直線參數方程在圓錐曲線中的應用

1、    直線參數方程在圓錐曲線中的應用    蔡云+丁忠華直線與圓錐曲線的關系是高考解析幾何考查的重要內容，突出表現(xiàn)為直線和圓錐曲線的交點、弦長、軌跡、定值、最值及取值范圍等問題，直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以壓軸題出現(xiàn)，因此直線與圓錐曲線的問題往往綜合性強、計算能力要求高、難度大，是學生們學習上的難點之一，但同時也是高考的重點之一.如何突破難點呢？巧用直線參數方程中參數的幾何意義，會有意想不到的收獲.舉例如下：（2016年四川卷，20）（本小題滿分13分）已知橢圓e：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩個焦點與短軸的一個端

2、點是直角三角形的3個頂點，直線l：y=-x+3與橢圓e有且只有一個公共點t.（）求橢圓e的方程及點t的坐標；（）設o是坐標原點，直線l'平行于ot，與橢圓e交于不同的兩點a，b，且與直線l交于點p.證明：存在常數，使得|pt|2=|pa|·|pb|，并求的值.解析 （）設短軸一端點為c（0，b），左、右焦點分別為f1（-c，0），f2（c，0）（c>0），則c2+b2=a2.由題意，f1f2c為直角三角形.|f1f2|2=|f1c|2+|f2c|2，解得b=c=22a，e：x22b2+y2b2=1.代入l：y=-x+3，可得3x2-12x+18-2b2=0.l與橢圓e只

3、有一個交點，則=122-4·3（18-2b2）=0，解得b2=3.e：x26+y23=1.由b2=3，解得x=2，則y=-x+3=1，所以t的坐標為（2，1）.（）由已知條件可設直線l'的方程為y=12x+m（m0），由方程組y=12x+m，y=-x+3， 可得x=2-2m3，y=1+2m3.所以p點坐標為2-2m3，1+2m3，|pt|2=89m2.設點a，b的坐標分別為a（x1，y1），b（x2，y2）.由方程組x26+y23=1，y=12x+m，可得3x2+4mx+（4m2-12）=0.（）方程（）的判別式為=16（9-2m2），由>0，解得-322<m&l

4、t; p>由（）得x1+x2=-4m3，x1x2=4m2-123.所以|pa|=2-2m3-x12+1+2m3-y12=522-2m3-x1，同理，|pb|=522-2m3-x2.所以，|pa|·|pb|=542-2m3-x12-2m3-x2=542-2m32-2-2m3（x1+x2）+x1x2=542-2m32-2-2m3-4m3+4m2-123=109m2.故存在常數=45，使得|pt|2=|pa|·|pb|.方法2 使用直線的參數方程的幾何意義.（）由（）知kot=12，設直線l的方程為y=12x+b，由方程組y=12x+b，y=-x+3， 解得p2-23b，2

5、3b+1.設直線l的參數方程為x=2-2b3+255t，y=2b3+1+55，（t為參數）將直線l的參數方程代入橢圓方程x26+y23=1中，整理可得65t2+1255t+129b2=0.設兩根為ta，tb，則有ta·tb=109b2.而|pt|2=2-23b-22+23b+1-12.|pa|·|pb|=|ta|·|tb|=|ta·tb|=109b2.|pt|2=|pa|·|pb|.=|pt|2|pa|·|pb|=89b2109b2=45.故存在這樣的.通過上述實例可以看出，合理利用直線參數方程中參數的幾何意義，對于解決直線與圓錐曲線的問題可以起到簡化計算的作用，從而降低該類題目的難度.【參考文獻】1陳良敏.圓錐曲線切線方程及簡單運用j.數學教學研究，2008（s2）：49-51.2姜坤崇.圓錐曲線與斜率有關的一個性質j.中學數學雜志，2010（3）：26-27.3陳鴻斌.有關圓錐曲線的焦切距的幾個