等價(jià)無(wú)窮小在函數(shù)極限中的應(yīng)用與推廣

1、    等價(jià)無(wú)窮小在函數(shù)極限中的應(yīng)用與推廣    陳飛翔摘 要 等價(jià)無(wú)窮小是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)非常重要的概念，在求極限中有著廣泛的應(yīng)用。本文主要介紹等價(jià)無(wú)窮小在函數(shù)極限中的的應(yīng)用及推廣。關(guān)鍵詞 極限 等價(jià)無(wú)窮?。簅171 ：a高等數(shù)學(xué)中極限的概念貫穿了整個(gè)大學(xué)的數(shù)學(xué)階段。運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小替代原理求解極限是一種廣泛而又快速的方法。由于這個(gè)方式運(yùn)用起來(lái)非常的快捷方便，從而縮短、簡(jiǎn)化運(yùn)算量，受到了多數(shù)人的喜愛(ài)，因此有必要對(duì)等價(jià)無(wú)窮小作進(jìn)一步深刻的研究和探討。1 基本概念與基本性質(zhì)。定義1：若，則稱函數(shù)是當(dāng)xa中的無(wú)窮小。類似的，可以定義當(dāng)xa+，xa，x+，x ，x

2、等變化過(guò)程中的無(wú)窮小。無(wú)窮小有以下幾個(gè)性質(zhì)：性質(zhì)1、，其中是當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小。性質(zhì)2、 若函數(shù)與都是某一過(guò)程中的無(wú)窮小，則它們的和或積也是該過(guò)程中的無(wú)窮小。性質(zhì)3、 若函數(shù)是某一過(guò)程中的無(wú)窮小，函數(shù)是該過(guò)程中的有界量，則它們的積也是該過(guò)程中的無(wú)窮小。常用的等價(jià)無(wú)窮?。寒?dāng)x0的時(shí)候，2 等價(jià)無(wú)窮小的應(yīng)用例1：求極限解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，且，所以又因?yàn)樗缘茫涸?例2：求極限解：當(dāng)?shù)臅r(shí)候，因?yàn)樗岳?：求極限解：當(dāng)?shù)臅r(shí)候，因?yàn)樗杂缮厦娴睦}可以看出，在求函數(shù)極限的時(shí)候等價(jià)無(wú)窮小的替換是一種十分常見(jiàn)的計(jì)算方式，并且簡(jiǎn)便，快捷.不容易因?yàn)榉爆嵉姆绞蕉鲥e(cuò)，因而，在求函數(shù)極限的時(shí)候等價(jià)無(wú)窮小得到了十分靈活的運(yùn)用

3、。3 等價(jià)無(wú)窮小應(yīng)用的推廣在對(duì)比兩個(gè)無(wú)窮小的極限的時(shí)候，剛剛開(kāi)始學(xué)習(xí)的人時(shí)常都有出差錯(cuò)的時(shí)候，例如：求的時(shí)候，若是用，在做等價(jià)無(wú)窮小替換的時(shí)候，那么，但是這肯定是不正確的算法，所以到底怎么做才是正確的算法呢？下面就是等價(jià)無(wú)窮小在函數(shù)極限中的幾個(gè)推廣。推廣1：假定在這同一變動(dòng)過(guò)程當(dāng)中的自變量，都是無(wú)窮小量，并且是的高階無(wú)窮小量，即，則證明：因?yàn)?，則，即例4、求解：當(dāng)時(shí)，。由于、都比3x的階高的無(wú)窮小量。由，則比的階高的無(wú)窮小量。由推廣定理1知。由上述例題我們可以得到證明，在求無(wú)窮小的極限的時(shí)候，我們可以把高階的無(wú)窮小量忽略或者丟棄，從而讓我們達(dá)到一種簡(jiǎn)化計(jì)算的目的，在復(fù)雜的極限求算中，這個(gè)方式的效果非常明顯。推廣2：假定在的過(guò)程中是無(wú)窮小量，且，都是該過(guò)程中的的無(wú)窮小量，且，則時(shí)，有。證明：由洛必達(dá)法則計(jì)算有于是。例5、求解：當(dāng)時(shí)，所以如果這個(gè)例題用洛必達(dá)法則求解，過(guò)程非常復(fù)雜，還有可能算不出來(lái)答案，但是用了推論2的方法，我們可以很輕松求出答案。例6、求解：由當(dāng)時(shí)，.得到：，于是乎：由此例題可見(jiàn)等價(jià)無(wú)窮小計(jì)算起來(lái)簡(jiǎn)單快捷。參考文獻(xiàn)1 劉玉璉，