml1 （a bblccl）a3alalblclbc3vv（1）（vi表示三棱錐p a1b1c1的體積）所以，vi27641064532v, （2）（1）等號(hào)成立的條件為aalbblccl,即面 a1b1c1面 abc,從而（2）等號(hào)成立的條件為ml是a1b1c1的重心。問(wèn)題4。（平而幾何）設(shè)血為銳角a1pb1內(nèi)部一定點(diǎn)，過(guò)ml做一直線交a1pb1的 兩邊于al、b1,問(wèn)直線a1b1滿足什么條件時(shí)，pa1b1的面積1

11、最小？解：延長(zhǎng)pm1至m,使得pm12m1m,如圖7,過(guò)m做線段ab交 a1pb1的兩邊于a、b,使am=mb,則apab的而積為定值。ml為apab的重心，由問(wèn)題3的平 面幾何命題的證明過(guò)程知119,等號(hào)成立的條件是a1b1 ab,即mlp5（立體兒何）5:在三面ffi pabc內(nèi)有一點(diǎn)ml,過(guò)ml任作-截面分別交三側(cè)棱papb、pc于al、bl、cl,問(wèn)截面在什么位置時(shí)，四面體pa1b1c1的體積最小?解：延長(zhǎng)pm1至m,使得pm13m1m,過(guò)做一平而交三而角pabc的三側(cè)棱與a、b、c,且使m為aabc的重心，如圖5,則ml為四面體pabc的重心，且該四 而體的體積為定值。由問(wèn)題3的立體兒何命題的證明過(guò)程知vi2764v,式中等號(hào)成立的條件是面 a1b1c1面 abc,即ml為 a1b1c1的重心時(shí)，四面體pa1b1c1的體積最小。以上我們以對(duì)偶的形式提出并證明了4對(duì)平面兒何與立體兒何命題，可以看出，平面兒 何命題的證明若用面積法，則相應(yīng)的立體幾何命題的證明則用體積法，平面幾何命題的證明若運(yùn)用線段長(zhǎng)關(guān)系來(lái)論證，則立體兒何命題也應(yīng)考慮用線段長(zhǎng)關(guān)系，這就啟發(fā)我 們，如果論證一些立體幾何命題感到困難，則對(duì)考慮相應(yīng)平而幾何命題的證法如何，一些 平面幾何命題可考慮能否向空間