731梯子模型的再探究

1、7.3. 1梯子模型的再探究梯子模型的再探究彭翕成 pxc417126武漢華中師范人學(xué)教育部教育信息技術(shù)工程研究中心430079文1利川幾何畫板對“梯了模型”進行了探究，得到了一些軌跡，并對軌跡方程 進行了分析說明。筆者讀后，覺得該文存在兩個比較大的問題：（1）沒冇給出利用信息 技術(shù)探究梯子模型的過程，而此過程乂包含了比較巧妙的數(shù)學(xué)原理，是很多讀者所希望知 道的；（2）分析軌跡方程時,證明相當(dāng)繁瑣,甚至用到高等數(shù)學(xué)中的矩陣知識，讓很多中學(xué) 教師望而生畏。木文將對梯子模型進行再探究，并給岀簡潔的證明。所謂梯子模型，又稱等棍模型，是指有一個梯子斜靠在墻邊，有一個物體掛在梯子上。 梯子滑動時，物體的

2、運動路線如何？轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型就是：端點在坐標(biāo)軸上運動的定長線 段上某點的軌跡如何？由于此軌跡變化很多，不借助計算機是很難探究的。文1采用的 是幾何irni板，筆者考慮到操作的方便性，采用超級畫板，兩種個板所用到的數(shù)學(xué) 原理是一致的。我們首先構(gòu)造基木模型：以原點為圓心，0a為半徑作圓，點a為任意點； 在闘上任取點b,過點b分別向x軸，y軸作垂線段，垂足為c, d；連接cd,線段cd則 為我們模型中的“梯子”，當(dāng)點b在圓上運動時，cd保持長度不變。原因是四邊形bd0c 為矩形，cd = （）b=r, r是圓的半徑，為一定值。這樣我們就巧妙地將c, d網(wǎng)個點的運動 轉(zhuǎn)化成點b個點的運動，既便于操作，

3、乂方便我們進一步探究。探究1：當(dāng)點b在圓上運動時，cd中點的軌跡怎樣？我們作出cd中點e,構(gòu)造點e的軌跡，容易看出軌跡是圓（圖1）。原因很簡單,矩形bdoc兩對角線相等,且互相平分,cd中點即為ob中點,易得 11r222oe ob r （定值），故 x y （）,表示一圓。222注：實際軌跡僅是所在圓的第一象限（下同）。探究2：當(dāng)點b在圓上運動時，cd上其他點的軌跡怎樣？我們在線段cd任収點e,構(gòu)造點e的軌跡，容易看出軌跡是橢圓（圖2）。證明：設(shè)de a, ce b, eco t,則xe acost, ye bsint,轉(zhuǎn)化成直角坐 rr2xe2ye222標(biāo)方程為2 21,表示橢圓。當(dāng)a b

4、時，方程為x y 0 ,橢圓為圓，22ab前面已證。當(dāng)a b時，橢圓的焦點在x軸上。當(dāng)a b時，橢圓的焦點在y軸上。從推導(dǎo)過程我們可以看出，a、b分別表示橢圓的長、短半軸，明門了其兒何意義，我們 就了解了橢圓規(guī)的制作原理，只要改變點e的位豊，我們就可以作出不同扁平程度的橢 圓。探究3：當(dāng)點b在閲上運動時，點b在cd上的投影的運動軌跡?我們作be cd,構(gòu)造點e的軌跡（圖3）,容易看出軌跡是星形線。證明：設(shè) boct 則 bdc , txe decost bdcos2t rcos3t,轉(zhuǎn)化成直角坐 ye bc desint bc bdcostsint rsint rcos2tsint rsin3

5、t, 標(biāo)方程為xe ye r,此為星形線方程。如果再作出線段be的軌跡,則可得到圖4。文2對圖4有非常詳細的論述,本文就不 再贅述了。232323圖3圖4探究4：探求點0在cd上的投影的運動軌跡是怎樣的曲線？我們作og cd,構(gòu)造點g的軌跡（圖5）,容易看出軌跡是四葉玫瑰線。證明：己知be cd, og cd,點f為cd中點，顯然點e和點g關(guān)于點f對稱。設(shè) bog t,上文ll證 xe rcos3t, ye rsin3t, xf1 ircost, yf rsint,則 22xg2xfxercostrcos3trsin2tcost,yg2yfyersintrsin3trsintcos2t,轉(zhuǎn)化成

6、直ffi坐標(biāo)方程為(xg2 yg2)3 (rxgyg)2,此為四葉玫瑰線方程。c圖5圖6探究5：當(dāng)?shù)孛媾c墻壁不垂直，隨著梯了的運動，梯了上的點的軌跡怎樣?探究此問題,我們需要另外建構(gòu)基本模型。作線段ab和cd,交點為e；以點e為圓 心，ef為半徑作圓，f為任意點；在圓上任取點g,過點g分別向ab, cd線段作垂線段， 垂足為i, h；連接th,線段th則為我們模型中的“梯子”，當(dāng)點g在圓上運動時，th保 持長度不變。原因是gi ce, gh eh,則gieh四點共圓；根拯止弦定理，對得 iii rsin (設(shè)ef r, bec ),而當(dāng)點g在圓上運動時，r和 均為定值，所以ih也為定值。我們利

7、用超級畫板能夠很快作岀點j的軌跡，容易看岀軌跡是橢圓(圖6) o證明：我們作ke be,以點e為原點，ab直線為x軸，ke直線為y軸建立坐標(biāo)系。si nt,設(shè) becyjxj eisin(90ihe t, ij a, jh bo根據(jù)兒何關(guān)系可得el rijcost, yjjhsinto 化簡可得 xj rcos byj2xjyjxj22rcos 1r2cos2 2cos ),即 2 xjyj 2( l)yj2 10,即12( r22baabaabba11r2cos2 rcos 211）00,顯然為圓錐曲線的一般方程，又因為2*2（表示2222abaababxj2yj2為橢圓。當(dāng)bec 90時，方程為2 21,可見探究2是探究5的特例。ab利用超級畫板這個工具，我們可以很容易地發(fā)現(xiàn)更多的變化，作出很多漂亮的圖 案。譬如：跟蹤其他一些線段,得到圖7, 8；可以適當(dāng)放寬條件,得到圖9；而在探究5的 基礎(chǔ)上繼續(xù)研究，變化就更加多了（圖10, 11） o當(dāng)各式各樣的軌跡出現(xiàn)在我們眼前的時 候，我們怎么會不被數(shù)學(xué)的奧妙所吸引？怎么會沒有那種渴望揭開謎底的沖動呢？筆考猜想： 所謂的探究性學(xué)習(xí)大概就是這樣了的吧!ta圖7圖8圖