2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第1課時(shí) 橢圓及其性質(zhì) 教案

1、1第五節(jié)第五節(jié)橢圓橢圓第第 1 課時(shí)課時(shí)橢圓及其性質(zhì)橢圓及其性質(zhì)最新考綱1.了解橢圓的實(shí)際背景，了解橢圓在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)1橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) f1，f2的距離的和等于常數(shù)(大于|f1f2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距集合 pm|mf1|mf2|2a，|f1f2|2c，其中 a0，c0，且 a，c 為常數(shù)：(1)若 ac，則集合 p 為橢圓(2)若 ac，則集合 p 為線(xiàn)段(3)若 ac，則集合 p 為空集2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2y2b21(ab0)y

2、2a2x2b21(ab0)圖形范圍axa，bybbxb，aya對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)a1(a,0)，a2(a,0)，b1(0，b)，b2(0，b)a1(0，a)，a2(0，a)，b1(b,0)，b2(b,0)焦點(diǎn)坐標(biāo)f1(c,0)，f2(c,0)f1(0，c)，f2(0，c)性半軸長(zhǎng)長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為 a，短半軸長(zhǎng)為 b2質(zhì)離心率eca，且 e(0,1)a，b，c 的關(guān)系c2a2b2常用結(jié)論1 過(guò)橢圓焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的弦是最短的弦， 長(zhǎng)為2b2a， 過(guò)焦點(diǎn)最長(zhǎng)弦為長(zhǎng)軸2過(guò)原點(diǎn)最長(zhǎng)弦為長(zhǎng)軸長(zhǎng) 2a，最短弦為短軸長(zhǎng) 2b.3與橢圓x2a2y2b21(ab0)有公共焦點(diǎn)的橢圓方程為x2a

3、2y2b21(b2)4焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn) p(x0，y0)與兩焦點(diǎn) f1，f2構(gòu)成的pf1f2叫做焦點(diǎn)三角形若f1pf2，則(1)|pf1|pf2|2a.(2)4c2|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cos .(3)spf1f212|pf1|pf2|sin ，當(dāng)|y0|b，即 p 為短軸端點(diǎn)時(shí)，spf1f2取最大值，為 bc.(4)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為 2(ac)(5)已知過(guò)焦點(diǎn) f1的弦 ab，則abf2的周長(zhǎng)為 4a.一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) f1，f2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓()(2)橢圓的離心率 e 越大，橢圓就越圓()(3

4、)y2a2x2b21(ab)表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓()(4)x2a2y2b21(ab0)與y2a2x2b21(ab0)的焦距相等()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改編31設(shè) p 是橢圓x225y2161 上的點(diǎn)，若 f1，f2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則|pf1|pf2|等于()a4b5c8d10d依橢圓的定義知：|pf1|pf2|2510.2已知中心在原點(diǎn)的橢圓 c 的右焦點(diǎn)為 f(1,0)，離心率等于12，則橢圓 c的方程是()a.x23y241b.x24y231c.x24y221d.x24y231d設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2y2b21(ab0)因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)為 f(1,0)，離心率

5、 e12，所以c1，ca12，a2b2c2，解得a24，b23，故橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y231.3過(guò)點(diǎn) a(3，2)且與橢圓x29y241 有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程為()a.x215y2101b.x225y2201c.x210y2151d.x220y2151a設(shè)所求橢圓的方程為x29y241(4)，則有99441，解得6，故所求橢圓方程為x215y2101.4已知點(diǎn) p 是橢圓x25y241 上 y 軸右側(cè)的一點(diǎn)，且以點(diǎn) p 及焦點(diǎn) f1，f2為頂點(diǎn)的三角形的面積等于 1，則點(diǎn) p 的坐標(biāo)為4152，1或152，1設(shè) p(xp，yp)，xp0，由題意知|f1f2|2.則 spf1f212

6、|f1f2|yp|1，解得|yp|1.代入橢圓的方程，得x25141，解得 x152，因此點(diǎn) p 的坐標(biāo)為152，1或152，1.考點(diǎn) 1橢圓的定義及應(yīng)用利用定義求方程、焦點(diǎn)三角形及最值的方法求方程通過(guò)對(duì)題設(shè)條件分析、轉(zhuǎn)化后，能夠明確動(dòng)點(diǎn) p 滿(mǎn)足橢圓的定義，便可直接求解其軌跡方程求焦點(diǎn)三角形利用定義求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)和面積 解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題常利用橢圓的定義、正弦定理或余弦定理其中|pf1|pf2|2a兩邊平方是常用技巧求最值抓住|pf1|與|pf2|之和為定值， 可聯(lián)系到基本不等式求|pf1|pf2|的最值； 利用定義|pf1|pf2|2a 轉(zhuǎn)化或變形，借助三角形性質(zhì)求最值(1)已知兩圓

7、c1：(x4)2y2169，c2：(x4)2y29，動(dòng)圓在圓c1內(nèi)部且和圓 c1相內(nèi)切，和圓 c2相外切，則動(dòng)圓圓心 m 的軌跡方程為()a.x264y2481b.x248y2641c.x248y2641d.x264y2481(2)如圖，橢圓x2a2y241(a2)的左、右焦點(diǎn)分別為 f1，f2，點(diǎn) p 是橢圓上的一點(diǎn)，若f1pf260，那么pf1f2的面積為()5a.2 33b.3 32c.3 34d.4 33(3)設(shè) f1，f2分別是橢圓x225y2161 的左、右焦點(diǎn)，p 為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)m 的坐標(biāo)為(6,4)，則|pm|pf1|的最小值為(1)d(2)d(3)5(1)設(shè)圓 m 的半

8、徑為 r，則|mc1|mc2|(13r)(3r)168|c1c2|， 所以 m 的軌跡是以 c1， c2為焦點(diǎn)的橢圓， 且 2a16,2c8，故所求的軌跡方程為x264y2481.(2)由題意知|pf1|pf2|2a，|f1f2|24a216，由余弦定理得4a216|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cos 60，即 4a216(|pf1|pf2|)23|pf1|pf2|，|pf1|pf2|163，spf1f212|pf1|pf2|sin 604 33，故選 d.(3)由題意知，點(diǎn) m 在橢圓外部，且|pf1|pf2|10，則|pm|pf1|pm|(10|pf2|)|pm|pf2|10

9、|f2m|10.(當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn) p，m，f2三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)等號(hào)成立)又 f2(3,0)，則|f2m| 6324025.|pm|pf1|5，即|pm|pf1|的最小值為5.解答本例 t(3)的關(guān)鍵是差式(|pm|pf1|)轉(zhuǎn)化為和式|pm|pf2|10.而轉(zhuǎn)化的依據(jù)為|pf1|pf2|2a.1.已知 a(1,0)，b 是圓 f： x22xy2110(f 為圓心)上一動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段 ab 的垂直平分線(xiàn)交 bf 于 p，則動(dòng)點(diǎn) p 的軌跡方程為()a.x212y2111b.x236y2351c.x23y221d.x23y221d由題意得|pa|pb|，6|pa|pf|pb|pf|r2 3|af|2，點(diǎn) p 的

10、軌跡是以 a，f 為焦點(diǎn)的橢圓，且 a 3，c1，b 2，動(dòng)點(diǎn) p 的軌跡方程為x23y221，故選 d.2已知橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為 f1，f2，離心率為23，過(guò) f2的直線(xiàn) l 交 c 于 a，b 兩點(diǎn)，若af1b 的周長(zhǎng)為 12，則橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程為()a.x23y21b.x23y221c.x29y241d.x29y251d由橢圓的定義，知|af1|af2|2a，|bf1|bf2|2a，所以af1b 的周長(zhǎng)為|af1|af2|bf1|bf2|4a12，所以 a3.因?yàn)闄E圓的離心率 eca23，所以 c2，所以 b2a2c25，所以橢圓 c 的方程為x

11、29y251，故選 d.3已知 f1，f2是橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，p 為橢圓 c 上的一點(diǎn)，且 pf1pf2，若pf1f2的面積為 9，則 b.3設(shè)|pf1|r1，|pf2|r2，則r1r22a，r21r224c2，所以 2r1r2(r1r2)2(r21r22)4a24c24b2，所以 spf1f212r1r2b29，所以 b3.考點(diǎn) 2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法(1)定義法根據(jù)橢圓的定義，確定 a2，b2的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置寫(xiě)出橢圓方程(2)待定系數(shù)法一般步驟如下：7(1)一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn) f1，f2在 x 軸上，p(2， 3)是橢圓上一點(diǎn)，且

12、|pf1|，|f1f2|，|pf2|成等差數(shù)列，則橢圓的方程為(2)已知橢圓的中心在原點(diǎn)， 以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸， 且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn) p1( 6， 1)， p2( 3，2)，則橢圓的方程為(3)一題多解與橢圓x24y231 有相同離心率且經(jīng)過(guò)點(diǎn) p(2， 3)的橢圓方程為(1)x28y261(2)x29y231(3)y2253x22541 或x28y261(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2y2b21(ab0)，由點(diǎn) p(2， 3)在橢圓上知4a23b21.又|pf1|，|f1f2|，|pf2|成等差數(shù)列，則|pf1|pf2|2|f1f2|，即 2a22c，ca12.又 c2a2b2， 聯(lián)立4a23b21，

13、c2a2b2，ca12，得 a28， b26， 故橢圓方程為x28y261.(2)設(shè)橢圓方程為 mx2ny21(m0，n0 且 mn)橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn) p1， p2， 點(diǎn) p1， p2的坐標(biāo)適合橢圓方程， 則6mn1，3m2n1，8由兩式聯(lián)立，解得m19，n13，所求橢圓的方程為x29y231.(3)法一：因?yàn)?ecaa2b2a1b2a213412，若焦點(diǎn)在 x 軸上，設(shè)所求橢圓方程為x2m2y2n21(mn0)，則 1nm214，從而nm234，nm32.又4m23n21，所以 m28，n26.所以橢圓方程為x28y261.若焦點(diǎn)在 y 軸上，設(shè)橢圓方程為y2h2x2k21(hk0)，則3h24k

14、21，且kh32，解得 h2253，k2254.故所求方程為y2253x22541，故橢圓的方程為y2253x22541 或x28y261.法二：若焦點(diǎn)在 x 軸上，設(shè)所求橢圓方程為x24y23t(t0)，將點(diǎn) p(2， 3)代入，得 t224 3232.故所求方程為x28y261；若焦點(diǎn)在 y 軸上，設(shè)方程為y24x23(0)，代入點(diǎn) p(2， 3)，得2512，故所求方程為y2253x22541.故橢圓的方程為y2253x22541 或x28y261.9離心率相同的兩個(gè)橢圓焦點(diǎn)可能在不同的軸上，因此要分類(lèi)求解，如本例 t(3)教師備選例題1已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，長(zhǎng)、短半軸

15、長(zhǎng)之和為 10，焦距為 4 5，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()a.x26y241b.x216y2361c.x236y2161d.x249y291c由長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)之和為 10，焦距為 4 5，可得 ab10,2c4 5，c2 5.又 a2b2c2， a236， b216.焦點(diǎn)在 x 軸上， 所求橢圓方程為x236y2161.故選 c.2已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓過(guò)點(diǎn) a(3,0)，且離心率 e53，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29y241 或y2814x291若焦點(diǎn)在 x 軸上， 由題知 a3， 因?yàn)闄E圓的離心率e53，所以 c 5，b2，所以橢圓方程是x29y241.若焦點(diǎn)在 y 軸上，則 b3，a2c29，又

16、離心率 eca53，解得 a2814，所以橢圓方程是y2814x291.1.已知 a，br，則“a0b”是“x2ay2b1 表示橢圓”的()a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件b當(dāng) a0b 且 ab 時(shí)，x2ay2b1 表示圓， 充分性不成立； 當(dāng)x2ay2b1 表示橢圓時(shí)，a0b 且 ab，必要性成立，所以“a0b”是“x2ay2b1 表示橢圓”的必要不充分條件，故選 b.102 已知橢圓 c 的中心在原點(diǎn)， 焦點(diǎn)在 x 軸上， 且短軸長(zhǎng)為 2， 離心率為2 55，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()a.x25y21b.x23y21c.x24y21d.y24x21a由題意設(shè)橢

17、圓方程為x2a2y2b21(ab0)， 則 2b2， 故 b1.又ca2 55，a2b2c2，a25.橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程為x25y21.故選 a.考點(diǎn) 3橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓離心率的值(或范圍)1求橢圓離心率的方法(1)定義法：根據(jù)條件求出 a，c，直接利用公式 eca求解(2)方程法：根據(jù)條件得到關(guān)于 a，b，c 的齊次等式(不等式)，結(jié)合 b2a2c2轉(zhuǎn)化為關(guān)于 a，c 的齊次等式(不等式)，然后將該齊次等式(不等式)兩邊同時(shí)除以 a 或 a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于 e 或 e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范圍)2求橢圓離心率范圍的兩種方法方法解法適合題型幾何法利用橢圓的

18、幾何性質(zhì)， 設(shè) p(x0， y0)為橢圓x2a2y2b21(ab0)上一點(diǎn)，則|x0|a，ac|pf1|ac 等，建立不等關(guān)系，或者根據(jù)幾何圖形的臨界情況建立不等關(guān)系題設(shè)條件有明顯的幾何關(guān)系直接法根據(jù)題目中給出的條件或根據(jù)已知條件得出不等關(guān)系，直接轉(zhuǎn)化為含有 a，b，c 的不等關(guān)系式題設(shè)條件直接有不等關(guān)系11(1)(2018全國(guó)卷)已知 f1，f2是橢圓 c 的兩個(gè)焦點(diǎn)，p 是 c 上的一點(diǎn)若 pf1pf2，且pf2f160，則 c 的離心率為()a132b2 3c.312d. 31(2)已知 f1，f2分別是橢圓x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò) f1且垂直于x 軸的直線(xiàn)與橢圓交于

19、 a，b 上下兩點(diǎn)，若abf2是銳角三角形，則該橢圓的離心率 e 的取值范圍是()a(0， 21)b( 21,1)c(0， 31)d( 31,1)(1)d(2)b(1)由題設(shè)知f1pf290，pf2f160，|f1f2|2c，所以|pf2|c，|pf1| 3c.由橢圓的定義得|pf1|pf2|2a，即3cc2a，所以( 31)c2a，故橢圓 c 的離心率 eca231 31.故選 d.(2)f1，f2分別是橢圓x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò) f1且垂直于 x 軸的直線(xiàn)與橢圓交于 a，b 上下兩點(diǎn)，f1(c,0)，f2(c,0)，ac，b2a ，bc，b2a ，abf2是銳角三

20、角形，af2f145，tanaf2f11，b2a2c1，整理得 b22ac，a2c22ac，兩邊同時(shí)除以 a2，并整理，得 e22e10，解得 e 21 或 e 21(舍去)，0e1，橢圓的離心率 e的取值范圍是( 21,1)，故選 b.求離心率的取值范圍，關(guān)鍵是尋找關(guān)于 a，b，c 的不等式，如本例t(2)，利用等腰三角形是銳角三角形，則頂角的一半小于4，建立不等式求解教師備選例題1已知 f1，f2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，現(xiàn)以 f2為圓心作一個(gè)圓恰好經(jīng)過(guò)橢圓中心并且交橢圓于點(diǎn) m，n，若過(guò) f1的直線(xiàn) mf1是圓 f2的切線(xiàn)，則橢圓12的離心率為()a.32b2 3c.22d. 31d如圖所

21、示由題意可得 mf1mf2，|mf2|c，|mf1|2ac，|f1f2|2c，所以 c2(2ac)24c2，化為 c22ac2a20，即 e22e20，e(0,1)，解得 e 31，故選 d.2已知橢圓 e：x2a2y2b21(ab0)的右焦點(diǎn)為 f，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為 m，直線(xiàn) l：3x4y0 交橢圓 e 于 a，b 兩點(diǎn)若|af|bf|4，點(diǎn) m 到直線(xiàn) l 的距離不小于45，則橢圓 e 的離心率的取值范圍是()a.0，32b.0，34c.32，1d.34，1a根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性及橢圓的定義可得 a，b 兩點(diǎn)到橢圓的左、右焦點(diǎn)的距離和為 4a2(|af|bf|)8， 所以 a2.又 d|304

22、b|324245， 所以 1b2，所以 eca1b2a21b24.因?yàn)?1b2，所以 0e32，故選 a.與橢圓性質(zhì)有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題與橢圓有關(guān)的最值或范圍問(wèn)題的求解方法(1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì)，求最值或取值范圍(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值或取值范圍13(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍(4)利用一元二次方程的判別式求最值或取值范圍(1)(2017全國(guó)卷)設(shè) a， b 是橢圓 c：x23y2m1 長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn) 若c 上存在點(diǎn) m 滿(mǎn)足amb120，則 m 的取值范圍是()a(0,19，)b(0， 39，)c(0,14，)d(0， 34，)(2)(2019開(kāi)封模擬)如圖，焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓x24y2b21 的離心率 e12，f，a 分別是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，p 是橢圓上任意一點(diǎn)，則pfpa的最大值為(1)a(2)4(1)當(dāng) 0m3 時(shí)，焦點(diǎn)在 x 軸上，要使 c 上存在點(diǎn) m 滿(mǎn)足amb120，則abtan 60 3