人教A版2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：函數(shù)的定義及表示

1、函數(shù)的定義及表示知識(shí)講解一、函數(shù)1.函數(shù)的概念概念：設(shè)集合是一個(gè)非空數(shù)集，對(duì)中的任意的數(shù)，按照確定的法則，都有唯一確定的數(shù)與它對(duì)應(yīng)，則這種對(duì)應(yīng)關(guān)系叫做集合上的一個(gè)函數(shù)記作，其中叫做自變量自變量取值的范圍（數(shù)集）叫做這個(gè)函數(shù)的定義域如果自變量取值，則由法則確定的值稱為函數(shù)在處的函數(shù)值，記作，所有函數(shù)值構(gòu)成的集合叫做這個(gè)函數(shù)的值域2.函數(shù)的三要素：定義域，值域，對(duì)應(yīng)法則3.函數(shù)的表示法1）解析法：就是把兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，用一個(gè)等式來(lái)表示，這個(gè)等式叫做函數(shù)的解析表達(dá)式，簡(jiǎn)稱解析式；2）列表法：就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系；3）圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系4.求函數(shù)定義域注意

2、事項(xiàng)1）分式的分母不應(yīng)為零；2）零的零次冪沒(méi)有意義；3）開(kāi)偶次方根的被開(kāi)方數(shù)大于或者等于零；4）對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于零；5）的定義域?yàn)椋?）復(fù)合函數(shù)求定義域要保證復(fù)合過(guò)程有意義，最后求它們的交集5.分段函數(shù)定義：若一個(gè)函數(shù)的定義域分成了若干個(gè)子區(qū)間，而每個(gè)子區(qū)間的解析式不同，這種函數(shù)又稱分段函數(shù)6.復(fù)合函數(shù)定義：若，那么稱為復(fù)合函數(shù)，稱為中間變量，它的取值范圍是的值域注意：函數(shù)的定義域必須寫成集合或區(qū)間的形式二、映射定義：設(shè)是兩個(gè)非空集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則，對(duì)中的任意一個(gè)元素在中有一個(gè)且僅有一個(gè)元素與對(duì)應(yīng)，則稱是集合到集合的映射，這時(shí)稱是在映射的作用下的象，記作，于是稱為的原象，映射也可記為：

3、其中叫做映射的定義域（函數(shù)定義域的推廣）由所有象構(gòu)成的集合叫做映射的值域通常記作映射三要素：集合以及對(duì)應(yīng)法則，三者缺一不可；，集合中每一個(gè)元素在集合中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，從到的對(duì)應(yīng)關(guān)系為一對(duì)一或多對(duì)一，絕對(duì)不可以一對(duì)多，但也許中有多余元素3、 函數(shù)求解析式1.換元法2.方程組法四、函數(shù)求值域1.直接法（分析觀察法）2.函數(shù)單調(diào)性法：確定函數(shù)在定義域（或某個(gè)定義域的子集）上的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域3.配方法：二次函數(shù)或可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的函數(shù)常用此方法來(lái)還求解，但在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中要注意等價(jià)性，特別是不能改變定義域?qū)τ谛稳缁蝾惖暮瘮?shù)的值域問(wèn)題，均可使用配方法4.分離常數(shù)法：當(dāng)分式中分子分母都函數(shù)由

4、參數(shù)時(shí)可以采用分離常數(shù)法5.換元法（代數(shù)/三角）：對(duì)于解析式中含有根式或者函數(shù)解析式較復(fù)雜的這類函數(shù)，可以考慮運(yùn)用代數(shù)或三角代換，將所給函數(shù)化成值域簡(jiǎn)單的熟悉的容易確定的基本函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域 對(duì)形如的函數(shù)，令；形如的函數(shù)，令；形如含的結(jié)構(gòu)的函數(shù)，可利用三角代換，令，或令6.判別式法：在函數(shù)定義域?yàn)闀r(shí)，把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次方程；通過(guò)方程有實(shí)數(shù)根，判別式，從而求得原函數(shù)的值域?qū)π稳纾ā⒉煌瑫r(shí)為零）的函數(shù)的值域，通常轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次方程，由于方程有實(shí)根，即從而求得y的范圍，即值域值得注意的是，要對(duì)方程的二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論注意：主要適用于定義在r上的分式函數(shù)，但定義在某區(qū)間上時(shí)，則需要另行

5、討論7.基本不等式法：利用基本不等式求函數(shù)值域， 其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值8.數(shù)形結(jié)合法：如果所給函數(shù)有較明顯的幾何意義（如兩點(diǎn)間距離，直線的斜率）或當(dāng)一個(gè)函數(shù)的圖象易于作出時(shí)，可借助幾何圖形的直觀性來(lái)求函數(shù)的值域經(jīng)典例題一選擇題（共12小題）1下列圖形中，不能表示以x為自變量的函數(shù)圖象的是（）abcd【解答】解：b中，當(dāng)x0時(shí)，y有兩個(gè)值和x對(duì)應(yīng)，不滿足函數(shù)y的唯一性，a，c，d滿足函數(shù)的定義，故選：b2已知集合p=x|0x4，集合n=y|0y2，下列從p到n的各對(duì)應(yīng)關(guān)系f不是函數(shù)的是（）af：xy=12xbf：xy=13xcf：xy=23xdf：xy=

6、x【解答】解：f：xy=12x，是函數(shù)，f：xy=13x，是函數(shù)，f：xy=23x，不是函數(shù)，423×4=83n；f：xy=x，是函數(shù)，故選：c3下列各式中，表示y是x的函數(shù)的有（）y=x（x3）；y=x-2+1-x；y=&x-1(x0)&x+1(x0)y=&0(x為有理數(shù))&1(x為實(shí)數(shù)).a4個(gè)b3個(gè)c2個(gè)d1個(gè)【解答】解：根據(jù)函數(shù)的定義，當(dāng)自變量x在它的允許取值范圍內(nèi)任意取一個(gè)值，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，故表示y是x的函數(shù)；在中由&x-20&1-x0知x，因?yàn)楹瘮?shù)定義域不能是空集，所以不表示y是x的函數(shù)；在中若x=0，則對(duì)應(yīng)的

7、y的值不唯一，可以等于0，也可以等于1，所以不表示y是x的函數(shù)故選：c4下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）ay=x與y=x2by=2lgx與y=lgx2cy=3x3與y=xdy=x1與y=x2-1x+1【解答】解：要表示同一個(gè)函數(shù)，必須有相同的對(duì)應(yīng)法則，相同的定義域和值域，觀察四個(gè)選項(xiàng)，得到a答案中兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則不同，b選項(xiàng)中兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，c選項(xiàng)中兩個(gè)函數(shù)相同，d選項(xiàng)中兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，故選：c5下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）af（x）=|x|，g（x）=x2bf（x）=lg x2，g（x）=2lg xcf（x）=x2-1x-1，g（x）=x+1df（x）=x+1x-1

8、，g（x）=x2-1【解答】解：對(duì)于a，g（x）=x2=|x|，f（x）=|x|，兩函數(shù)為同一函數(shù)；對(duì)于b，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閤|x0，而函數(shù)g（x）的定義域?yàn)閤|x0，兩函數(shù)定義域不同，兩函數(shù)為不同函數(shù)；對(duì)于c，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閤|x1，而函數(shù)g（x）的定義域?yàn)閞，兩函數(shù)定義域不同，兩函數(shù)為不同函數(shù)；對(duì)于d，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閤|x1，而函數(shù)g（x）的定義域?yàn)閤|x1或x1，兩函數(shù)定義域不同，兩函數(shù)為不同函數(shù)故選：a6定義運(yùn)算a*b，a*b=a(ab)b(ab)，例如1*2=1，則函數(shù)y=1*2x的值域?yàn)椋ǎ゛（0，1）b（，1）c1，+）d（0，1【解答】解：當(dāng)12x時(shí)，即x

9、0時(shí)，函數(shù)y=1*2x=1當(dāng)12x時(shí)，即x0時(shí)，函數(shù)y=1*2x=2xf（x）=&1，x0&2x，x0由圖知，函數(shù)y=1*2x的值域?yàn)椋海?，1故選：d7若函數(shù)y=ax2+2ax+3的值域?yàn)?，+），則a的取值范圍是（）a（3，+）b3，+）c（，03，+）d（，0）3，+）【解答】解：由題意：函數(shù)y=ax2+2ax+3是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，要使值域?yàn)?，+），則函數(shù)f（x）=ax2+2ax+3的值域要包括0，即最小值要小于等于0則有：&a0&f(-1)0&a0&a-2a+30解得：a3所以a的取值范圍是3，+）故選：b8若f（lnx）=3x+4，則f

10、（x）的表達(dá)式是（）a3ex+4b3lnx+4c3lnxd3ex【解答】解：設(shè)lnx=t則x=etf（t）=3et+4f（x）=3ex+4故選：a9若f（x）滿足關(guān)系式f（x）+2f（1x）=3x，則f（2）的值為（）a1b1c32d32【解答】解：f（x）滿足關(guān)系式f（x）+2f（1x）=3x，&f(2)+2f(12)=6，&f(12)+2f(2)=32，×2得3f（2）=3，f（2）=1，故選：b10已知函數(shù)f（x+1）=3x+2，則f（x）的解析式是（）af（x）=3x+2bf（x）=3x+1cf（x）=3x1df（x）=3x+4【解答】解：設(shè)t=x+1，函數(shù)f

11、（x+1）=3x+2=3（x+1）1函數(shù)f（t）=3t1，即函數(shù)f（x）=3x1故選：c11已知f（x2）=x24x，那么f（x）=（）ax28x4bx2x4cx2+8xdx24【解答】解：由于f（x2）=x24x=（x24x+4）4=（x2）24，從而f（x）=x24故選：d12已知函數(shù)f（x）=33x-1ax2+ax-3的定義域是r，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）aa13b12a0c12a0da13【解答】解：由a=0或&a0&=a2-4a×(-3)0可得12a0，故選：b二填空題（共7小題）13已知函數(shù)y=f（x21）的定義域?yàn)椋?，2），函數(shù)g（x）=f（x1）+f

12、（32x）則函數(shù)g（x）的定義域?yàn)?，2）【解答】解：由函數(shù)y=f（x21）的定義域?yàn)椋?，2），得：1x213，故函數(shù)f（x）的定義域是1，3），故1x13，132x3，解得：0x2，故函數(shù)g（x）的定義域是0，2），故答案為：0，2）14設(shè)函數(shù)f（x）=&log2(-x2)，x-1&-13x2+43x+23，x-1，若f（x）在區(qū)間m，4上的值域?yàn)?，2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為8，1【解答】解：函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，結(jié)合圖象易得當(dāng)m8，1時(shí)，f（x）1，2故答案為：8，115已知二次函數(shù)f（x）=ax2+2x+c（xr）的值域?yàn)?，+），則a+1c+c+1a的最小值為4

13、【解答】解：由題意知，a，0，=44ac=0，ac=1，c0，則a+1c+c+1a=ac+1c+ca+1a=（ac+ca）+（1a+1c）2+21ac=2+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=1時(shí)取等號(hào)a+1c+c+1a的最小值為416函數(shù)f（x）=x1-x的值域是（，1【解答】解：設(shè)1-x=t，則t0，f（t）=1t2t，t0，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為t=12，開(kāi)口向下，在區(qū)間0，+）上單調(diào)減，f（t）max=f（0）=1，函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋ǎ?故答案為：（，117已知函數(shù)f（x+1）=3x+2，則f（x）的解析式是f（x）=3x1【解答】解：令x+1=t，則x=t1，f（t）=3（t1）+2=3t1，f

14、（x）=3x1故答案為f（x）=3x118已知a、b為實(shí)數(shù)，集合m=ba，1，n=a，0，f：xx表示把m中的元素x映射到集合n中仍為x，則a+b=1【解答】解：a、b為實(shí)數(shù)，集合m=ba，1，n=a，0，f：xx表示把m中的元素x映射到集合n中仍為x，1通過(guò)映射可得1n，解得a=1，baban，可得ba=0，解得b=0，a+b=1，故答案為1；19f(x)=&2ex-1，x2&log3(x2-1)，x2.則f（f（2）的值為2【解答】解：由題意，自變量為2，故內(nèi)層函數(shù)f（2）=log3（221）=12，故有f（1）=2×e11=2，即f（f（2）=f（1）=2×e11=2，故答案為 2三解答題（共1小題）2