高三數(shù)學(xué)人教版A版數(shù)學(xué)（理）高考一輪復(fù)習(xí)教案：8.3 圓的方程 Word版含答案_20210103224745

1、淘寶店鋪：漫兮教育第三節(jié)圓的方程圓的方程(1)掌握確定圓的幾何要素(2)掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程知識(shí)點(diǎn)一圓的方程定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫作圓方程標(biāo)準(zhǔn)(xa)2(yb)2r2(r>0)圓心c(a，b)半徑為r一般,x2y2dxeyf0充要條件：d2e24f>0圓心坐標(biāo)：半徑r易誤提醒(1)標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2(r>0)中易忽視右端為半徑r的平方，而不是半徑(2)對(duì)于方程x2y2dxeyf0表示圓時(shí)易忽視d2e24f>0這一成立條件必備方法求圓的方程時(shí)，要注意應(yīng)用圓的幾何性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算(1)圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上(2)圓心在任一弦的中

2、垂線上(3)兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線自測(cè)練習(xí)1圓x2y24x8y50的圓心與半徑分別為()a(2,4)，5b(2，4)，5c(2,4)， d(2，4)，解析：圓心坐標(biāo)為(2，4)，半徑r 5.答案：b2圓心在直線x2y30上，且過點(diǎn)a(2，3)，b(2，5)的圓的方程為_解析：法一：設(shè)點(diǎn)c為圓心，因?yàn)辄c(diǎn)c在直線x2y30上，所以可設(shè)點(diǎn)c的坐標(biāo)為(2a3，a)又該圓經(jīng)過a，b兩點(diǎn)，所以|ca|cb|，即，解得a2，所以圓心c的坐標(biāo)為(1，2)，半徑r.故所求圓的方程為(x1)2(y2)210.法二：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2，由題意得解得故所求圓的方程為(x1)

3、2(y2)210.答案：(x1)2(y2)210知識(shí)點(diǎn)二點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1確定方法：比較點(diǎn)與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系2三種關(guān)系：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2，點(diǎn)m(x0，y0)(1)(x0a)2(y0b)2r2點(diǎn)在圓上(2)(x0a)2(y0b)2>r2點(diǎn)在圓外(3)(x0a)2(y0b)2<r2點(diǎn)在圓內(nèi)易誤提醒若圓的方程為x2y2dxeyf0，點(diǎn)m(x0，y0)注意點(diǎn)m與圓的位置關(guān)系滿足條件自測(cè)練習(xí)3若點(diǎn)(1,1)在圓(xa)2(ya)24的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()a1<a<1 b0<a<1ca>1或a<1 da±1解

4、析：因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在圓的內(nèi)部，(1a)2(1a)2<4，1<a<1.答案：a考點(diǎn)一圓的方程|1(2015·高考北京卷)圓心為(1,1)且過原點(diǎn)的圓的方程是()a(x1)2(y1)21b(x1)2(y1)21c(x1)2(y1)22d(x1)2(y1)22解析：因?yàn)閳A心為(1,1)且過原點(diǎn)，所以該圓的半徑r，則該圓的方程為(x1)2(y1)22.答案：d2(2015·高考全國卷)過三點(diǎn)a(1,3)，b(4,2)，c(1，7)的圓交y軸于m，n兩點(diǎn)，則|mn|()a2b8c4 d10解析：設(shè)過a，b，c三點(diǎn)的圓的方程為x2y2dxeyf0，則，解得d2，e4

5、，f20，所求圓的方程為x2y22x4y200，令x0，得y24y200，設(shè)m(0，y1)，n(0，y2)，則y1y24，y1y220，所以|mn|y1y2|4.故選c.答案：c3(2015·廣州測(cè)試)圓(x1)2(y2)21關(guān)于直線yx對(duì)稱的圓的方程為()a(x2)2(y1)21b(x1)2(y2)21c(x2)2(y1)21d(x1)2(y2)21解析：圓心(1,2)關(guān)于直線yx對(duì)稱的點(diǎn)為(2,1)，圓(x1)2(y2)21關(guān)于直線yx對(duì)稱的圓的方程為(x2)2(y1)21.答案：a待定系數(shù)法求圓的方程的三個(gè)步驟(1)根據(jù)題意，設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2.(2

6、)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a，b，r的方程組(3)解方程組，并把它們代入所設(shè)的方程中，整理后，就得到所求結(jié)果考點(diǎn)二與圓有關(guān)的最值范圍問題|與圓有關(guān)的最值問題也是命題的熱點(diǎn)內(nèi)容，它著重考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想歸納起來常見的命題角度有：1斜率型最值問題2截距型最值問題3距離型最值問題4距離和(差)的最值問題5利用目標(biāo)函數(shù)求最值探究一斜率型最值問題1已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2y24x10.求的最大值和最小值解：原方程可化為(x2)2y23，表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)k，即ykx.如圖所示，當(dāng)直線ykx與圓相切時(shí)，斜率k取最大值或最小值，此時(shí)，解得k&#

7、177;.所以的最大值為，最小值為.探究二截距型最值問題2在探究一條件下求yx的最大值和最小值解：yx可看作是直線yxb在y軸上的截距，如圖所示，當(dāng)直線yxb與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)，解得b2±.所以yx的最大值為2，最小值為2.探究三距離型最值問題3在探究一條件下求x2y2的最大值和最小值解析：如圖所示，x2y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值又圓心到原點(diǎn)的距離為2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.探究四距離和(差)最值問題4已知圓c1：(x2)2(y3)21

8、，圓c2：(x3)2(y4)29，m，n分別是圓c1，c2上的動(dòng)點(diǎn)，p為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|pm|pn|的最小值為()a54b.1c62 d.解析：圓心c1(2,3)，c2(3,4)，作c1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)c1(2，3)，連接c2c2與x軸交于點(diǎn)p，此時(shí)|pm|pn|取得最小值，為|c2c2|1354.答案：a探究五利用目標(biāo)函數(shù)求最值5已知直線axbyc10(bc>0)經(jīng)過圓x2y22y50的圓心，則的最小值是()a9 b8c4 d2解析：將x2y22y50化為x2(y1)26，圓心(0,1)，代入axbyc10得bc1.(bc)5529.答案：a求解與圓有關(guān)的最值問題的兩大規(guī)律(1)借助

9、幾何性質(zhì)求最值處理與圓有關(guān)的最值問題，應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解(2)建立函數(shù)關(guān)系式求最值根據(jù)題目條件列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等，利用基本不等式求最值是比較常用的考點(diǎn)三與圓有關(guān)的軌跡問題|已知圓x2y24上一定點(diǎn)a(2,0)，b(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，p，q為圓上的動(dòng)點(diǎn)(1)求線段ap中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若pbq90°，求線段pq中點(diǎn)的軌跡方程解(1)設(shè)ap的中點(diǎn)為m(x0，y0)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，p點(diǎn)坐標(biāo)為(2x02,2y0)因?yàn)閜點(diǎn)在圓x2y24上，所以(2x02)2(2y0)

10、24.故線段ap中點(diǎn)的軌跡方程為(x1)2y21.(2)設(shè)pq的中點(diǎn)為n(x，y)在rtpbq中，|pn|bn|.設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接on，則onpq，所以|op|2|on|2|pn|2|on|2|bn|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故線段pq中點(diǎn)的軌跡方程為x2y2xy10.求與圓有關(guān)的軌跡方程時(shí)，常用以下方法(1)直接法：根據(jù)題設(shè)條件直接列出方程(2)定義法：根據(jù)圓的定義寫出方程(3)幾何法：利用圓的性質(zhì)列方程(4)代入法：找出要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式(2016·唐山一中調(diào)研)點(diǎn)p(4，2)與圓x2y24上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是()a(x2)2

11、(y1)21b(x2)2(y1)24c(x4)2(y2)24d(x2)2(y1)21解析：設(shè)圓上任意一點(diǎn)為(x1，y1)，中點(diǎn)為(x，y)，則即代入x2y24，得(2x4)2(2y2)24.化簡(jiǎn)得(x2)2(y1)21.答案：a25.方程思想在圓中的應(yīng)用【典例】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線yx26x1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓c上，求圓c的方程思維點(diǎn)撥曲線yx26x1與坐標(biāo)軸有3個(gè)交點(diǎn)，可設(shè)圓的一般式方程或標(biāo)準(zhǔn)式方程，通過列方程或方程組可求解法一：曲線yx26x1與y軸的交點(diǎn)為(0,1)與x軸的交點(diǎn)為(32，0)，(32，0)設(shè)圓的方程為x2y2dxeyf0(d2e24f>0)，則有解得故圓

12、的方程是x2y26x2y10.法二：曲線yx26x1與y軸的交點(diǎn)為(0,1)，與x軸的交點(diǎn)為(32，0)，(32，0)，故可設(shè)圓c的圓心為(3，t)，則有32(t1)2(2)2t2，解得t1，則圓c的半徑為3，所以圓c的方程為(x3)2(y1)29.方法點(diǎn)評(píng)(1)一般解法(代數(shù)法)：可以求出曲線yx26x1與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)，設(shè)圓的方程為一般式，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求解析式(2)巧妙解法(幾何法)：利用圓的性質(zhì)，知道圓心一定在圓上兩點(diǎn)連線的垂直平分線上，從而設(shè)圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)式，簡(jiǎn)化計(jì)算顯然幾何法比代數(shù)法的計(jì)算量小，因此平時(shí)訓(xùn)練多采用幾何法解題跟蹤練習(xí)已知圓c關(guān)于y軸對(duì)稱，經(jīng)過點(diǎn)(1,0)且被x軸分成兩

13、段，弧長(zhǎng)比為12，則圓c的方程為_解析：由已知圓心在y軸上，且被x軸所分劣弧所對(duì)圓心角為，設(shè)圓心(0，a)，半徑為r，則rsin 1，rcos |a|，解得r，即r2，|a|，即a±，故圓c的方程為x22.答案：x22a組考點(diǎn)能力演練1以線段ab：xy20(0x2)為直徑的圓的方程為()a(x1)2(y1)22b(x1)2(y1)22c(x1)2(y1)28d(x1)2(y1)28解析：直徑的兩端點(diǎn)分別為(0,2)，(2,0)，圓心為(1,1)，半徑為，故圓的方程為(x1)2(y1)22.答案：b2(2016·北京西城期末)若坐標(biāo)原點(diǎn)在圓(xm)2(ym)24的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)

14、m的取值范圍是()a(1,1)b(，)c(，) d.解析：(0,0)在(xm)2(ym)24的內(nèi)部，則有(0m)2(0m)2<4，解得<m<，選c.答案：c3(2016·開封模擬)已知直線l：xy40與圓c：(x1)2(y1)22，則圓c上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值為()a. b.c1 d3解析：由題意知，圓c上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值等于圓心(1,1)到直線l的距離減去圓的半徑，即.答案：a4(2016·洛陽期末)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，若曲線c：x2y22ax4ay5a240上所有的點(diǎn)均在第四象限內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()a(，2) b(，1)c(1，

15、) d(2，)解析：圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(y2a)24，所以圓心為(a,2a)，半徑r2，由題意知a<2，故選a.答案：a5圓x2y24x4y100上的點(diǎn)到直線xy140的最大距離與最小距離的差是()a30 b18c6 d5解析：由圓x2y24x4y100知圓心坐標(biāo)為(2,2)，半徑為3，則圓上的點(diǎn)到直線xy140的最大距離為38，最小距離為32，故最大距離與最小距離的差為6.答案：c6(2016·紹興模擬)點(diǎn)p(1,2)和圓c：x2y22kx2yk20上的點(diǎn)的距離的最小值是_解析：圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式為(xk)2(y1)21.圓心c(k，1)，半徑r1.易知點(diǎn)p(1,2)

16、在圓外點(diǎn)p到圓心c的距離為：|pc|3.|pc|min3.點(diǎn)p和圓c上點(diǎn)的最小距離dmin|pc|minr312.答案：27若圓c：x22mxy22y20與x軸有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是_解析：圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xm)2(y)2m2m2，依題意有答案：，)8圓c通過不同的三點(diǎn)p(k,0)，q(2,0)，r(0,1)，已知圓c在點(diǎn)p處的切線斜率為1，則圓c的方程為_解析：設(shè)圓c的方程為x2y2dxeyf0，則k,2為x2dxf0的兩根，k2d,2kf，即d(k2)，f2k，又圓過r(0,1)，故1ef0.e2k1.故所求圓的方程為x2y2(k2)x(2k1)y2k0，圓心坐標(biāo)為.圓c在點(diǎn)p處的切

17、線斜率為1，kcp1，k3.d1，e5，f6.所求圓c的方程為x2y2x5y60.答案：x2y2x5y60.9(2016·洛陽統(tǒng)考)已知圓s經(jīng)過點(diǎn)a(7,8)和點(diǎn)b(8,7)，圓心s在直線2xy40上(1)求圓s的方程；(2)若直線xym0與圓s相交于c，d兩點(diǎn)，若cod為鈍角(o為坐標(biāo)原點(diǎn))，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)線段ab的中垂線方程為yx，由得所以圓s的圓心為s(4,4)，圓s的半徑為|sa|5，故圓s的方程為(x4)2(y4)225.(2)由xym0變形得yxm，代入圓s的方程，消去y并整理得2x22mxm28m70.令(2m)28(m28m7)>0，得85<

18、m<85.設(shè)c，d的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，則x1x2m，x1x2.依題意，得·<o，則x1x2(x1m)(x2m)<0，即m28m7<0，解得1<m<7.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是m|85<m<85m|1<m<7m|1<m<710(2016·唐山一模)已知圓o：x2y24，點(diǎn)a(，0)，以線段ab為直徑的圓內(nèi)切于圓o，記點(diǎn)b的軌跡為.(1)求曲線的方程；(2)直線ab交圓o于c，d兩點(diǎn)，當(dāng)b為cd的中點(diǎn)時(shí)，求直線ab的方程解：(1)設(shè)ab的中點(diǎn)為m，切點(diǎn)為n，連接om，mn(圖略)，則|om|mn|on|2，取a關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)a，連接ab，故|ab|ab|2(|om|mn|)4.所以點(diǎn)b的軌跡是以a，a為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓其中，a2，c，b1，則曲線的方程為y21.(2)因?yàn)閎為cd的中點(diǎn)，所以obcd，則.設(shè)b(x0，y0)，則x0(x0)y0.又y1，解得x0，y0±.則kob±，kab，則直線ab的方程為y±(x)，即xy0或xy0.b組高考題型專練1(2