一道幾何探究題的多種證法

1、    一道幾何探究題的多種證法    王志源已知：如圖，abc、def均為等邊三角形，連接af.當(dāng)be=ec時(shí)，探究fa與df的數(shù)量關(guān)系.答案：fa=df方法一：取中點(diǎn)，利用全等證得如圖1,分別取ab的中點(diǎn)m，連接me、mf.e是bc的中點(diǎn) bm=be.又b=60°bme為等邊三角形.bme=60°、 me=bm=am.由（1）可得emf=60°amf=emf=60°.又mf=mf,amfemf .af=ef=df.方法二：構(gòu)造等邊三角形，共頂點(diǎn)雙等邊旋轉(zhuǎn)類全等轉(zhuǎn)移線段，全等證得如圖2，作d作dgbc交ac于g,

2、連接eg，可證adg為等邊三角形，由此adfgde得到af=eg.ab-ad=ac-ag,bd=cg再由sas證bdecge.eg=de,而de=df.fa=df.方法三：利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等形證得如圖3，連接ae,過e作egab,過f作fhae,垂足分別為g、h.e是bc的中點(diǎn)且abc為等邊三角形bae=30°、ae=2eg、aeg=60°. def為等邊三角形知de=ef=df,def=60°=aeg可得ged=aef,證得degfeh,得出eg=eh.ae=2eg,ah=eh,fh 為ae的垂直平分線，故af=ef=d

3、e=df.方法四：向外構(gòu)造等邊三角形，共頂點(diǎn)雙等邊旋轉(zhuǎn)類全等轉(zhuǎn)移線段，全等證得如圖4，連接ae,作等邊aei,連接di,由雙等邊得到旋轉(zhuǎn)類deifea,得出af=id.證ead=iad=30°由此利用sas可知adiade,得出de=id.df=de=id=af.方法五：構(gòu)造全等m形，三角形斜邊中線等于斜邊的一半得出如圖5，延長af交bc于n,過f作fmac交bc于m.先證bed=efm,b=c=emf=60°bedmfn,得出fm=be=bc=ac,fmac,nemnac,=af=fn，由直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，得出af=fn=ef=df.方法六：構(gòu)造m形全等，

4、導(dǎo)邊等,證全等得出如圖6，在ab上截取一點(diǎn)n,使得dn=be, 過f作mfbc,交ab于m.先證全等m型 bedndf,推出bd=nf,b=dfn=60°.mfbcnmf=b=60°，可證 mnf為等邊三角形，設(shè)bd=nf=mn=mf=a,dm=b,dn=be=a+b,ba=bc=2a+2b,dm=an=b,再由sas證dmfanf. fa=df.方法七：雙8字形相似，直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半得出如圖7，連接ae,延長df至k,使fk=fd,連接ak、ek.由df=ef=fk先證dek=90°=aeb,deb=aek,再證adf=bed,adf=aek.a

5、od=koe,aodkoe,=,=,又eod=koa.aokdoe,oak=ode=60°，bao=30°dak=90°.由直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，得出af=fk=df.方法八：利用中點(diǎn)m形相似，雙8相似形，導(dǎo)角證得如圖8，延長ef交ac于p,先證m形相似bdecep,bed=epc.=又be=ce=b=dep=60°，bdeedp.bed=dpe=epc,可證adq=bedadq=fpq,pqf為公共角.qpfqda,導(dǎo)出qfaqpd.推出hap=hdf.由雙8字形相似導(dǎo)出daf=dpf,從而fad=fda,df=af.方法九：利用等邊三角形

6、三線合一，雙8相似，全等證得如圖9，連接ae交df于o,作fhad于h,交ae于k,連接dk.先證akh=fke=edf=60°.doe=kofdoekof.再 導(dǎo)出kodfoe.dke=dfe=60°，akd=120°. akh=60°,akh=dkh=60 °. 進(jìn)而可證akhdkh,ah=dh.又因?yàn)閒had,af=df.（作者單位：哈爾濱市第四十七中學(xué)）endprint已知：如圖，abc、def均為等邊三角形，連接af.當(dāng)be=ec時(shí)，探究fa與df的數(shù)量關(guān)系.答案：fa=df方法一：取中點(diǎn)，利用全等證得如圖1,分別取ab的中點(diǎn)m，連接

7、me、mf.e是bc的中點(diǎn) bm=be.又b=60°bme為等邊三角形.bme=60°、 me=bm=am.由（1）可得emf=60°amf=emf=60°.又mf=mf,amfemf .af=ef=df.方法二：構(gòu)造等邊三角形，共頂點(diǎn)雙等邊旋轉(zhuǎn)類全等轉(zhuǎn)移線段，全等證得如圖2，作d作dgbc交ac于g,連接eg，可證adg為等邊三角形，由此adfgde得到af=eg.ab-ad=ac-ag,bd=cg再由sas證bdecge.eg=de,而de=df.fa=df.方法三：利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等形證得如圖3，連接ae,

8、過e作egab,過f作fhae,垂足分別為g、h.e是bc的中點(diǎn)且abc為等邊三角形bae=30°、ae=2eg、aeg=60°. def為等邊三角形知de=ef=df,def=60°=aeg可得ged=aef,證得degfeh,得出eg=eh.ae=2eg,ah=eh,fh 為ae的垂直平分線，故af=ef=de=df.方法四：向外構(gòu)造等邊三角形，共頂點(diǎn)雙等邊旋轉(zhuǎn)類全等轉(zhuǎn)移線段，全等證得如圖4，連接ae,作等邊aei,連接di,由雙等邊得到旋轉(zhuǎn)類deifea,得出af=id.證ead=iad=30°由此利用sas可知adiade,得出de=id.df=

9、de=id=af.方法五：構(gòu)造全等m形，三角形斜邊中線等于斜邊的一半得出如圖5，延長af交bc于n,過f作fmac交bc于m.先證bed=efm,b=c=emf=60°bedmfn,得出fm=be=bc=ac,fmac,nemnac,=af=fn，由直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，得出af=fn=ef=df.方法六：構(gòu)造m形全等，導(dǎo)邊等,證全等得出如圖6，在ab上截取一點(diǎn)n,使得dn=be, 過f作mfbc,交ab于m.先證全等m型 bedndf,推出bd=nf,b=dfn=60°.mfbcnmf=b=60°，可證 mnf為等邊三角形，設(shè)bd=nf=mn=mf=

10、a,dm=b,dn=be=a+b,ba=bc=2a+2b,dm=an=b,再由sas證dmfanf. fa=df.方法七：雙8字形相似，直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半得出如圖7，連接ae,延長df至k,使fk=fd,連接ak、ek.由df=ef=fk先證dek=90°=aeb,deb=aek,再證adf=bed,adf=aek.aod=koe,aodkoe,=,=,又eod=koa.aokdoe,oak=ode=60°，bao=30°dak=90°.由直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，得出af=fk=df.方法八：利用中點(diǎn)m形相似，雙8相似形，導(dǎo)角證得

11、如圖8，延長ef交ac于p,先證m形相似bdecep,bed=epc.=又be=ce=b=dep=60°，bdeedp.bed=dpe=epc,可證adq=bedadq=fpq,pqf為公共角.qpfqda,導(dǎo)出qfaqpd.推出hap=hdf.由雙8字形相似導(dǎo)出daf=dpf,從而fad=fda,df=af.方法九：利用等邊三角形三線合一，雙8相似，全等證得如圖9，連接ae交df于o,作fhad于h,交ae于k,連接dk.先證akh=fke=edf=60°.doe=kofdoekof.再 導(dǎo)出kodfoe.dke=dfe=60°，akd=120°. a

12、kh=60°,akh=dkh=60 °. 進(jìn)而可證akhdkh,ah=dh.又因?yàn)閒had,af=df.（作者單位：哈爾濱市第四十七中學(xué)）endprint已知：如圖，abc、def均為等邊三角形，連接af.當(dāng)be=ec時(shí)，探究fa與df的數(shù)量關(guān)系.答案：fa=df方法一：取中點(diǎn)，利用全等證得如圖1,分別取ab的中點(diǎn)m，連接me、mf.e是bc的中點(diǎn) bm=be.又b=60°bme為等邊三角形.bme=60°、 me=bm=am.由（1）可得emf=60°amf=emf=60°.又mf=mf,amfemf .af=ef=df.方法二：構(gòu)

13、造等邊三角形，共頂點(diǎn)雙等邊旋轉(zhuǎn)類全等轉(zhuǎn)移線段，全等證得如圖2，作d作dgbc交ac于g,連接eg，可證adg為等邊三角形，由此adfgde得到af=eg.ab-ad=ac-ag,bd=cg再由sas證bdecge.eg=de,而de=df.fa=df.方法三：利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等形證得如圖3，連接ae,過e作egab,過f作fhae,垂足分別為g、h.e是bc的中點(diǎn)且abc為等邊三角形bae=30°、ae=2eg、aeg=60°. def為等邊三角形知de=ef=df,def=60°=aeg可得ged=aef,證得degfe

14、h,得出eg=eh.ae=2eg,ah=eh,fh 為ae的垂直平分線，故af=ef=de=df.方法四：向外構(gòu)造等邊三角形，共頂點(diǎn)雙等邊旋轉(zhuǎn)類全等轉(zhuǎn)移線段，全等證得如圖4，連接ae,作等邊aei,連接di,由雙等邊得到旋轉(zhuǎn)類deifea,得出af=id.證ead=iad=30°由此利用sas可知adiade,得出de=id.df=de=id=af.方法五：構(gòu)造全等m形，三角形斜邊中線等于斜邊的一半得出如圖5，延長af交bc于n,過f作fmac交bc于m.先證bed=efm,b=c=emf=60°bedmfn,得出fm=be=bc=ac,fmac,nemnac,=af=fn

15、，由直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，得出af=fn=ef=df.方法六：構(gòu)造m形全等，導(dǎo)邊等,證全等得出如圖6，在ab上截取一點(diǎn)n,使得dn=be, 過f作mfbc,交ab于m.先證全等m型 bedndf,推出bd=nf,b=dfn=60°.mfbcnmf=b=60°，可證 mnf為等邊三角形，設(shè)bd=nf=mn=mf=a,dm=b,dn=be=a+b,ba=bc=2a+2b,dm=an=b,再由sas證dmfanf. fa=df.方法七：雙8字形相似，直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半得出如圖7，連接ae,延長df至k,使fk=fd,連接ak、ek.由df=ef=fk先證

16、dek=90°=aeb,deb=aek,再證adf=bed,adf=aek.aod=koe,aodkoe,=,=,又eod=koa.aokdoe,oak=ode=60°，bao=30°dak=90°.由直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，得出af=fk=df.方法八：利用中點(diǎn)m形相似，雙8相似形，導(dǎo)角證得如圖8，延長ef交ac于p,先證m形相似bdecep,bed=epc.=又be=ce=b=dep=60°，bdeedp.bed=dpe=epc,可證adq=bedadq=fpq,pqf為公共角.qpfqda,導(dǎo)出qfaqpd.推出hap=hdf.由雙8字形相似導(dǎo)出daf=dpf,從