【知識】二次函數(shù)知識點總結(jié)

1、文檔來源為:從網(wǎng)絡收集整理.word 版本可編輯.歡迎下載支持.【關鍵字】學問二次函數(shù)學問點總結(jié)及相關典型題目11² 相關概念及定義第一部分 二次函數(shù)根底學問Ø 二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)，而可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)Ø 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2 是常數(shù)，是二次項系數(shù)，是一次項系數(shù)，是常數(shù)項² 二次函數(shù)各種形式之間的變換Ø 二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中.Ø 二次函數(shù)由特別到一般，可分為以

2、下幾種形式：；.² 二次函數(shù)解析式的表示方法Ø 一般式：（，為常數(shù)，）；Ø 頂點式：（，為常數(shù)，）；Ø 兩根式：（，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）.Ø 留意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非全部的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.Ø 二次函數(shù)的性質(zhì)a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a > 0向上(0，0)y 軸a < 0向下(0，0)y 軸x > 0 時， y 隨 x 的增大而增大；x < 0 時， y隨

3、 x 的增大而減小；x = 0 時，y 有最小值0 x > 0 時，y 隨 x 的增大增大而減?。粁 < 0 時，y 隨 x 的增大而增大； x = 0 時， y 有最大值0 ² 二次函數(shù)的性質(zhì)a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸a > 0向上(0，c)y 軸性質(zhì)性質(zhì)x > 0 時， y 隨 x 的增大而增大； x < 0 時， y隨 的增大而減小；x = 0 時，y 有最小值xc a < 0向下(0，c)y 軸x > 0 時， y 隨 x 的增大而減??； x < 0 時， y隨x的增大而增大；x = 0 時，y 有最大值c² 二

4、次函數(shù)的性質(zhì)：a 的符開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)號a > 0向上(h ，0)x > h 時，y 隨 x 的增大而增大；x < h 時，y 隨 xx=h的增大而減??； x = h 時， y 有最小值0 a < 0向下(h ，0)x=hx > h 時，y 隨 x 的增大而減?。粁 < h 時，y 隨 x的增大而增大； x = h 時， y 有最大值0 性質(zhì)x > h 時， y 隨 x 的增大而增大；x < h 時， y 隨x 的增大而減??； x = h 時， y 有最小值k x > h 時， y 隨 x 的增大而減??；x < h 時， y

5、 隨x 的增大而增大； x = h 時， y 有最大值k ² 二次函數(shù)的性質(zhì)a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸a > 0向上(h ，k )x=ha < 0向下(h ，k )x=h² 拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.Ø 的符號打算拋物線的開口方向：當時，開口向上；當時，開口向下； 相等，拋物線的開口大小、外形相同.Ø 對稱軸：平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.Ø 頂點坐標坐標：Ø 頂點打算拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，假如二次項系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.&

6、#178; 拋物線中，與函數(shù)圖像的關系Ø 二次項系數(shù)二次函數(shù)中，作為二次項系數(shù)，明顯 當a > 0 時，拋物線開口向上， a 越大，開口越小，反之a(chǎn) 的值越小，開口越大； 當a < 0 時，拋物線開口向下， a 越小，開口越小，反之a(chǎn) 的值越大，開口越大 總結(jié)起來， a 打算了拋物線開口的大小和方向， a 的正負打算開口方向， a 的大小決定開口的大小Ø 一次項系數(shù)b在二次項系數(shù)a 確定的前提下， b 打算了拋物線的對稱軸 在a > 0 的前提下，當b > 0 時， -b < 0 ，即拋物線的對稱軸在 y 軸左側(cè)；2a當b = 0 時， - b

7、2a當b < 0 時， - b2a= 0 ，即拋物線的對稱軸就是 y 軸；> 0 ，即拋物線對稱軸在 y 軸的右側(cè) 在a < 0 的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當b > 0 時， - b2a當b = 0 時， - b2a當b < 0 時， - b2a> 0 ，即拋物線的對稱軸在 y 軸右側(cè)；= 0 ，即拋物線的對稱軸就是 y 軸；< 0 ，即拋物線對稱軸在 y 軸的左側(cè)總結(jié)起來，在a 確定的前提下， b 打算了拋物線對稱軸的位置 總結(jié)：Ø 常數(shù)項c 當c > 0 時，拋物線與 y 軸的交點在 x 軸上方，即拋物線與 y 軸交點的縱坐標

8、為正； 當c = 0 時，拋物線與 y 軸的交點為坐標原點，即拋物線與 y 軸交點的縱坐標為0 ； 當c < 0 時，拋物線與 y 軸的交點在 x 軸下方，即拋物線與 y 軸交點的縱坐標為負 總結(jié)起來， c 打算了拋物線與 y 軸交點的位置總之，只要a ，b ，c 都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的² 求拋物線的頂點、對稱軸的方法Ø 公 式 法 ： y = ax 2+ bx + c =æ+aç xèb ö2 +2a ÷ø4ac - b 2 4a， 頂 點 是（- b4ac - b 2b，2a4a），對稱軸是

9、直線 x = - 2a .Ø 配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為 y = a(x - h)2到頂點為( h , k )，對稱軸是直線 x = h .+ k 的形式，得Ø 運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.用配方法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進行驗證，才能做到萬無一失.² 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式Ø 一般式： y = ax 2 + bx + c .已知圖像上三點或三對x 、 y 的值，通常選擇一般式.Ø 頂點式： y = a(x -

10、 h)2+ k .已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.Ø 交 點 式： 已 知圖 像與 x 軸 的 交 點 坐 標 x 1 、 x2 ， 通 常 選 用 交 點 式 ：y = a(x - x1)(x - x ).2² 直線與拋物線的交點Ø y 軸與拋物線 y = ax 2 + bx + c 得交點為(0, c ).Ø 與 y 軸平行的直線 x = h 與拋物線 y = ax 2 + bx + c 有且只有一個交點( h , ah 2 + bh + c ).Ø 拋物線與 x 軸的交點:二次函數(shù) y = ax 2 + bx + c 的圖像與 x

11、 軸的兩個交點的橫坐標 x 1、 x2 ，是對應一元二次方程ax 2 + bx + c = 0 的兩個實數(shù)根.拋物線與 x 軸的交點狀況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個交點Û d > 0 Û 拋物線與 x 軸相交；有一個交點（頂點在x 軸上） Û d = 0 Û 拋物線與 x 軸相切；沒有交點Û d < 0 Û 拋物線與 x 軸相離.Ø 平行于 x 軸的直線與拋物線的交點可能有 0 個交點、1 個交點、2 個交點.當有 2 個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為k ，則橫坐標是ax(2 + bx

12、)+ c = k 的兩個實數(shù)根.()Ø 一次函數(shù) y = kx + nk ¹ 0的圖像l 與二次函數(shù) y = ax 2+ bx + ca ¹ 0的圖像ì y = kx + ng 的交點，由方程組 íî y = ax2 + bx + c的解的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時Û l 與g 有兩個交點; 方程組只有一組解時Û l 與g 只有一個交點； 方程組無解時Û l 與g 沒有交點.Ø 拋物線與 x 軸兩交點之間的距離：若拋物線y = ax 2 + bx + c 與 x 軸兩交點為a(x ，0)

13、，b(x1，0)，由于 x 、 x212是方程ax 2 + bx + c = 0 的兩個根，故x + x= - b , x × x= cab = x112- x=2a12a(x - x )212(x - x )2 - 4x x121 2=æç-÷-b ö2èa ø4cab2 - 4acada=² 二次函數(shù)圖象的對稱:二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種狀況，可以用一般式或頂點式表達Ø 關于 x 軸對稱y = ax2 + bx + c 關于 x 軸對稱后，得到的解析式是 y = -ax2 - bx - c ；y =

14、 a (x - h )2 + k 關于 x 軸對稱后，得到的解析式是 y = -a (x - h )2 - k ；Ø 關于 y 軸對稱y = ax2 + bx + c 關于 y 軸對稱后，得到的解析式是 y = ax2 - bx + c ；y = a (x - h )2 + k 關于 y 軸對稱后，得到的解析式是 y = a (x + h )2 + k ；Ø 關于原點對稱y = ax2 + bx + c 關于原點對稱后，得到的解析式是 y = -ax2 + bx - c ；y = a (x - h )2 + k 關于原點對稱后，得到的解析式是 y = -a (x + h )

15、2 - k ；Ø 關于頂點對稱b2y = ax2 + bx + c 關于頂點對稱后，得到的解析式是 y = -ax2 - bx + c -；2ay = a (x - h )2 + k 關于頂點對稱后，得到的解析式是 y = -a (x - h )2 + k Ø 關于點(m，n)對稱y = a (x - h )2 + k 關于點(m，n)對稱后，得到的解析式是 y = -a (x + h - 2m )2 + 2n - kØ 總結(jié)：依據(jù)對稱的性質(zhì)，明顯無論作何種對稱變換，拋物線的外形肯定不會發(fā)生變 化，因此 a 永久不變求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或便

16、利運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線） 的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出 其對稱拋物線的表達式² 二次函數(shù)圖象的平移Ø 平移步驟： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式 y = a (x - h )2 + k ，確定其頂點坐標(h ，k )； 保持拋物線 y = ax2 的外形不變，將其頂點平移到(h ，k )處，具體平移方法如下：向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|個單位y=ax2y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|個單位y=a(x-h)2Ø平

17、移規(guī)律向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|個單位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|個單位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|個單位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|個單位y=a(x-h)2+k在原有函數(shù)的基礎上“ h 值正右移，負左移； k 值正上移，負下移” 概括成八個字“左加右減，上加下減”² 依據(jù)條件確定二次函數(shù)表達式的幾種基本思路。33Ø 三點式。1，已知拋物線 y=ax2+bx+c 經(jīng)過 a（ 的解析式。，0），b（ 2，0），c（0，-3）三點，求拋物線2，已知拋物線y=a(x-1)+4

18、 ， 經(jīng)過點a（2，3），求拋物線的解析式。Ø 頂點式。1，已知拋物線y=x2-2ax+a2+b 頂點為a（2，1），求拋物線的解析式。2，已知拋物線 y=4(x+a)2-2a 的頂點為（3，1），求拋物線的解析式。Ø 交點式。1，已知拋物線與 x 軸兩個交點分別為（3，0）,(5,0),求拋物線y=(x-a)(x-b)的解析式。12，已知拋物線線與 x 軸兩個交點（4，0），（1，0）求拋物線y=Ø 定點式。a(x-2a)(x-b)的解析式。21，在直角坐標系中，不論 a 取何值，拋物線 y = - 15 - ax 2 +x + 2a - 2 經(jīng)過 x 軸上一2

19、2定點 q，直線 y = (a - 2)x + 2 經(jīng)過點q,求拋物線的解析式。2，拋物線y= x2 +(2m-1)x-2m 與x 軸的肯定交點經(jīng)過直線y=mx+m+4，求拋物線的解析式。3，拋物線y=ax2+ax-2 過直線y=mx-2m+2 上的定點a，求拋物線的解析式。Ø 平移式。1， 把拋物線 y= -2x2 向左平移 2 個單位長度，再向下平移 1 個單位長度，得到拋物線y=a( x-h)2 +k,求此拋物線解析式。2， 拋物線 y = - x 2 + x - 3 向上平移,使拋物線經(jīng)過點c(0,2),求拋物線的解析式.Ø 距離式。1，拋物線y=ax2+4ax+1

20、(a0)與 x 軸的兩個交點間的距離為 2，求拋物線的解析式。2，已知拋物線y=m x2+3mx-4m(m0)與 x 軸交于a、b 兩點，與 軸交于 c 點，且ab=bc,求此拋物線的解析式。Ø 對稱軸式。1、拋物線y=x2-2x+(m2-4m+4)與 x 軸有兩個交點，這兩點間的距離等于拋物線頂點到y(tǒng) 軸距離的 2 倍，求拋物線的解析式。2、 已知拋物線 y=-x2+ax+4, 交 x 軸于 a,b（點 a 在點 b 左邊）兩點，交 y 軸于點 c,且3ob-oa=oc，求此拋物線的解析式。4Ø 對稱式。1， 平行四邊形abcd 對角線ac 在 x 軸上，且a（-10，0

21、），ac=16，d（2，6）。ad 交 y 軸于e，將三角形 abc 沿x 軸折疊，點 b 到 b1的位置，求經(jīng)過 a,b,e 三點的拋物線的解析式。2， 求與拋物線y=x2+4x+3 關于y 軸（或x 軸）對稱的拋物線的解析式。Ø 切點式。1，已知直線y=ax-a2(a0) 與拋物線y=mx2有唯一公共點，求拋物線的解析式。2， 直線y=x+a 與拋物線y=ax2Ø 判別式式。+k 的唯一公共點a（2，1）,求拋物線的解析式。1、已知關于 x 的一元二次方程（ m+1）x2+2(m+1)x+2=0 有兩個相等的實數(shù)根，求拋物線y=-x2+(m+1)x+3 解析式。2、 已

22、知拋物線y=(a+2)x2-(a+1)x+2a 的頂點在x 軸上,求拋物線的解析式。3、已知拋物線y=(m+1)x2+(m+2)x+1 與 x 軸有唯一公共點，求拋物線的解析式。學問點一、二次函數(shù)的概念和圖像1、二次函數(shù)的概念一般地，假如特 y = ax 2+ bx + c(a, b, c是常數(shù)， a ¹ 0) ，特別留意a 不為零那么 y 叫做 x 的二次函數(shù)。y = ax 2 + bx + c(a, b, c是常數(shù)，a ¹ 0) 叫做二次函數(shù)的一般式。2、二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一條關于 x = - b 對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。2a拋物線的主要特征：有開口方

23、向；有對稱軸；有頂點。3、二次函數(shù)圖像的畫法五點法：（1） 先依據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標，在平面直角坐標系中描出頂點m，并用虛線畫出對稱軸（2） 求拋物線 y = ax 2 + bx + c 與坐標軸的交點：當拋物線與 x 軸有兩個交點時，描出這兩個交點a,b 及拋物線與 y 軸的交點 c，再找到點 c 的對稱點 d。將這五個點按從左到右的挨次連接起來，并向上或向下延長，就得到二次函數(shù)的圖像。當拋物線與 x 軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y 軸的交點 c 及對稱點 d。由 c、m、d 三點可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。假如需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對對稱點a、b，然后順次連接五

24、點，畫出二次函數(shù)的圖像。學問點二、二次函數(shù)的解析式二次函數(shù)的解析式有三種形式：口訣-一般 兩根 三頂點（1） 一般一般式： y = ax 2（2） 兩根當拋物線 y = ax 2+ bx + c(a, b, c是常數(shù)，a ¹ 0)+ bx + c 與 x 軸有交點時，即對應二次好方程ax 2 + bx + c = 0 有 實 根 x和 x12存 在 時 ， 根 據(jù) 二 次 三 項 式 的 分 解 因 式ax 2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) ， 二 次 函 數(shù) y = ax 2 + bx + c可 轉(zhuǎn) 化 為 兩 根 式y(tǒng) = a(x - x1)(x -

25、x2) 。假如沒有交點，則不能這樣表示。a 的確定值越大，拋物線的開口越小,a 的確定值越大，拋物線的開口越小.（3） 三頂點 頂點式： y = a(x - h) 2學問點三、二次函數(shù)的最值+ k (a, h, k是常數(shù)，a ¹ 0)假如自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當x = - b 時， y2a最值= 4ac - b 2 。4a假如自變量的取值范圍是 x1£ x £ x2，那么，首先要看 - b 是否在自變量取值范圍2ax£ x £ x12內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當x= - b 時， y2a最值= 4ac

26、- b 2 ；若不在此范圍內(nèi)，則4a需要考慮函數(shù)在 x1£ x £ x2范圍內(nèi)的增減性，假如在此范圍內(nèi)，y 隨 x 的增大而增大，則當x = x2時， y最大= ax 22+ bx2+ c ，當x = x1時， y最小= ax 2 + bx11+ c ；假如在此范圍內(nèi)，y隨 x的 增 大 而 減 小 ， 則 當 x = x1時 ， y最大= ax 21+ bx1+ c ， 當 x = x時 ，2y= ax 2最小2+ bx2+ c 。函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標y = ax 2當 a > 0 時開口向上x = 0（ y 軸）（0,0）y = ax 2 + ky =

27、 a(x - h)2y = a(x - h)2 + ky = ax 2 + bx + c當 a < 0時開口向下x = 0（ y 軸）x = h(0,k )( h ,0)x = h( h , k )x = -2ab(- b4ac - b 22a，4a)、幾種特別的二次函數(shù)的圖像特征如下：學問點四、二次函數(shù)的性質(zhì)1、二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)y = ax 2 + bx + c(a, b, c是常數(shù)，a ¹ 0)a>0a<0yy圖像0x0x（1）拋物線開口向上，并向上無限延長；（1）拋物線開口向下，并向下無限延長；（2）對稱軸是 x= - b ，頂點坐標是（ - b2a

28、2a，（2）對稱軸是x= - b ，頂點坐標是（- b ，2a2a4ac - b 2）；4a4ac - b 2）；4a（3）在對稱軸的左側(cè)，即當 x< - b2a時，y 隨 x（3）在對稱軸的左側(cè)，即當x< - b 時，y 隨性質(zhì)的增大而減??； 在對稱軸的右側(cè)， 即當2ax 的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當x> - b 時，y 隨 x 的增大而增大，簡記左減2a右增；x> - b 時，y 隨 x 的增大而減小，簡記左2a增右減；（4）拋物線有最低點，當x= - b2a時，y 有最小（4）拋物線有最高點，當 x= - b 時，y 有最2a值， y=4ac - b 24a

29、大值， y=最小值最大值4ac - b 24a2、二次函數(shù) y = ax 2+ bx + c(a, b, c是常數(shù)，a ¹ 0) 中， a、b、c 的含義：a 表示開口方向： a >0 時，拋物線開口向上a <0 時，拋物線開口向下b 與對稱軸有關：對稱軸為x= - b2ac 表示拋物線與y 軸的交點坐標：（0， c ）3、二次函數(shù)與一元二次方程的關系一元二次方程的解是其對應的二次函數(shù)的圖像與x 軸的交點坐標。因此一元二次方程中的d = b 2 - 4ac ，在二次函數(shù)中表示圖像與x 軸是否有交點。當d >0 時，圖像與x 軸有兩個交點；當d =0 時，圖像與x 軸

30、有一個交點； 當d <0 時，圖像與x 軸沒有交點。學問點五 中考二次函數(shù)壓軸題?？脊剑ū赜洷貢?，理解記憶）1、兩點間距離公式（當遇到?jīng)]有思路的題時，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法）y如圖：點a 坐標為（x ，y ）點b 坐標為（x ，y ）1122則 ab 間的距離，即線段ab 的長度為 (x1- x )2 + (y21- y )2a20xb學問點五 二次函數(shù)y = ax 2+ bx + c 圖象的畫法Ø 五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù) y = ax2 + bx + c 化為頂點式 y = a(x - h)2 + k ，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩

31、側(cè)，左右對稱地描點畫圖. 一般我們選取的五點為：頂點、與y 軸的交點(0，c)、以及(0，c)關于對稱軸對稱的點(2h ，c)、與x 軸的交點(x1，0)， (x2，0)（若與 x 軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）.Ø 畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x 軸的交點，與 y 軸的交點.、已知二次函數(shù) y = ax 2 + bx + c(a ¹ 0) 的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（）a、a > 0，b > 0，c > 0b、a < 0，b > 0，c < 0c、a < 0，b < 0，c > 0d、a < 0，b < 0，c < 0、函數(shù) y = ax 2 - a與y = a (a ¹ 0) 在同一坐標系中的圖