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1、1第五節(jié)第五節(jié)橢圓橢圓第第 1 課時(shí)課時(shí)橢圓及其性質(zhì)橢圓及其性質(zhì)最新考綱1.了解橢圓的實(shí)際背景,了解橢圓在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)1橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) f1,f2的距離的和等于常數(shù)(大于|f1f2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距集合 pm|mf1|mf2|2a,|f1f2|2c,其中 a0,c0,且 a,c 為常數(shù):(1)若 ac,則集合 p 為橢圓(2)若 ac,則集合 p 為線(xiàn)段(3)若 ac,則集合 p 為空集2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2y2b21(ab0)y
2、2a2x2b21(ab0)圖形范圍axa,bybbxb,aya對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸:坐標(biāo)軸;對(duì)稱(chēng)中心:原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)a1(a,0),a2(a,0),b1(0,b),b2(0,b)a1(0,a),a2(0,a),b1(b,0),b2(b,0)焦點(diǎn)坐標(biāo)f1(c,0),f2(c,0)f1(0,c),f2(0,c)性半軸長(zhǎng)長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為 a,短半軸長(zhǎng)為 b2質(zhì)離心率eca,且 e(0,1)a,b,c 的關(guān)系c2a2b2常用結(jié)論1 過(guò)橢圓焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的弦是最短的弦, 長(zhǎng)為2b2a, 過(guò)焦點(diǎn)最長(zhǎng)弦為長(zhǎng)軸2過(guò)原點(diǎn)最長(zhǎng)弦為長(zhǎng)軸長(zhǎng) 2a,最短弦為短軸長(zhǎng) 2b.3與橢圓x2a2y2b21(ab0)有公共焦點(diǎn)的橢圓方程為x2a
3、2y2b21(b2)4焦點(diǎn)三角形:橢圓上的點(diǎn) p(x0,y0)與兩焦點(diǎn) f1,f2構(gòu)成的pf1f2叫做焦點(diǎn)三角形若f1pf2,則(1)|pf1|pf2|2a.(2)4c2|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cos .(3)spf1f212|pf1|pf2|sin ,當(dāng)|y0|b,即 p 為短軸端點(diǎn)時(shí),spf1f2取最大值,為 bc.(4)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為 2(ac)(5)已知過(guò)焦點(diǎn) f1的弦 ab,則abf2的周長(zhǎng)為 4a.一、思考辨析(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”)(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) f1,f2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓()(2)橢圓的離心率 e 越大,橢圓就越圓()(3
4、)y2a2x2b21(ab)表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓()(4)x2a2y2b21(ab0)與y2a2x2b21(ab0)的焦距相等()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改編31設(shè) p 是橢圓x225y2161 上的點(diǎn),若 f1,f2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),則|pf1|pf2|等于()a4b5c8d10d依橢圓的定義知:|pf1|pf2|2510.2已知中心在原點(diǎn)的橢圓 c 的右焦點(diǎn)為 f(1,0),離心率等于12,則橢圓 c的方程是()a.x23y241b.x24y231c.x24y221d.x24y231d設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2y2b21(ab0)因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)為 f(1,0),離心率
5、 e12,所以c1,ca12,a2b2c2,解得a24,b23,故橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y231.3過(guò)點(diǎn) a(3,2)且與橢圓x29y241 有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程為()a.x215y2101b.x225y2201c.x210y2151d.x220y2151a設(shè)所求橢圓的方程為x29y241(4),則有99441,解得6,故所求橢圓方程為x215y2101.4已知點(diǎn) p 是橢圓x25y241 上 y 軸右側(cè)的一點(diǎn),且以點(diǎn) p 及焦點(diǎn) f1,f2為頂點(diǎn)的三角形的面積等于 1,則點(diǎn) p 的坐標(biāo)為4152,1或152,1設(shè) p(xp,yp),xp0,由題意知|f1f2|2.則 spf1f212
6、|f1f2|yp|1,解得|yp|1.代入橢圓的方程,得x25141,解得 x152,因此點(diǎn) p 的坐標(biāo)為152,1或152,1.考點(diǎn) 1橢圓的定義及應(yīng)用利用定義求方程、焦點(diǎn)三角形及最值的方法求方程通過(guò)對(duì)題設(shè)條件分析、轉(zhuǎn)化后,能夠明確動(dòng)點(diǎn) p 滿(mǎn)足橢圓的定義,便可直接求解其軌跡方程求焦點(diǎn)三角形利用定義求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)和面積 解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題常利用橢圓的定義、正弦定理或余弦定理其中|pf1|pf2|2a兩邊平方是常用技巧求最值抓住|pf1|與|pf2|之和為定值, 可聯(lián)系到基本不等式求|pf1|pf2|的最值; 利用定義|pf1|pf2|2a 轉(zhuǎn)化或變形,借助三角形性質(zhì)求最值(1)已知兩圓
7、c1:(x4)2y2169,c2:(x4)2y29,動(dòng)圓在圓c1內(nèi)部且和圓 c1相內(nèi)切,和圓 c2相外切,則動(dòng)圓圓心 m 的軌跡方程為()a.x264y2481b.x248y2641c.x248y2641d.x264y2481(2)如圖,橢圓x2a2y241(a2)的左、右焦點(diǎn)分別為 f1,f2,點(diǎn) p 是橢圓上的一點(diǎn),若f1pf260,那么pf1f2的面積為()5a.2 33b.3 32c.3 34d.4 33(3)設(shè) f1,f2分別是橢圓x225y2161 的左、右焦點(diǎn),p 為橢圓上任意一點(diǎn),點(diǎn)m 的坐標(biāo)為(6,4),則|pm|pf1|的最小值為(1)d(2)d(3)5(1)設(shè)圓 m 的半
8、徑為 r,則|mc1|mc2|(13r)(3r)168|c1c2|, 所以 m 的軌跡是以 c1, c2為焦點(diǎn)的橢圓, 且 2a16,2c8,故所求的軌跡方程為x264y2481.(2)由題意知|pf1|pf2|2a,|f1f2|24a216,由余弦定理得4a216|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cos 60,即 4a216(|pf1|pf2|)23|pf1|pf2|,|pf1|pf2|163,spf1f212|pf1|pf2|sin 604 33,故選 d.(3)由題意知,點(diǎn) m 在橢圓外部,且|pf1|pf2|10,則|pm|pf1|pm|(10|pf2|)|pm|pf2|10
9、|f2m|10.(當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn) p,m,f2三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)等號(hào)成立)又 f2(3,0),則|f2m| 6324025.|pm|pf1|5,即|pm|pf1|的最小值為5.解答本例 t(3)的關(guān)鍵是差式(|pm|pf1|)轉(zhuǎn)化為和式|pm|pf2|10.而轉(zhuǎn)化的依據(jù)為|pf1|pf2|2a.1.已知 a(1,0),b 是圓 f: x22xy2110(f 為圓心)上一動(dòng)點(diǎn),線(xiàn)段 ab 的垂直平分線(xiàn)交 bf 于 p,則動(dòng)點(diǎn) p 的軌跡方程為()a.x212y2111b.x236y2351c.x23y221d.x23y221d由題意得|pa|pb|,6|pa|pf|pb|pf|r2 3|af|2,點(diǎn) p 的
10、軌跡是以 a,f 為焦點(diǎn)的橢圓,且 a 3,c1,b 2,動(dòng)點(diǎn) p 的軌跡方程為x23y221,故選 d.2已知橢圓 c:x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為 f1,f2,離心率為23,過(guò) f2的直線(xiàn) l 交 c 于 a,b 兩點(diǎn),若af1b 的周長(zhǎng)為 12,則橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程為()a.x23y21b.x23y221c.x29y241d.x29y251d由橢圓的定義,知|af1|af2|2a,|bf1|bf2|2a,所以af1b 的周長(zhǎng)為|af1|af2|bf1|bf2|4a12,所以 a3.因?yàn)闄E圓的離心率 eca23,所以 c2,所以 b2a2c25,所以橢圓 c 的方程為x
11、29y251,故選 d.3已知 f1,f2是橢圓 c:x2a2y2b21(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn),p 為橢圓 c 上的一點(diǎn),且 pf1pf2,若pf1f2的面積為 9,則 b.3設(shè)|pf1|r1,|pf2|r2,則r1r22a,r21r224c2,所以 2r1r2(r1r2)2(r21r22)4a24c24b2,所以 spf1f212r1r2b29,所以 b3.考點(diǎn) 2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法(1)定義法根據(jù)橢圓的定義,確定 a2,b2的值,結(jié)合焦點(diǎn)位置寫(xiě)出橢圓方程(2)待定系數(shù)法一般步驟如下:7(1)一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn) f1,f2在 x 軸上,p(2, 3)是橢圓上一點(diǎn),且
12、|pf1|,|f1f2|,|pf2|成等差數(shù)列,則橢圓的方程為(2)已知橢圓的中心在原點(diǎn), 以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸, 且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn) p1( 6, 1), p2( 3,2),則橢圓的方程為(3)一題多解與橢圓x24y231 有相同離心率且經(jīng)過(guò)點(diǎn) p(2, 3)的橢圓方程為(1)x28y261(2)x29y231(3)y2253x22541 或x28y261(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2y2b21(ab0),由點(diǎn) p(2, 3)在橢圓上知4a23b21.又|pf1|,|f1f2|,|pf2|成等差數(shù)列,則|pf1|pf2|2|f1f2|,即 2a22c,ca12.又 c2a2b2, 聯(lián)立4a23b21,
13、c2a2b2,ca12,得 a28, b26, 故橢圓方程為x28y261.(2)設(shè)橢圓方程為 mx2ny21(m0,n0 且 mn)橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn) p1, p2, 點(diǎn) p1, p2的坐標(biāo)適合橢圓方程, 則6mn1,3m2n1,8由兩式聯(lián)立,解得m19,n13,所求橢圓的方程為x29y231.(3)法一:因?yàn)?ecaa2b2a1b2a213412,若焦點(diǎn)在 x 軸上,設(shè)所求橢圓方程為x2m2y2n21(mn0),則 1nm214,從而nm234,nm32.又4m23n21,所以 m28,n26.所以橢圓方程為x28y261.若焦點(diǎn)在 y 軸上,設(shè)橢圓方程為y2h2x2k21(hk0),則3h24k
14、21,且kh32,解得 h2253,k2254.故所求方程為y2253x22541,故橢圓的方程為y2253x22541 或x28y261.法二:若焦點(diǎn)在 x 軸上,設(shè)所求橢圓方程為x24y23t(t0),將點(diǎn) p(2, 3)代入,得 t224 3232.故所求方程為x28y261;若焦點(diǎn)在 y 軸上,設(shè)方程為y24x23(0),代入點(diǎn) p(2, 3),得2512,故所求方程為y2253x22541.故橢圓的方程為y2253x22541 或x28y261.9離心率相同的兩個(gè)橢圓焦點(diǎn)可能在不同的軸上,因此要分類(lèi)求解,如本例 t(3)教師備選例題1已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在 x 軸上,長(zhǎng)、短半軸
15、長(zhǎng)之和為 10,焦距為 4 5,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()a.x26y241b.x216y2361c.x236y2161d.x249y291c由長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)之和為 10,焦距為 4 5,可得 ab10,2c4 5,c2 5.又 a2b2c2, a236, b216.焦點(diǎn)在 x 軸上, 所求橢圓方程為x236y2161.故選 c.2已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓過(guò)點(diǎn) a(3,0),且離心率 e53,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29y241 或y2814x291若焦點(diǎn)在 x 軸上, 由題知 a3, 因?yàn)闄E圓的離心率e53,所以 c 5,b2,所以橢圓方程是x29y241.若焦點(diǎn)在 y 軸上,則 b3,a2c29,又
16、離心率 eca53,解得 a2814,所以橢圓方程是y2814x291.1.已知 a,br,則“a0b”是“x2ay2b1 表示橢圓”的()a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件b當(dāng) a0b 且 ab 時(shí),x2ay2b1 表示圓, 充分性不成立; 當(dāng)x2ay2b1 表示橢圓時(shí),a0b 且 ab,必要性成立,所以“a0b”是“x2ay2b1 表示橢圓”的必要不充分條件,故選 b.102 已知橢圓 c 的中心在原點(diǎn), 焦點(diǎn)在 x 軸上, 且短軸長(zhǎng)為 2, 離心率為2 55,則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()a.x25y21b.x23y21c.x24y21d.y24x21a由題意設(shè)橢
17、圓方程為x2a2y2b21(ab0), 則 2b2, 故 b1.又ca2 55,a2b2c2,a25.橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程為x25y21.故選 a.考點(diǎn) 3橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓離心率的值(或范圍)1求橢圓離心率的方法(1)定義法:根據(jù)條件求出 a,c,直接利用公式 eca求解(2)方程法:根據(jù)條件得到關(guān)于 a,b,c 的齊次等式(不等式),結(jié)合 b2a2c2轉(zhuǎn)化為關(guān)于 a,c 的齊次等式(不等式),然后將該齊次等式(不等式)兩邊同時(shí)除以 a 或 a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于 e 或 e2的方程(不等式),解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范圍)2求橢圓離心率范圍的兩種方法方法解法適合題型幾何法利用橢圓的
18、幾何性質(zhì), 設(shè) p(x0, y0)為橢圓x2a2y2b21(ab0)上一點(diǎn),則|x0|a,ac|pf1|ac 等,建立不等關(guān)系,或者根據(jù)幾何圖形的臨界情況建立不等關(guān)系題設(shè)條件有明顯的幾何關(guān)系直接法根據(jù)題目中給出的條件或根據(jù)已知條件得出不等關(guān)系,直接轉(zhuǎn)化為含有 a,b,c 的不等關(guān)系式題設(shè)條件直接有不等關(guān)系11(1)(2018全國(guó)卷)已知 f1,f2是橢圓 c 的兩個(gè)焦點(diǎn),p 是 c 上的一點(diǎn)若 pf1pf2,且pf2f160,則 c 的離心率為()a132b2 3c.312d. 31(2)已知 f1,f2分別是橢圓x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點(diǎn),過(guò) f1且垂直于x 軸的直線(xiàn)與橢圓交于
19、 a,b 上下兩點(diǎn),若abf2是銳角三角形,則該橢圓的離心率 e 的取值范圍是()a(0, 21)b( 21,1)c(0, 31)d( 31,1)(1)d(2)b(1)由題設(shè)知f1pf290,pf2f160,|f1f2|2c,所以|pf2|c,|pf1| 3c.由橢圓的定義得|pf1|pf2|2a,即3cc2a,所以( 31)c2a,故橢圓 c 的離心率 eca231 31.故選 d.(2)f1,f2分別是橢圓x2a2y2b21(a0,b0)的左、右焦點(diǎn),過(guò) f1且垂直于 x 軸的直線(xiàn)與橢圓交于 a,b 上下兩點(diǎn),f1(c,0),f2(c,0),ac,b2a ,bc,b2a ,abf2是銳角三
20、角形,af2f145,tanaf2f11,b2a2c1,整理得 b22ac,a2c22ac,兩邊同時(shí)除以 a2,并整理,得 e22e10,解得 e 21 或 e 21(舍去),0e1,橢圓的離心率 e的取值范圍是( 21,1),故選 b.求離心率的取值范圍,關(guān)鍵是尋找關(guān)于 a,b,c 的不等式,如本例t(2),利用等腰三角形是銳角三角形,則頂角的一半小于4,建立不等式求解教師備選例題1已知 f1,f2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),現(xiàn)以 f2為圓心作一個(gè)圓恰好經(jīng)過(guò)橢圓中心并且交橢圓于點(diǎn) m,n,若過(guò) f1的直線(xiàn) mf1是圓 f2的切線(xiàn),則橢圓12的離心率為()a.32b2 3c.22d. 31d如圖所
21、示由題意可得 mf1mf2,|mf2|c,|mf1|2ac,|f1f2|2c,所以 c2(2ac)24c2,化為 c22ac2a20,即 e22e20,e(0,1),解得 e 31,故選 d.2已知橢圓 e:x2a2y2b21(ab0)的右焦點(diǎn)為 f,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為 m,直線(xiàn) l:3x4y0 交橢圓 e 于 a,b 兩點(diǎn)若|af|bf|4,點(diǎn) m 到直線(xiàn) l 的距離不小于45,則橢圓 e 的離心率的取值范圍是()a.0,32b.0,34c.32,1d.34,1a根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性及橢圓的定義可得 a,b 兩點(diǎn)到橢圓的左、右焦點(diǎn)的距離和為 4a2(|af|bf|)8, 所以 a2.又 d|304
22、b|324245, 所以 1b2,所以 eca1b2a21b24.因?yàn)?1b2,所以 0e32,故選 a.與橢圓性質(zhì)有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題與橢圓有關(guān)的最值或范圍問(wèn)題的求解方法(1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義,尤其是橢圓的性質(zhì),求最值或取值范圍(2)利用函數(shù),尤其是二次函數(shù)求最值或取值范圍13(3)利用不等式,尤其是基本不等式求最值或取值范圍(4)利用一元二次方程的判別式求最值或取值范圍(1)(2017全國(guó)卷)設(shè) a, b 是橢圓 c:x23y2m1 長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn) 若c 上存在點(diǎn) m 滿(mǎn)足amb120,則 m 的取值范圍是()a(0,19,)b(0, 39,)c(0,14,)d(0, 34,)(2)(2019開(kāi)封模擬)如圖,焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓x24y2b21 的離心率 e12,f,a 分別是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn),p 是橢圓上任意一點(diǎn),則pfpa的最大值為(1)a(2)4(1)當(dāng) 0m3 時(shí),焦點(diǎn)在 x 軸上,要使 c 上存在點(diǎn) m 滿(mǎn)足amb120,則abtan 60 3
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