高中數(shù)學(xué)選修不等式選講

1、1 2njjéöëø2 2éöëø2 2不等式選講（高考試題匯編）一、知識(shí)點(diǎn)整合：1 含有絕對(duì)值的不等式的解法(1) |f(x)|>a(a>0)f(x)>a 或 f(x)<a；(2) |f(x)|<a(a>0)a<f(x)<a.(3) 對(duì)形如|xa|xb|c，|xa |xb|c 的不等式，可利用絕對(duì)值的幾何意義求解 2 含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)|a|b|a±b|a |b|.3 柯西不等式(1)設(shè) a，b，c，d 均為實(shí)數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd

2、)2，當(dāng)且僅當(dāng) adbc 時(shí)等號(hào)成立(2)若n n n a a aa ，b (iN*)為實(shí)數(shù)，則(a2)( b2)( a b )2，當(dāng)且僅當(dāng) (當(dāng)某 i i i1 i i1 i i1 i i b1 b2 bnb 0 時(shí)，認(rèn)為 a 0，j1,2，n)時(shí)等號(hào)成立(3)柯西不等式的向量形式：設(shè) ， 為平面上的兩個(gè)向量，則| |·|· |，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)向量共線時(shí)等號(hào) 成立4 不等式的證明方法證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等二、典型題型題型一 含絕對(duì)值的不等式的解法例 1全國)已知函數(shù) f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(2013&

3、#183; 課標(biāo)(1)當(dāng) a2 時(shí)，求不等式 f(x)<g(x)的解集；a 1(2)設(shè) a>1，且當(dāng) x ， 時(shí)，f(x)g(x)，求 a 的取值范圍a 1審題破題 (1)可以通過分段討論去絕對(duì)值；(2)在 x ， 時(shí)去絕對(duì)值，利用函數(shù)最值求 a 的范圍解(1)當(dāng) a2 時(shí)，不等式 f(x)<g(x)化為|2x1|2x2|x3<0.設(shè)函數(shù) y|2x1|2x2|x3，1 / 81ïïéöë ø2 2éöëø2 2æùè û3ì

4、;5x，x< ，2則 yí 1x2， x1，2î3x6，x>1，其圖象如圖所示，由圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng) x(0,2)時(shí)，y<0，所以原不等式的解集是 x|0<x<2a 1(2)a>1，則 < ，2 2f(x)|2x1|2xa |a 1當(dāng) x ， 時(shí)，f(x)a1，a 1即 a1x3 在 x ， 上恒成立a 4a1 3，即 a ，2 34a 的取值范圍為 1， .反思?xì)w納 這類不等式的解法是高考的熱點(diǎn)(1)用零點(diǎn)分段法解絕對(duì)值不等式的步驟：求零點(diǎn)；劃區(qū)間、去絕對(duì)值；分別解去掉絕對(duì)值的不等式；取每個(gè)結(jié)果的并集，注意在分段時(shí)不要 遺漏區(qū)間的

5、端點(diǎn)值(2)用圖象法，數(shù)形結(jié)合可以求解含有絕對(duì)值的不等式，使得代數(shù)問題幾何化，既通俗易懂，又簡潔直觀， 是一種較好的方法變式訓(xùn)練 1 已知函數(shù) f(x)|x1|x2|m.(1) 當(dāng) m5 時(shí)，求 f(x)>0 的解集；(2) 若關(guān)于 x 的不等式 f(x)2 的解集是 R ，求 m 的取值范圍題型二 不等式的證明2 / 8æèöøö例 2已知函數(shù) f(x)m|x2|，mR，且 f(x2)0 的解集為1,1(2012· 福建)(1)求 m 的值；1 1 1(2)若 a，b，cR ，且 m，求證：a2b3c9.a 2b 3c審題破題

6、 (1)從解不等式 f(x2)0 出發(fā)，將解集和1,1對(duì)照求 m；(2)利用柯西不等式證明(1)解因?yàn)?f(x2)m|x|，f(x2)0 等價(jià)于|x|m.由|x|m 有解，得 m0，且其解集為x|mxm 又 f(x2)0 的解集為1,1，故 m1.1 1 1(2)證明 由(1)知 1，a 2b 3c又 a，b，cR，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)1 1 1 a 2b 3cæèa·1 1 1 2b· 3c· a 2b 3cø29.反思?xì)w納 不等式證明的基本方法是比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法和數(shù)學(xué)歸納法，其中以比較 法和

7、綜合法最為基礎(chǔ)，使用綜合法證明不等式的關(guān)鍵就是通過適當(dāng)?shù)淖儞Q后使用重要不等式，證明過程注意 從重要不等式的形式入手達(dá)到證明的目的變式訓(xùn)練 2 已知 f(x)|x1|x1|，不等式 f(x)<4 的解集為 M.(1) 求 M；(2) 當(dāng) a，bM 時(shí)，證明：2|ab |<|4ab|.題型三 不等式的綜合應(yīng)用3 / 8xï æöïï èøï2xæöèø2ì1íî2例 3已知 f(x)|ax1|(aR)，不等式 f(x)3 的解集為x|2x

8、1 (1)求 a 的值；(2012· 遼寧)(2)若 f(x)2fk 恒成立，求 k 的取值范圍審題破題 (1)|ax1|3 的解集為2,1，對(duì)照即可；(2)可通過函數(shù)最值解決恒成立 問題解(1)由|ax1|3 得4ax2.又 f(x)3 的解集為x|2x1， 所以當(dāng) a0 時(shí)，不合題意4 2當(dāng) a>0 時(shí)， x ，得 a2.a a(2)記 h(x)f(x)2f，1，x1，ï4x3，1<x< ，則 h(x) 2ï 11，x ，2所以|h(x)|1，因此 k1.反思?xì)w納 不等式 f(a)g(x)恒成立時(shí)，要看是對(duì)哪一個(gè)變量恒成立，如果對(duì)于aR 恒成

9、立，則 f(a)的最 小值大于等于 g(x)，再解關(guān)于 x 的不等式求 x 的取值范圍；如果對(duì)于xR 不等式恒成立，則 g(x)的最大值 小于等于 f(a)，再解關(guān)于 a 的不等式求 a 的取值范圍變式訓(xùn)練 3 已知函數(shù) f(x)log (|x1|x5|a)(1) 當(dāng) a2 時(shí)，求函數(shù) f(x)的最小值；(2) 當(dāng)函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?R 時(shí)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍變式訓(xùn)練 4 設(shè) f(x)|x|2|xa|(a>0)(1) 當(dāng) a1 時(shí)，解不等式 f(x)8；(2) 若 f(x)6 恒成立，求正實(shí)數(shù) a 的取值范圍三、專題限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練4 / 81ï ïï

10、ïx一、填空題1 不等式|x3|x2|3 的解集為_xy x y2 設(shè) x>0，y>0，M ，N ，則 M、N 的大小關(guān)系為_2 xy 2x 2y3 對(duì)于實(shí)數(shù) x，y，若|x1|1，|y2|1，則|x2y1|的最大值為_4 若關(guān)于 x 的不等式|a |x1|x2|存在實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_ 二、解答題5 設(shè)不等式|2x1|<1 的解集為 M.(1) 求集合 M；(2) 若 a，bM，試比較 ab1 與 ab 的大小6 若不等式 x >|a2|1 對(duì)于一切非零實(shí)數(shù) x 均成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍1 1 57 (2012· 江蘇)已知實(shí)數(shù)

11、 x，y 滿足：|xy|< ，|2xy|< ，求證：|y|< .3 6 188 已知函數(shù) f(x)|xa|.(1) 若不等式 f(x)3 的解集為x|1x5，求實(shí)數(shù) a 的值；(2) 在(1)的條件下，若 f(x)f(x5)m 對(duì)一切實(shí)數(shù) x 恒成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 9 已知函數(shù) f(x)|2x1|2x3|.(1) 求不等式 f(x)6 的解集；(2) 若關(guān)于 x 的不等式 f(x)<|a1|的解集非空，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍1 1 110設(shè) a，b，c 為正實(shí)數(shù)，求證： abc2 3.a3 b3 c3一、填空題1 （ 2013 年 高 考 湖 北 卷 （ 理

12、） 設(shè)x , y, z ÎR, 且 滿 足 :x2 +y 2 +z 2=1 , x +2 y +3 z = 14, 則x +y +z =_.二、解答題2 （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)（理）（純 WORD 版含答案） 選修 45;不等式選講設(shè)a, b, c均為正數(shù),且 a +b +c =1,證明:()ab +bc +ca £13; ()a2 b2 c 2 + + ³1b c a.3 （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD 版） 選修 4-5:不等式選講已知函數(shù)f (x)=x-a,其中a >1.(I)當(dāng) a=2

13、時(shí),求不等式f (x)³4=x-4的解集;(II)已知關(guān)于 x 的不等式f(2x+a)-2f(x)£2的解集為x|1 £x £2,求a 的值.4 （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題）不等式選講:設(shè)不等式4 / 8x -2 <a ( a ÎN *)的解集4（2013 江蘇）.已知 >0,求證:æö æöè øø èy2x21ìü A Ç B為 A3 1 ,且 Î A ,2 2Ï A.(

14、1)求 a 的值;(2)求函數(shù)f ( x ) = x +a + x -2的最小值.56（2013 年高考湖南卷（理） 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,將從點(diǎn) M 出發(fā)沿縱、橫方向到達(dá)點(diǎn) N 的任一路徑成為 M到 N 的一條“L 路徑”.如圖 6 所示的路徑MM M M N 與路徑MN N 1 2 3 1都是 M 到 N 的“L 路徑”.某地有三個(gè)新建的居民區(qū),分別位于平面 xOy 內(nèi)三點(diǎn) A(3,20), B ( -10,0), C (14,0) 軸)內(nèi)的某一點(diǎn) P 處修建一個(gè)文化中心.處.現(xiàn)計(jì)劃在 x 軸上方區(qū)域(包含 x(I) 寫出點(diǎn) P 到居民區(qū) A 的“L 路徑”長度最小值的表達(dá)式(不要

15、求證明);(II) 若以原點(diǎn) O 為圓心,半徑為 1 的圓的內(nèi)部是保護(hù)區(qū),“L 路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū),請(qǐng)確定點(diǎn) P 的位置,使其 到三個(gè)居民區(qū)的“L 路徑”長度值和最小.四，高考試題匯編1 (2013· 重慶)若關(guān)于實(shí)數(shù) x 的不等式|x5|x3|<a 無解，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_2 (2013· 江西)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不等式|x2|1|1 的解集為_3 (2013· 陜西)已知 a，b，m，n 均為正數(shù)，且 ab1，mn2，則(ambn)(bman)的最小值為_a ³b 2a 3 -b 3 ³2 ab 2 -a 2 b4 (2012&

16、#183; 山東)若不等式|kx4|2 的解集為x|1x3，則實(shí)數(shù) k_.5.（2012、江蘇）已知實(shí)數(shù) x，y 滿足：1 1 5| x +y |< ，| 2 x -y |< ， | y |<3 6 求證： 18 1 16 (2011·湖南)設(shè) x，yR，且 xy0，則 x2 · 4y2的最小值為_1.(2011 山東)不等式 （A）-5.7| x -5| +| x +3| ³10的解集為（B）-4,6（C）( -¥,-5È7, +¥)（D）( -¥,-4È6, +¥)2.(2011 年

17、高考天津卷理科 13)已知集合A = x ÎR | x +3 + x -4 £9 , B =íxÎR | x =4t + , t Î(0, +¥)ýî t þ6 / 8，則集合 =_.aa =1x x £-1aa ÎR3.對(duì)于實(shí)數(shù) x，y，若x -1 £1，y -2 £1，則x -2 y +1的最大值為.4.(2011 年高考廣東卷理科 9)不等式x +1 -x -3 ³0的解集是_.4(2011 年高考陜西卷理科 15)（不等式選做題）若關(guān)于 x 的不等

18、式a ³ x +1 + x -2存在實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是5(2011 年高考遼寧卷理科 24)（本小題滿分 10 分）選修 4-5：不等式選講 已知函數(shù) f（x）=|x-2|-|x-5|.（I） 證明：-3f（x）3；（II） 求不等式 f（x）x2-8x+15 的解集.6. (2011 年高考全國新課標(biāo)卷理科 24)（本小題滿分 10 分） 選修 4-5 不等選講設(shè)函數(shù)f ( x) = x -a +3 x, a >0（1）當(dāng) 時(shí)，求不等式f ( x ) ³3 x +2的解集；(2)如果不等式f ( x) £0 的解集為 ，求 的值。7.(2011

19、年高考江蘇卷 21)選修 4-5：不等式選講（本小題滿分 10 分）解不等式：x+| 2 x -1| <38(2011 年高考福建卷理科 21)（本小題滿分 7 分）選修 4-5：不等式選講設(shè)不等式2x -11的解集為 M（I） 求集合 M；（II） 若 a，bM，試比較 ab+1 與 a+b 的大小9（ 2010 年高考陜西卷理科 15）(不等式選做題)不等式的解集為.10（ 2010 年高考福建卷理科 21）（本小題滿分 7 分）選修 4-5：不等式選講已知函數(shù)（）若不等式。的解集為 ，求實(shí)數(shù) 的值；（）在（）的條件下，若對(duì)一切實(shí)數(shù) x 恒成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍。12（ 201

20、0 年高考遼寧卷理科 24）（本小題滿分 10 分）選修 4-5：不等式選講已知均為正數(shù)，證明： ，并確定為何值時(shí)，等號(hào)成立。13（2008 廣東，14）（不等式選講選做題）已知 ，若關(guān)于 x 的方程x21+x +| a - | +| a |=04有實(shí)根，則a 的取值范圍是 。14（2007 廣東，14）（不等式選講選做題）設(shè)函數(shù)f ( x ) =|2 x -1 | +x +3, 則f ( -2)=；若f ( x) £5，則 x 的取值范圍是 。7 / 8m a, b, c Î R a 2b 3ca2kxa4 -5a4設(shè)函數(shù) f（x）=|x+1|+|x-a|的圖象關(guān)于直線 x=1 對(duì)稱，則 a 的值為16（2007 海南、寧夏，22C，10 分）（選修 4 5：不等式選講 ）設(shè)函數(shù)f ( x ) =|2 x +1 | -| x -4 | .f ( x) >2（1）解不等式； y = f ( x)的最小值。（2）求函數(shù)17 （2008 ·山東高考題）若不等式| 3x -b |<4的解集中的整數(shù)有且僅有1 、 2 、3 ，則 b 的取值范圍為。18. （2009 廣東 14)不等式| x +1| | x +2 |³1的實(shí)數(shù)解為.19（2009 福建選考 21（3） 解不等式2x-1<x+1 20（2009 遼