滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第15章軸對(duì)稱圖形與等腰三角形15-2線段的垂直平分線課件

第15章軸對(duì)稱圖形與等腰三角形15.2線段的垂直平分線知識(shí)點(diǎn)1線段垂直平分線的作法基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練1.根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡,判定線段AD一定為△ABC的()A.角平分線

B.中線C.高線

D.以上都有可能B解析由作圖痕跡可知,題圖中所作直線是線段BC的垂直平

分線,∴點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn),∴線段AD是△ABC的中線.故選B.知識(shí)點(diǎn)2線段垂直平分線的性質(zhì)定理2.(2024河南周口淮陽(yáng)期末)如圖,在△ABC中,DE垂直平分

BC,若AB=10,AC=13,則△ABD的周長(zhǎng)等于()A.21

B.23

C.24

D.26B解析∵DE垂直平分BC,∴DB=DC.又∵AB=10,AC=13,∴△

ABD的周長(zhǎng)=AB+AD+DB=AB+(AD+DC)=AB+AC=10+13=23.3.如圖,已知△ABC中,AB的垂直平分線MD交BC于點(diǎn)D,AC的

垂直平分線NE交BC于點(diǎn)E,連接AD,AE,若AD=

,DE=2,AE=

,則BC的長(zhǎng)為

()A.3

B.4

C.5

D.6D解析∵M(jìn)D垂直平分AB,NE垂直平分AC,∴BD=AD=

,EC=AE=

.∵DE=2,∴BC=BD+DE+CE=

+2+

=6.4.(2024安徽淮北期末)如圖,在△ABC中,DE垂直平分AC,交

AC于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)D,連接AD,AE=4cm,則△ABC的周長(zhǎng)與

△ABD的周長(zhǎng)差為

()

A.2cm

B.4cm

C.6cm

D.8cmD解析∵DE垂直平分AC,AE=4cm,∴AD=CD,AC=2AE=8

cm.∵△ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC,△ABD的周長(zhǎng)=AB+AD+

BD=AB+BC,∴△ABC的周長(zhǎng)-△ABD的周長(zhǎng)=AC=8cm.5.(2024湖北咸寧咸安期末)如圖,在△ABC中,DE垂直平分

AC,AE=3,△ABD的周長(zhǎng)為13,則△ABC的周長(zhǎng)為

()A.16

B.13

C.19

D.10C解析∵DE垂直平分AC,AE=3,∴DA=DC,AC=2AE=6.∵△

ABD的周長(zhǎng)為13,∴AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13,∴

△ABC的周長(zhǎng)=AB+BC+AC=13+6=19.6.(教材變式·P130T1)河邊有兩個(gè)村莊A、B,要在河岸CD上

建一自來(lái)水廠P,使水廠到A、B兩村的距離相等,請(qǐng)找出P的

位置.解析如圖,點(diǎn)P即為所求.知識(shí)點(diǎn)3線段垂直平分線的判定定理7.(2024廣東深圳期末)如圖,在△ABC中,AE=CE=1,DE⊥AC.

△BCD的周長(zhǎng)為5,則△ABC的周長(zhǎng)是

.7解析∵DE⊥AC,AE=CE=1,∴DE垂直平分AC,AC=1+1=2,

∴AD=CD.∵△BCD的周長(zhǎng)為5,∴BC+BD+CD=BC+BD+AD=

BC+AB=5,∴△ABC的周長(zhǎng)=AB+BC+AC=5+2=7.8.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,BD是∠ABC的平分線,E為AB

邊上一點(diǎn),且CE⊥BD,垂足為點(diǎn)O,連接DE,求證:(1)BD垂直平分線段CE;(2)∠ADE=∠ABC.∠BOE=∠BOC=90°.在△BOE和△BOC中,

∴△BOE≌△BOC(ASA),∴BE=BC.在△BDE和△BDC中,

∴△BDE≌△BDC(SAS),∴DE=DC,∴BD垂直平分線段CE.(2)由(1)可知△BDE≌△BDC,∴∠BED=∠ACB=90°,∴∠A+

∠ADE=∠A+∠ABC=90°,∴∠ADE=∠ABC.證明(1)∵BD平分∠ABC,∴∠EBO=∠CBO.∵CE⊥BD,∴知識(shí)點(diǎn)4三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)9.如圖,某景區(qū)有一塊三角形的草坪,A、B、C是三個(gè)商店,現(xiàn)

要在草坪上建一涼亭供大家休息,要使涼亭到三個(gè)商店的距

離相等,涼亭的位置應(yīng)選在()A.△ABC的三條中線的交點(diǎn)B.△ABC三條角平分線的交點(diǎn)C.△ABC三條高所在直線的交點(diǎn)D.△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)D解析∵涼亭到三個(gè)商店的距離相等,∴涼亭的位置應(yīng)選在

△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)處,故選D.能力提升全練10.(2024安徽六安裕安月考,7,★★☆)如圖,△ABC中,AB=AE,

且AD⊥BC于D,EF垂直平分AC,交AC于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)E,若

△ABC的周長(zhǎng)為16,AC=6,則DC的長(zhǎng)為

()A.5

B.8

C.9

D.10A解析∵△ABC的周長(zhǎng)為16,∴AB+BC+AC=16.∵AC=6,∴

AB+BC=10.∵EF垂直平分AC,∴EA=EC.∵AD⊥BC,∴∠

ADB=∠ADE=90°,在Rt△ABD與Rt△AED中,AB=AE,AD=AD,

∴Rt△ABD≌Rt△AED(HL),∴BD=DE,∴AB+BD=AE+DE=

×(AB+BC)=5,∴DC=DE+EC=AE+DE=5.11.(2023安徽馬鞍山當(dāng)涂月考,6,★★☆)如圖,在△ABC中,AB

邊的垂直平分線DE分別與AB邊和AC邊交于點(diǎn)D和點(diǎn)E,BC

邊的垂直平分線FG分別與BC邊和AC邊交于點(diǎn)F和點(diǎn)G,△

BEG的周長(zhǎng)為16,且GE=1,則AC的長(zhǎng)為

()A.16

B.15

C.14

D.13C解析∵DE是AB邊的垂直平分線,∴EB=EA.∵FG是BC邊的垂直平分線,∴GB=GC.∵△BEG的周長(zhǎng)為16,∴GB+GE+EB=16,∴AE+GE+GC=16,

∴AC+GE+GE=16.∵GE=1,∴AC=16-2=14.12.(2023安徽宣城郎溪聯(lián)考,13,★★☆)如圖,在△ABC中,DE

⊥AC于點(diǎn)D,且AD=CD,∠ABE+∠CBE=180°,EF⊥BC于點(diǎn)F,

若AB=7,BF=1,則BC=

.9解析如圖,過(guò)E作EH⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于H,連接EA.∵DE⊥AC于點(diǎn)D,且AD=CD,∴DE垂直平分AC,∴AE=CE.∵

∠ABE+∠CBE=180°,∠ABE+∠EBH=180°,∴∠EBF=∠EBH.

∵EF⊥BC于點(diǎn)F,∴∠EFB=∠EHB=90°.∵EB=EB,∴△EBH

≌△EBF(AAS),∴EH=EF,BH=BF=1.∵CE=AE,∴Rt△CEF≌

Rt△AEH(HL),∴FC=AH.∵AH=AB+BH=7+1=8,∴FC=8,∴BC=CF+BF=8+1=9.13.(2023安徽宣城涇縣月考,13,★★☆)如圖,在△ABC中,AB

邊的垂直平分線l1交BC于點(diǎn)D,AC邊的垂直平分線l2交BC于

點(diǎn)E,l1與l2相交于點(diǎn)O,連接AD、AO、AE、BO、CO,△ADE

的周長(zhǎng)為6,△OBC的周長(zhǎng)為16,則AO=

.5解析∵AB邊的垂直平分線l1交BC于點(diǎn)D,AC邊的垂直平分

線l2交BC于點(diǎn)E,∴DA=DB,EA=EC,OA=OB,OA=OC.∵△ADE

的周長(zhǎng)=AD+DE+AE=DB+DE+EC=6,∴BC=6.∵△OBC的周

長(zhǎng)=OB+BC+OC=16,∴OB+OC=10,∴OA=OB=OC=5.14.(2024安徽蕪湖南陵月考,20,★★☆)如圖,直線l是線段AB

的垂直平分線,且交AB于點(diǎn)E,點(diǎn)C是直線l上一動(dòng)點(diǎn),連接AC,

作AC的垂直平分線DF交直線l于點(diǎn)D,連接BD.(1)當(dāng)點(diǎn)C移動(dòng)到某一位置時(shí),使BD=5,CE=7,求此時(shí)DE的長(zhǎng)度;(2)隨著點(diǎn)C的移動(dòng),BD,CE,DE的長(zhǎng)度都發(fā)生變化,寫出BD,

CE,DE所有可能的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.解析(1)連接AD,如圖.∵直線l是線段AB的垂直平分線,∴

AD=BD.∵DF是線段AC的垂直平分線,∴AD=CD,∴BD=CD,

∴DE=CE-CD=CE-BD.∵BD=5,CE=7,∴DE=2.

(2)DE=CE-BD.理由:連接AD(圖略),∵直線l是線段AB的垂直

平分線,∴AD=BD.∵DF是線段AC的垂直平分線,∴AD=CD,

∴BD=CD,∴DE=CE-CD=CE-BD,即DE=CE-BD.素養(yǎng)探究全練15.(創(chuàng)新意識(shí))OF平分∠MON,點(diǎn)A在射線OM上,點(diǎn)P,Q是直

線ON上的兩動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q在點(diǎn)P的右側(cè),且PQ=OA,作線段OQ的

垂直平分線,分別交直線OF,ON于點(diǎn)B,C,連接AB,PB.(1)如圖1,請(qǐng)指出AB與PB的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;(2)如圖2,當(dāng)P,Q兩點(diǎn)都在射線ON的反向延長(zhǎng)線上時(shí),線段AB,

PB是否還存在(1)中的數(shù)量關(guān)系?若存在,請(qǐng)寫出證明過(guò)程;若

不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解析(1)AB=PB.理由:如圖,連接BQ.∵BC垂直平分OQ,∴

BO=BQ.又BC=BC,∴Rt△OBC≌Rt△QBC(HL),∴∠BOQ=∠

BQO.∵OF平分∠MON,∴∠AOB=∠BOQ,∴∠AOB=∠

BQO,又∵OA=PQ,BO=BQ,∴△AOB≌△