第6節(jié) 圓錐曲線的綜合問題

1、 【選題明細表】知識點、方法題號圓錐曲線間的綜合問題2、4、7、10直線與圓錐曲線的綜合問題1、6、9、12、13圓與圓錐曲線的綜合問題8、11、14、15、16、17圓錐曲線與其他知識的綜合3、5基礎過關一、選擇題1.(2014泉州質檢)“直線與雙曲線相切”是“直線與雙曲線只有一個公共點”的(B)(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件解析:直線與雙曲線相切時,只有一個公共點,但直線與雙曲線相交時,也可能有一個公共點,例如:與拋物線的對稱軸平行的直線與拋物線只有一個交點.故選B.2.已知雙曲線x24-y2b2=1的右焦點與拋物線y2=12x的焦點重

2、合,則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于(A)(A)5(B)42(C)3(D)5解析:拋物線y2=12x的焦點是(3,0),c=3,b2=c2-a2=5.雙曲線的漸近線方程為y=±52x,焦點(3,0)到y(tǒng)=±52x的距離d=5.故選A.3.橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點為A,左、右焦點分別為F1、F2,D是它短軸上的一個端點,若3DF1=DA+2DF2,則該橢圓的離心率為(D)(A)12(B)13(C)14(D)15解析:設D(0,b),則DF1=(-c,-b),DA=(-a,-b),DF2=(c,-b),由3DF1=DA+2DF2得-3c=

3、-a+2c,即a=5c,e=ca=15.4.(2015?？谡{研)拋物線y2=-12x的準線與雙曲線x29-y23=1的兩條漸近線所圍成的三角形的面積等于(A)(A)33(B)23(C)2(D)3解析:y2=-12x的準線方程為x=3,雙曲線x29-y23=1的漸近線為y=±33x.設拋物線的準線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為A、B,由x=3,y=33x,求得A(3,3),同理B(3,-3),所以|AB|=23,而O到直線AB的距離d=3,故所求三角形的面積S=12|AB|×d=12×23×3=33.5.(2014河南省中原名校模擬)設雙曲線x2a2-y

4、2b2=1(a>0,b>0),離心率e=2,右焦點F(c,0),方程ax2-bx-c=0的兩個實數根分別為x1,x2,則點P(x1,x2)與圓x2+y2=8的位置關系(C)(A)在圓內(B)在圓上(C)在圓外(D)不確定解析:由e=2得a=b,故c=2a,所以方程ax2-bx-c=0化為ax2-ax-2a=0,即x2-x-2=0,故x1+x2=1,x1·x2=-2.x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=12-2×(-2)=1+22,顯然(1+22)2=9+42>8,所以點P(x1,x2)在圓外.6.橢圓ax2+by2=1與直線y=1-x交于A、B兩

5、點,過原點與線段AB中點的直線的斜率為32,則ab的值為(A)(A)32(B)233(C)932(D)2327解析:設A(x1,y1),B(x2,y2),中點為M(x0,y0),將y=1-x代入ax2+by2=1,得(a+b)x2-2bx+b-1=0,故x1+x2=2ba+b,x0=ba+b,y1+y2=2-2ba+b=2aa+b,y0=aa+b,kOM=y0x0=ab=32.二、填空題7.設橢圓C1的離心率為513,焦點在x軸上且長軸長為26.若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8,則曲線C2的標準方程為. 解析:對于橢圓C1,a=13,c=5,曲線C2為雙曲

6、線,c=5,a=4,b=3,則標準方程為x216-y29=1.答案:x216-y29=18.(2014哈師大附中模擬)雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F(c,0),以原點為圓心,c為半徑的圓與雙曲線在第二象限的交點為A,若此圓在A點處切線的斜率為33,則雙曲線C的離心率為. 解析:如圖,由題知ABO=30°,所以AOB=60°,OA=c,設A(x0,y0),則x0=-c·cos 60°=-c2,y0=csin 60°=32c,由雙曲線定義知2a=(-c2-c) 2+(32c) 

7、;2-(-c2+c) 2+(32c) 2=(3-1)c,e=ca=3+1.答案:3+19.(2014太原五中模擬)直線l過橢圓x22+y2=1的左焦點F,且與橢圓相交于P、Q兩點,M為PQ的中點,O為原點.若FMO是以OF為底邊的等腰三角形,則直線l的方程為. 解析:法一由橢圓方程得a=2,b=c=1,則F(-1,0).在FMO中 ,|MF|=|MO|,所以M在線段OF的中垂線上,即xM=-12,設直線l的斜率為k,則其方程為y=k(x+1),由y=k(x+1),x22+y2=1 得x2+2k2(x+1)2-2=0,即(2k2+1)x2+4k2x+2(k

8、2-1)=0,xP+xQ=-4k22k2+1,而M為PQ的中點,故xM=12(xP+xQ)=-2k22k2+1=-12,k2=12,解得k=±22.故直線l的方程為y=±22(x+1),即x±2y+1=0.法二設P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),由題意知kPQ=-kOM,由P、Q在橢圓上知x122+y12=1,x222+y22=1,兩式相減整理得kPQ=y1-y2x1-x2=-x1+x22(y1+y2)=-x02y0,而kOM=y0x0,故x02y0=y0x0,即x02=2y02,所以kPQ=±22,直線PQ的方程為y=±2

9、2(x+1),即x±2y+1=0.答案:x±2y+1=010.(2014高考山東卷)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距為2c,右頂點為A,拋物線x2=2py(p>0)的焦點為F.若雙曲線截拋物線的準線所得線段長為2c,且|FA|=c,則雙曲線的漸近線方程為. 解析:拋物線x2=2py的準線方程為y=-p2,與雙曲線的方程聯立得x2=a2(1+p24b2),根據已知得a2(1+p24b2)=c2,由|FA|=c,得p24+a2=c2,由可得a2=b2,即a=b,所以所求雙曲線的漸近線方程是y=±x.答案:y=

10、7;x三、解答題11.如圖,等邊三角形OAB的邊長為83,且其三個頂點均在拋物線E:x2=2py(p>0)上.(1)求拋物線E的方程;(2)設動直線l與拋物線E相切于點P,與直線y=-1相交于點Q,證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點.(1)解:依題意,|OB|=83,BOy=30°.設B(x,y),則x=|OB|sin 30°=43,y=|OB|cos 30°=12.因為點B(43,12)在x2=2py上,所以(43)2=2p×12,解得p=2.故拋物線E的方程為x2=4y.(2)證明:由(1)知y=14x2,y=12x.設P(x0,y0),則x

11、00,y0=14x02,且l的方程為y-y0=12x0(x-x0),即y=12x0x-14x02.由y=12x0x-14x02,y=-1,得x=x02-42x0,y=-1.所以Q為x02-42x0,-1.設M(0,y1),令MP·MQ=0對滿足y0=14x02(x00)的x0,y0恒成立.由于MP=(x0,y0-y1),MQ=x02-42x0,-1-y1,由MP·MQ=0,得x02-42-y0-y0y1+y1+y12=0,即(y12+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)由于(*)式對滿足y0=14x02(x00)的y0恒成立,所以1-y1=0,y12+y1-2=0,解得

12、y1=1.故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點M(0,1).12.(2014長葛三模)已知圓C1的圓心的坐標原點O,且恰好與直線l1:x-2y+35=0相切,點A為圓上一動點,AMx軸于點M,且動點N滿足ON=33OA+(1-33)OM,設動點N的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)直線l與直線l1垂直且與曲線C交于B、D兩點,求OBD面積的最大值.解:(1)設動點N(x,y),A(x0,y0),因為AMx軸于M,所以M(x0,0),設圓C1的方程為x2+y2=r2,由題意得r=|35|1+4=3,所以圓C1的方程為x2+y2=9.由題意,ON=33OA+(1-33)OM,所以(x,y)=

13、33(x0,y0)+(1-33)(x0,0),所以x=x0,y=33y0,即x0=x,y0=3y.將A(x,3y)代入x2+y2=9,得動點N的軌跡方程為x29+y23=1.(2)由題意可設直線l:2x+y+m=0,設直線l與橢圓x29+y23=1交于B(x1,y1),D(x2,y2),聯立方程y=-2x-m,x2+3y2=9得13x2+12mx+3m2-9=0,=144m2-13×4(3m2-9)>0,解得m2<39.又點O到直線l的距離d=|m|5,BD=5·|x1-x2|=5·2117-3m213,SOBD=12·|m|5·5

14、·2117-3m213=m2(117-3m2)13=3m2(39-m2)13332(當且僅當m2=39-m2,即m2=392時取到最大值).OBD面積的最大值為332.能力提升13.(2014高考遼寧卷)已知點A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準線上,過點A的直線與C在第一象限相切于點B,記C的焦點為F,則直線BF的斜率為(D)(A)12(B)23(C)34(D)43解析:A(-2,3)在拋物線y2=2px的準線上,-p2=-2,p=4,y2=8x,設直線AB的方程為x=k(y-3)-2,將與y2=8x聯立,即x=k(y-3)-2,y2=8x,得y2-8ky+24k+16=0,

15、則=(-8k)2-4(24k+16)=0,即2k2-3k-2=0,解得k=2或k=-12(舍去),將k=2代入解得x=8,y=8即B(8,8),又F(2,0),kBF=8-08-2=43.故選D.14.過雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點F引圓x2+y2=a2的切線,切點為T,延長FT交雙曲線右支于點P,若T為線段FP的中點,則該雙曲線的漸近線方程為. 解析:如圖所示,設雙曲線的另一個焦點為F,連接OT、PF.FT為圓的切線,FTOT,且|OT|=a,又T、O分別為FP、FF的中點,OTPF且|OT|=12|PF|,|PF|=2a,且PFPF.又|PF

16、|-|PF|=2a,|PF|=4a.在RtPFF中,|PF|2+|PF|2=|FF|2,即16a2+4a2=4c2,c2a2=5.b2a2=c2a2-1=4,ba=2,即漸近線方程為y=±2x,即2x±y=0.答案:2x±y=015.(2014保定二模)設橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為e=22,且過點(-1,-62).(1)求橢圓E的方程;(2)設橢圓E的左頂點是A,若直線l:x-my-t=0與橢圓E相交于不同的兩點M、N(M、N與A均不重合),若以MN為直徑的圓過點A,試判定直線l是否過定點,若過定點,求出該定點的坐標.解:(

17、1)由e2=c2a2=a2-b2a2=12,可得a2=2b2,則橢圓E的方程為x22b2+y2b2=1(a>b>0),代入點(-1,-62)可得b2=2,a2=4,故橢圓E的方程為x24+y22=1.(2)由x-my-t=0得x=my+t,把它代入E的方程得(m2+2)y2+2mty+t2-4=0,設M(x1,y1),N(x2,y2),y1+y2=-2mtm2+2,y1y2=t2-4m2+2,x1+x2=m(y1+y2)+2t=4tm2+2,x1x2=(my1+t)(my2+t)=m2y1y2+tm(y1+y2)+t2=2t2-4m2m2+2.因為以MN為直徑的圓過點A,所以AMA

18、N,所以AM·AN=(x1+2,y1)·(x2+2,y2)=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2=2t2-4m2m2+2+2×4tm2+2+4+t2-4m2+2=3t2+8t+4m2+2=(t+2)(3t+2)m2+2=0.因為M、N與A均不重合,所以t-2,所以t=-23,直線l的方程是x=my-23,直線l過定點T(-23,0),由于點T在橢圓內部,故滿足直線l與橢圓有兩個交點,所以直線l過定點T(-23,0).探究創(chuàng)新16.(2014邯鄲二模)如圖所示點F是拋物線y2=8x的焦點,點A、B分別在拋物線y2=8x及圓(x-2)2+y2=16的實線部分上運動,且AB總是平行于x軸,則FAB的周長的取值范圍是. 解析:由拋物線方程知準線l:x=-2,焦點F(2,0),圓的圓心C(2,0),半徑r=4.作出拋物線的準線l,過B作BMl于M,由拋物線的定義得|AF|=|AM|,FAB的周長為|AF|+|FB|+|AB|=|AB|+|AM|+|FB|=|BM|+|FB|.又B在圓弧上移動,且A、B、F三點不重合不共線,2<xB<6,4<|BM|