2011年高考全國數(shù)學(xué)試卷(新課標(biāo))-理科(含詳解答案)

1、2011 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)第 i 卷一、選擇題：本大題共12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。(1) 復(fù)數(shù)212ii的共軛復(fù)數(shù)是（ a ）35i（b）35i（c）i（d）i解析：212ii=(2)(12 ),5iii共軛復(fù)數(shù)為 c（2）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在+（0，）單調(diào)遞增的函數(shù)是（a）3yx (b) 1yx（c）21yx (d) 2xy解析: 由圖像知選 b （3）執(zhí)行右面的程序框圖， 如果輸入的 n是 6，那么輸出的p 是（a）120 （b）720 （c）1440 （d）5040 解析：框圖表示1nnan a，且11a所

2、求6a720 選 b （4）有 3 個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組，每位同學(xué)參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為（a）13（b）12（c ）23（d）34解析 ; 每個同學(xué)參加的情形都有3 種，故兩個同學(xué)參加一組的情形有9 種，而參加同一組的情形只有3 種，所求的概率為p=3193選 a （5）已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線2yx上，則cos2= 解析：由題知tan2,222222cossin1tan3cos2cossin1tan5選 b （a）45（b）35（c ）35（d ）45（6）在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯

3、視圖如右圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為解析：條件對應(yīng)的幾何體是由底面棱長為r 的正四棱錐沿底面對角線截出的部分與底面為半徑為 r 的圓錐沿對稱軸截出的部分構(gòu)成的。故選d （7） 設(shè)直線 l 過雙曲線 c的一個焦點(diǎn)，且與 c的一條對稱軸垂直， l 與 c交于 a , b兩點(diǎn)， ab 為 c的實(shí)軸長的 2 倍，則 c的離心率為（a）2（b）3（c ）2 （d）3 解析：通徑 |ab|=222baa得2222222baaca ，選 b （8）512axxxx的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為（a）-40 （b）-20 （c）20 （d）40 解析 1. 令 x=1 得 a=1.故原式 =

4、511()(2)xxxx。511()(2)xxxx的5 2155 2155(2 )()( 1) 2rrrrrrrrtcxxcx，由 5-2r=1 得 r=2, 對應(yīng)的常數(shù)項(xiàng) =80，由 5-2r=-1 得 r=3, 對應(yīng)的常數(shù)項(xiàng) =-40，故所求的常數(shù)項(xiàng)為40 ，選 d解析 2. 用組合提取法 , 把原式看做 6 個因式相乘，若第1 個括號提出 x, 從余下的 5 個括號中選 2 個提出 x，選 3 個提出1x；若第 1 個括號提出1x，從余下的括號中選 2 個提出1x，選 3 個提出 x. 故常數(shù)項(xiàng) =223322335353111(2)()()(2)xcxcccxxxx=-40+80=40

5、 （9）由曲線 yx ，直線2yx及y軸所圍成的圖形的面積為（a）103（b）4 （c）163（d）6 解析; 用定積分求解43242002116(2)(2 ) |323sxxdxxxx，選 c （10）已知 a 與 b 均為單位向量，其夾角為，有下列四個命題12:10,3pab22:1,3pab3:10,3pab4:1,3pab其中的真命題是（a）14,p p（b）13,p p（c）23,p p（d）24,p p解析：222cos22cos1ababab得，1cos2，20,3。由222cos22cos1ababab得1cos2,3。選 a （11）設(shè)函數(shù)( )sin()cos()(0,)2

6、f xxx的最小正周期為，且()( )fxf x ，則（a）( )f x 在 0,2單調(diào)遞減（b）( )f x 在3,44單調(diào)遞減（c）( )f x 在 0,2單調(diào)遞增（d）( )f x 在3,44單調(diào)遞增解 析 ：()2 s i n ()4fxx， 所 以2， 又f(x)為 偶 函 數(shù) ，,424kkkz，( )2sin(2)2 cos22f xxx，選 a (12) 函數(shù)11yx的圖像與函數(shù)2sin( 24)yxx的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于（a）2 (b) 4 (c) 6 (d)8 解析：圖像法求解。11yx的對稱中心是（ 1,0 ）也是2sin( 24)yxx的中心，24x他們的圖像

7、在 x=1 的左側(cè)有 4 個交點(diǎn)，則 x=1右側(cè)必有 4 個交點(diǎn)。不 妨 把 他 們 的 橫 坐 標(biāo) 由 小 到 大 設(shè) 為1,2345678,x xxx xx xx， 則18273642xxxxxxxx，所以選 d 第卷二、填空題：本大題共4 小題，每小題 5 分。（13）若變量, x y滿足約束條件329,69,xyxy則2zxy的最小值為。解析：畫出區(qū)域圖知，當(dāng)直線2zxy 過239xyxy的交點(diǎn) (4,-5)時，min6z（14）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓c的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)12,f f 在 x 軸上，離心率為22。過1f 的直線 l 交 c于,a b 兩點(diǎn)，且2abfv的周長為

8、16，那么c的方程為。解析：由22416caa得 a=4.c=22, 從而 b=8,221168xy為所求。（15） 已知矩形abcd的頂點(diǎn)都在半徑為4 的球o的球面上，且6,2 3abbc,則棱錐oabcd的體積為。解析：設(shè) abcd 所在的截面圓的圓心為m,則 am=221(23)6232, om=224(23)2，162 328 33oabcdv. （16）在abcv中，60 ,3bac，則2abbc的最大值為。解析：00120120acca,0(0,120 )a,22sinsinsinbcacbcaab022sin2sin(120)3 cossinsinsinabacabcaaacb；

9、2abbc3cos5sin28sin()2 7sin()aaaa，故最大值是2 7三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（17） （本小題滿分12 分）等比數(shù)列na的各項(xiàng)均為正數(shù)，且212326231,9.aaaa a（ ) 求數(shù)列na的通項(xiàng)公式；（）設(shè)31323loglog.log,nnbaaa 求數(shù)列1nb的前 n 項(xiàng)和. 解析：（）設(shè)數(shù)列an 的公比為 q，由23269aa a得32349aa所以219q。由條件可知a0, 故13q。由12231aa得12231aa q，所以113a。故數(shù)列 an 的通項(xiàng)式為an=13n。（）31323nloglog.lognbaaa(12

10、.)(1)2nn n故12112()(1)1nbn nnn12111111112.2(1)().()22311nnbbbnnn所以數(shù)列1nb的前 n 項(xiàng)和為21nn(18)( 本小題滿分12 分) 如圖，四棱錐p-abcd中，底面abcd為平行四邊形， dab=60 ,ab=2ad,pd底面abcd. ( ) 證明：pabd；( ) 若pd=ad，求二面角a-pb-c的余弦值。解析 1： （）因?yàn)?0 ,2dababad, 由余弦定理得3bdad從而 bd2+ad2= ab2，故bd ad;又pd 底面abcd，可得bd pd所以bd 平面pad.故pabd（）如圖，以d為坐標(biāo)原點(diǎn)， ad的長

11、為單位長，射線da為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系 d-xyz，則1,0,0a,03,0b，,1,3,0c,0,0,1p。( 1, 3,0),(0, 3, 1),( 1,0,0)abpbbcuu u vuu vuuu v設(shè)平面 pab的法向量為n=（x,y,z ） ，則00n abn pb, 即3030 xyyz因此可取n=( 3,1, 3)設(shè)平面 pbc的法向量為m ，則00m pbm bc可取 m= （0，-1，3）42 7cos,72 7m n故二面角a-pb-c的余弦值為2 77（19） （本小題滿分12 分）某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大

12、于或等于102 的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為a 配方和 b 配方）做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了 100 件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果：（）分別估計用a配方， b配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；（）已知用b配方生成的一件產(chǎn)品的利潤y( 單位：元 ) 與其質(zhì)量指標(biāo)值t 的關(guān)系式為z x p c b a d y 從用 b配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤記為x（單位：元） ，求x的分布列及數(shù)學(xué)期望. （以試驗(yàn)結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率）解析： （）由試驗(yàn)結(jié)果知，用a配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)的平率為228=0.3100，所以用 a配方生產(chǎn)的

13、產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計值為0.3 。由試驗(yàn)結(jié)果知，用b配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為32100.42100，所以用b 配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計值為0.42 （ ） 用b配 方 生 產(chǎn) 的100件 產(chǎn) 品 中 ， 其 質(zhì) 量 指 標(biāo) 值 落 入 區(qū) 間90,94 , 94,102 , 102,110的頻率分別為0.04 ，,054,0.42，因此 x的可能值為 -2,2,4 p(x=-2)=0.04, p(x=2)=0.54, p(x=4)=0.42, 即 x的分布列為x的數(shù)學(xué)期望值ex=-20.04+2 0.54+4 0.42=2.68 （20） （本小題滿分12 分）在平面直角坐標(biāo)系xo

14、y中，已知點(diǎn)a(0,-1)，b點(diǎn)在直線y = -3 上， m點(diǎn)滿足/ /mboauuu ruur，ma abmb bauuu ruu u ruuu r uu r，m點(diǎn)的軌跡為曲線c。（）求c的方程；（）p為c上的動點(diǎn)，l為c在p點(diǎn)處得切線，求o點(diǎn)到l距離的最小值。解析 ; ( ) 設(shè) m(x,y),由已知得b(x,-3),a(0,-1). 所以mauuu r=（-x,-1-y）, mbuuu r=(0,-3-y), abuu u r=(x,-2). 再由題意可知（mauuu r+mbuuu r）?abuu u r=0, 即（ -x,-4-2y）? (x,-2)=0. 所以曲線c的方程式為y=1

15、4x2-2. x -2 2 4 p 0.04 0.54 0.42 ( )設(shè) p(x0,y0) 為曲線 c：y=14x2-2 上一點(diǎn)，因?yàn)閥=12x, 所以l的斜率為12x0因此直線l的方程為0001()2yyxxx，即2000220 x xyyx。則 o 點(diǎn)到l的距離20020|2|4yxdx. 又200124yx，所以2020220014142(4)2,244xdxxx當(dāng)20 x=0 時取等號，所以o 點(diǎn)到l距離的最小值為2. （21） （本小題滿分12 分）已 知 函 數(shù)ln( )1axbf xxx， 曲 線( )yf x在 點(diǎn)( 1 ,(1)f處 的 切 線 方 程 為230 xy。（）

16、求a、b的值；（）如果當(dāng)0 x，且1x時，ln( )1xkf xxx，求k的取值范圍。解析：（）221(ln)( )(1)xxbxfxxx由于直線230 xy的斜率為12，且過點(diǎn)(1,1)，故(1)1,1(1),2ff即1,1,22bab解得1a，1b。（）由（）知ln1f ( )1xxxx，所以22ln1(1)(1)( )()(2ln)11xkkxf xxxxxx?？紤]函數(shù)( )2lnh xx2(1)(1)kxx(0)x，則22(1)(1)2( )kxxh xx。(i) 設(shè)0k，由222(1)(1)( )k xxh xx知，當(dāng)1x時，( )0h x，h(x) 遞減。而(1)0h故當(dāng)(0,1)

17、x時，( )0h x，可得21( )01h xx；當(dāng) x（1，+）時， h（x）0 從而當(dāng) x0, 且 x1 時， f （x）- （1lnxx+xk）0，即 f （x）1lnxx+xk. （ ii ）設(shè)0k0, 故h (x ）0,而 h（1）=0，故當(dāng)x（ 1，k11）時， h（x）0，可得211xh（x）0, 而 h（1）=0，故當(dāng) x（1，+）時， h（x）0，可得211x h （x）0, 與題設(shè)矛盾。綜合得， k 的取值范圍為（-，0 點(diǎn)評 ; 求參數(shù)的范圍一般用離參法，然后用導(dǎo)數(shù)求出最值進(jìn)行求解。若求導(dǎo)后不易得到極值點(diǎn)，可二次求導(dǎo)，還不行時，就要使用參數(shù)討論法了。即以參數(shù)為分類標(biāo)準(zhǔn)，看

18、是否符合題意。求的答案。此題用的便是后者。請考生在第22、23、24 題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分。做答時請寫清題號。（22） （本小題滿分10 分）選修 4-1 ：幾何證明選講如圖，d，e分別為abc的邊ab，ac上的點(diǎn)， 且不與abc的頂點(diǎn)重合。已知ae的長為m，ac的長為 n,ad，ab的長是關(guān)于x的方程2140 xxmn的兩個根。（）證明：c，b，d，e四點(diǎn)共圓；（）若90a，且4,6mn，求c，b，d，e所在圓的半徑。解析： （i ）連接 de，根據(jù)題意在ade和 acb中，adabmnaeac即abaeacad. 又 dae= cab,從而 ade acb 因此 ade= acb 所以 c,b,d,e 四點(diǎn)共圓。（） m=4, n=6 時，方程x2-14x+mn=0 的兩根為x1=2,x2=12.故 ad=2 ，ab=12. 取 ce的中點(diǎn) g,db的中點(diǎn) f，分別過 g,f 作 ac ，ab的垂線，兩垂線相交于h點(diǎn)，連接dh.因?yàn)?c，b，d，e四點(diǎn)共圓，所以c，b，d，e四點(diǎn)所在圓的圓心為 h，半徑為dh. 由于 a=900，故 gh ab, hfac. hf=ag=5，df= 21(12-2)=5. 故 c,b,d,e 四點(diǎn)所在圓的半徑為52(23)( 本小題滿