解讀07考綱展談基礎(chǔ)能力

1、解讀07考綱畏淡基礎(chǔ)能力蘇州市教育科學(xué)研屯院陳兆華一、認(rèn)識(shí)命題的指導(dǎo)思想高考命題的指導(dǎo)思想，可用以下八個(gè)字概括：三基四能，一新二高.（d三基：即基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考査，貼近教學(xué)實(shí)際，既注意全面又突汕重點(diǎn)，試題中每種題型的 起始部分均設(shè)有一定量的基礎(chǔ)題，對(duì)支撐數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)體系的主i：知識(shí)，考肖時(shí)保證較高的比例.加強(qiáng)對(duì)屮學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)屮所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法的考查，具體要求主要體現(xiàn)在通性通法的運(yùn)用 上.分析2006年高考江蘇卷，基礎(chǔ)知識(shí)題占有較大比例，分值近100分：選擇題中的基礎(chǔ)知識(shí)題有：第1題函數(shù)奇偶性、第2題圓的切線、第3題統(tǒng)計(jì)中的平均數(shù)與 方差、第4題三角

2、函數(shù)圖象的伸縮與平移、第5題二項(xiàng)式定理的展開、第6題向量運(yùn)算求軌跡、 第7題集合、第8題不等式.（40分）填空題中的基礎(chǔ)知識(shí)題有：第11題三角函數(shù)中的正弦定理、第12題解幾的線性規(guī)劃、第13 題排列（相同元素問題）、第14題三角恒等變形、第15題導(dǎo)數(shù)中的切線與數(shù)列、第16題解不等 式（30分）解答題中的基礎(chǔ)知識(shí)題有：第17題解析幾何用其他有關(guān)問題等.（30分）以上這些問題，主要就是考查了考生的三基.（2）四能：思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力、分析問題和解決問題的能力.思維能力是數(shù)學(xué)能力的核心，其考杳耍求是：會(huì)觀察、分析、綜合、抽象和概括，會(huì)用歸納、 演繹和類比進(jìn)行推理，會(huì)用簡明準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言

3、闡述自己的思想與觀點(diǎn).運(yùn)算能力是思維能力與運(yùn)算技能的結(jié)合，其考查的要求是：對(duì)數(shù)字的計(jì)算、估算和近似計(jì)算, 對(duì)式子的組合變形與分解變形，對(duì)幾何圖形各幾何暈的計(jì)算求解以及分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方 向、選擇運(yùn)算公式、確定運(yùn)算程序等.空間想象能力是指對(duì)空間圖形的處理能力，其考杳要求是：會(huì)根據(jù)題設(shè)條件想象和畫出圖形, 會(huì)將復(fù)雜圖形分解為簡單圖形，能對(duì)圖形進(jìn)行纟r合、變形，能在基本圖形中確定基本元素及相互 位置關(guān)系.分析問題和解決問題的能力是對(duì)數(shù)學(xué)能力的綜合考查，要求考生對(duì)試題所提供的問題，通過 閱讀、理解，運(yùn)用己有的知識(shí)和方法，嘗試解決新問題.06年高考卷在四大能力上都體現(xiàn)了較高要求.思維能力要求以最后

4、兩題尤為突出；運(yùn)算能力體現(xiàn)在對(duì)整卷的運(yùn)算量上，它是近幾年高考中最大的一次，包括以上的部分基礎(chǔ)知 識(shí)題，很多題都有較大的運(yùn)算量，如：小題中的第3、5、6、8、11、14、15、16題，大題中的所 有解答題，都對(duì)考生的運(yùn)算能力提出了前所未有的要求.尤其是第14、15、16題，有些題目已 相當(dāng)于上世紀(jì)八、九十年代高考卷中的解答題.如14小題，運(yùn)算環(huán)節(jié)較多，要想得到正確答案, 并非易事，若平時(shí)的訓(xùn)練不足，就會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生心理準(zhǔn)備不夠，從而產(chǎn)生緊張情緒，因此扎實(shí)加 強(qiáng)運(yùn)算能力的培養(yǎng)是非常重要的，而這項(xiàng)工作是貫穿在平時(shí)的教與學(xué)的各個(gè)微小細(xì)節(jié)中的.由于有2道解答題中有立體幾何問題，加上圖形的非常規(guī)性，給考生空

5、間想象能力作出了非 常高的要求.而第9題、第10題具有較強(qiáng)的生活背景，又因?yàn)橛行﹩栴}的綜合性較強(qiáng)，因此，06高考在 分析問題和解決問題的考查上也體現(xiàn)了較高要求.（3）一新：即一個(gè)創(chuàng)新注重創(chuàng)新，加強(qiáng)試題的開放性、探究性.以所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)，對(duì)某些數(shù)學(xué)問題進(jìn)行深入探討，或從數(shù)學(xué)角度對(duì)某些實(shí)際問題進(jìn)行 探究，以體現(xiàn)研究性學(xué)習(xí)的要求.每年一般在小題中的排列組合問題上“出新”，在大題上的概率問題上“出新”或其他應(yīng)用 問題上“出新”.（4）二高：即兩個(gè)高度.整體的高度和思維價(jià)值的高度注垂從整體的高度和思維價(jià)值的高度設(shè)計(jì)問題.注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)的綜合性，使考 查達(dá)到必要的深度.二、研究考試的內(nèi)容要求

6、對(duì)知識(shí)的考查要求分三個(gè)層次：a級(jí)：了解；b級(jí)：理解和掌握；c級(jí)：靈活和綜合運(yùn)用.（1）a級(jí)要求有13個(gè).（2）b級(jí)要求冇71個(gè).（3）c級(jí)要求有14個(gè)：“不等式”中有兩個(gè)：“基本不等式”和“不等式的綜合運(yùn)用”；“函數(shù)”中有兩個(gè)：“函數(shù)的基本性質(zhì)”和“函數(shù)的綜合運(yùn)用”；“平面向量”中有一個(gè)：“平面向量的數(shù)量積”；“三角函數(shù)”中有兩個(gè)：“同角三角函數(shù)的關(guān)系式”和“兩角和與差的正弦、余弦、正切”；“數(shù)列”中有三個(gè)：“等差數(shù)列”、“等比數(shù)列”和“數(shù)列的綜合運(yùn)用”；“解析幾何”中有三個(gè)：“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)”、“雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)” 和“拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)”；“立體幾何”中有一個(gè)：

7、“直線和平面垂直的判定與性質(zhì)”.由于容易題、中等題、難題在試題中所山的比例大致為3 ： 5 ： 2,又上述三個(gè)層次中3級(jí)要 求的知識(shí)點(diǎn)有71個(gè)，占總數(shù)的72%,因此重視中等題的復(fù)習(xí)與研究尤為重要.三、基礎(chǔ)問題的有效訓(xùn)練高三下學(xué)期，各學(xué)校的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)逐步進(jìn)入第二輪與第三輪（綜合練習(xí)為主），其中第二 輪的復(fù)習(xí)要定位成“高瞻遠(yuǎn)嵋鞏固基礎(chǔ)、立足思想注重方法”.在第二輪復(fù)習(xí)中，建議用知識(shí)板塊為主線，貫穿數(shù)學(xué)思想方法，并以部分?jǐn)?shù)學(xué)思想方法為專 題，再對(duì)一些重點(diǎn)基礎(chǔ)問題作回顧與訓(xùn)練.基礎(chǔ)問題的再認(rèn)識(shí)，要在高一、高二已學(xué)習(xí)、高三一輪已復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上有更大的提高，即要 站在一定的高度再次認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)問題，而不是簡單

8、的、機(jī)械的重復(fù)練習(xí)，要有目的、有方向、有重 點(diǎn)的回顧一些基礎(chǔ)問題.使學(xué)生能從根本上認(rèn)清問題的本質(zhì)，能在輕松愉快、眼明心知的心境中 得以解決.1. 畫龍點(diǎn)睛，用“心”解題対于第一輪復(fù)習(xí)小的重要基礎(chǔ)問題，要抓住問題的要點(diǎn)，使學(xué)生“心領(lǐng)神會(huì)”.例1已知sin二巴三，cos。二上凹，0已（乞,龍），則加的取值范圍是.m + 5tn + 52例2 （2005年）在zkabc中，o為中線am上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若am = 2,則oa （ob + oc）的最小值是 .例3關(guān)和的方程，和+ “。®）的四個(gè)根組成首項(xiàng)吋的等差數(shù)列，則" b的值是（）a. bc. d8242472例4等差數(shù)列$, 加

9、的前n項(xiàng)和分別為s”，t”若對(duì)任意的自然數(shù)n,都冇也=心，則tn 4/?-3 + :=厲+婦如+切例5求下列函數(shù)的值域：(1) y = 3sina + 4cosa, «e0, ； y = 3simx-4cosa, gwo, .例6求下列函數(shù)的值域：®y = 2x + 丁9-兀$ ； y = 2x-9-x2 例7已知實(shí)數(shù)a, b, c滿足：a + h + c = 3f a2 + b2c2 =則a的取值范圍是 .2例8設(shè)sina + sin/?=丄，則sin« - cos2的最大值為4411?a. b. c.d.39123例9正方形abcd的所有頂點(diǎn)在平面a的同側(cè)，點(diǎn)

10、a, b, c到平面a的距離分別為3cm, 4cm, 7cm,則點(diǎn)d到平面a的距離為例10有四張卡片，止反面分別為0和1, 2和3, 4和5, 6和7,用它們拼成一個(gè)三位數(shù)，可拼 成個(gè)三位數(shù).2. 抓住核心，注重算理例11已知a, b > 0, k ab - 2a - b = 1,求a + b的最小值.例12已知a（l, 3）, b（3, 4）,直線ab交直線/： 2x - 5），+ 6 = 0于點(diǎn)p，貝ijp分ab的比為例13已知0為aabc所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，j1滿足0a2 + bc2 = 0b2 + ca2 = 0c2 + ab2 ,則0 定是/xabc的（）a.外心b.內(nèi)心 c.垂

11、心 d.重心2 2例14 （2000全國理）橢岡冷 +專-=1的焦點(diǎn)f,甩 點(diǎn)p為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)zflpf2為鈍角時(shí),點(diǎn)p橫坐標(biāo)的取值范圍是.例15已知平面弘0, y兩兩互相垂直，它們的三條交線的公共點(diǎn)為0,過。引一條射線0p,若 0p與三條交線屮的兩條所成的角都是60。，則0p與第三條交線所成的和為（）a. 30°b. 45。c 60°d 75°例6已知數(shù)列為滿足:a】=1, 2an+lan + 3如+冷+ 2 = 0, （ i ）求證: 是等差數(shù)列；（ii ）5 +1求an 例17 n2 (/7>4)個(gè)正數(shù)排成n行n列：其中每一行的數(shù)都成等差數(shù)列，每一列

12、的數(shù)都成等比數(shù)列,13.且所有公比相等.已知血4=1，。42二一，«43 =，求011+022 + 433+% 的值.8163. 利用特殊，化繁為簡例18己知定義域、值域均為r的函數(shù)y = f(x + 2)為奇函數(shù)，且函數(shù)y =f(x)存在反函數(shù)，函數(shù)y = g(x)的圖象與函數(shù)y = f(x)的圖象關(guān)于直線y = x對(duì)稱，則g(x) + g(兀)=例19(2006年全國卷ii)設(shè)s“是等差數(shù)列/的前/7項(xiàng)和*若蕓t哈()例203“1a. b 103將y = sin(lr+蘭)的圖象向右平移1d.-91c.8單位可得y = sin(2x-蘭)的圖象.6例21己知a, b, c三點(diǎn)不共

13、線，a , “，y er,則2 ab + /j bc+y ca = 0成立的充要條件是()d. = / = /= 0a. iai = i/1 = 1/1 b. 2 = / =/ c. 2 + /+/= 0例22 在厶abc 中，化簡 tz2(cos2 一 cos2c) + b2 (cos2c - cos2>4) + c2 (cos2a 一 cos25) =四、思想方法的宏觀串聯(lián)由于數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)教育的核心，因此高考把數(shù)學(xué)思維的考查放在一個(gè)十分重要的位置“多 考點(diǎn)想的，少考點(diǎn)算的”，“全卷充滿思辨性”，“證中有算，算中有證”，“加大對(duì)代數(shù)推理論證的 考查”等命題指導(dǎo)思想足以說明高考對(duì)數(shù)學(xué)思

14、維考查的重視程度(2007年教育部考試中心高考 數(shù)學(xué)測(cè)量理論與實(shí)踐).數(shù)學(xué)思想和方法可劃分為三人類，它們是：數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)思維方法和數(shù)學(xué)方法.其屮數(shù)學(xué)思想方法：(1)函數(shù)與方程的思想；(2)數(shù)形結(jié)合的思想；(3)分類與整介的思想;(4) 化歸與轉(zhuǎn)化的思想；(5)特殊與一般的思想；(6)有限與無限的思想；(7)或然與必然的 思想.數(shù)學(xué)思維方法，是指數(shù)學(xué)思維過程中運(yùn)用的基本方法，主要包括：觀察與實(shí)驗(yàn)的方法；比較 與分類的方法，歸納與演繹的方法；分析與綜合的方法，抽象與概括的方法，一燉化與特殊化的 方法等.數(shù)學(xué)方法主要指配方法，換元法，待定系數(shù)法等一些具體方法.1. 小題不能大做“在高考命題時(shí)，

15、以經(jīng)常使用的重要數(shù)學(xué)思維方法常編制解答題給予重點(diǎn)考查，而選擇題與 填空題則鼓勵(lì)考生積極思維，選擇最佳思維方法，優(yōu)化解答過程，減少解答時(shí)間，并以此指導(dǎo)中 學(xué)數(shù)學(xué)加強(qiáng)思維方法的教學(xué)，提高考生的思維水平”(2007年教育部考試中心高考數(shù)學(xué)測(cè)量理論與實(shí)踐).例24函數(shù)y =厶+ 1 + 的值域?yàn)槔?5兩個(gè)等差數(shù)列：2, 5, 8,197和2, 7, 12,197中，相同的項(xiàng)共有項(xiàng).100 例26 己知數(shù)列為滿足：d=l, a2 = 2, an+2 = an+i - an （nen*）,則工線二k-例27己知向量a = （3, -2）, b / a y且h 1 = 5,則向量b.2 2例28 （2006

16、年四川卷）如圖,把橢圓+ - = 1的長軸佔(zhàn)分成8等2516份，過每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢惻的上半部分于巴，p2,巴，p4, p5, p6,戸7七個(gè)點(diǎn)，尸是橢岡的一個(gè)焦點(diǎn)，則1戶1尸1 +丨戶2尸1 +i p3f + i p4f + i p5f + i p6f +1 p1f =.2. 大題先得小做關(guān)于解答題，一般笫一問難度并不大，要正確理解問題，作出初步分析，設(shè)計(jì)解題方案.例29 （2000 年全國）設(shè)函數(shù) f（x） = yjx2 -l-ax （d>0）.（i）解不等式/«<!； （ii）求d的取值范圍，使函數(shù)/（兀）在區(qū)間0, +oo）上是單調(diào)函數(shù).例30 在厶abc

17、中，ac = 4f bc = 2, zc = 60°, cd 為 zc 的 平分線，將圖形沿cd折起，使二面角b-cd-a的大小 為120°.求:（i）折起fad與bc所成的角；（ii ）折起后所得的線段43的長度.3. 加強(qiáng)分析，尋找數(shù)學(xué)思想方法平時(shí)的復(fù)習(xí)過程中，若善于加強(qiáng)解題前的分析，揭示可能用到的數(shù)學(xué)思想方法，解后再反思, 是什么數(shù)學(xué)思想起到了關(guān)鍵作川，必會(huì)使復(fù)習(xí)工作成效更人.例31已知數(shù)列“與數(shù)列%滿足：加二乞空土空二二叫（gn*）,1 + 2 + 3 + 求證：數(shù)列知成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列九成等差數(shù)列.例32設(shè)數(shù)列 an的前兀項(xiàng)和為s”,已知°1 =

18、 1,他=6, °3=11， .n（5n-8）s;；d-（5/?+2）szj = a/? + b, /? = 1, 2, 3,，其中 a、b 為常數(shù).（1 ）求a與3的值；（ii）證明數(shù)列外為等差數(shù)列；（iii）證明不等式何二-師；>1對(duì)任何止梏數(shù)加、"都成立.例33 （2006安徽）已知函數(shù)于（兀）在r上有定義，對(duì)任何實(shí)數(shù)d0和任何實(shí)數(shù)x,都有(i )證明/(o)= o； (ii )證明 /(x) =,，"c其中r和力均為常數(shù)； hx,x <0(iii)當(dāng)(ii)中的k0 時(shí)，設(shè) g(x) = - + /(%)(兀 >0),討論 g(兀)在(0

19、,4-00)內(nèi)的jx)單調(diào)性并求極值.五、對(duì)07年高考的展望1. 關(guān)于函數(shù)問題小題仍耍以函數(shù)基本性質(zhì)為重點(diǎn)，尤其是函數(shù)的值域、單調(diào)性及函數(shù)的對(duì)稱性難點(diǎn)為抽彖函數(shù)的對(duì)稱性問題.如例34 (l)y =/(l+x)與y=f(-x)的圖象關(guān)于對(duì)稱.(2) /(l+x)=/(l-x),貝ljy=/(x)的圖彖關(guān)于對(duì)稱.(3) y = f(2+3x)有對(duì)稱軸為x = |,則y=f(x)有對(duì)稱軸為大題要注意函數(shù)與數(shù)列、不等式的綜合問題.如 例35已知./u)是定義在r上的不恒為0的函數(shù)，且對(duì)任意的°, /疋r,都滿足f(a-b)=af(b)+bf(a). ( i )求/(0), /(i)的值；(i

20、i)判斷/u)的奇偶性,并證明你的結(jié)論;(iii)若/(2) = 2,心=(hgn *),求數(shù)列仏的前項(xiàng)和.例36 已知函數(shù) f(x) = xx-a +2x-3 .(i) 當(dāng)d=4, 20w5時(shí)，問x分別取何值時(shí)，函數(shù),y = f(x)取得最大值和最小值，并求 iii相應(yīng)的最大值和最小值：(ii) 求a的取值范圍，使得函數(shù)y = f(x)在r上恒為增函數(shù)；(iii) 己知0=4,燙咧滿足色+ = ")+ 3 (nen*).試探求坷的值,使得數(shù)列 anan(nn*)成等差數(shù)列.2. 關(guān)于數(shù)列問題數(shù)列問題的核心是等差數(shù)列與等比數(shù)列，尤以等差數(shù)列為重點(diǎn)，主要考查方向?yàn)椋?1)數(shù)列 的“單調(diào)

21、性”;(2)等差數(shù)列;(3)等比數(shù)列;(4) “項(xiàng)”與“和”之間的關(guān)系；(5)遞推關(guān)系式 與通項(xiàng)公式.主要數(shù)學(xué)思想有“函數(shù)與方程的思想”，主要思維方法有“特殊化與一般化的方法”.小題以函數(shù)的對(duì)稱思想、數(shù)列的“單調(diào)性”問題及等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)為重點(diǎn)，如 例37在數(shù)列 "中,最大的項(xiàng)的序號(hào)為.n2 +609&n = 50,啟例38若數(shù)列禺滿足色=逅則xa> =i, 7? h 50. i=lln-50大題要關(guān)注“和”及“遞推關(guān)系式”的問題，要學(xué)會(huì)用“分類與整合的思想”，如例39已知正數(shù)數(shù)列冷的前斤項(xiàng)的和s“滿足s = -(an+) (nwn*),求2° “例4

22、0 已知數(shù)列 a” 滿足：aj = l a“+i + a“+2/? + 3 = 0, ( i )求 a”；(id 求 s“.3. 關(guān)于三角函數(shù)問題三角函數(shù)主要還是應(yīng)用“兩角和與差的三角函數(shù)”作出一些計(jì)算問題；三角函數(shù)的圖象與性 質(zhì)問題；以及三角形中的有關(guān)問題.仍以中等題為主.7t例41 (2006 年天津卷)已知函數(shù)/(x) = cisinx-bcosx (a、/?為常數(shù)，aho, xer)在x =處取得最小值，則函數(shù)y=fg-x)是()43兀a.偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)仗，0)對(duì)稱b.偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱23/rc.奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱d.奇函數(shù)且它的圖彖關(guān)于點(diǎn)加0

23、)對(duì)稱2例42 己知 xw0, j,則 y = cos( - x) - cos( + x)的值域.2 12 12例43 在abc 中,sina(cosb + cosc) = sinb + sinc,若 ab = 3cm, ac = 4cm,求abc 的面積.例44 已知向ft/w = (cosx + sinx, v3 sinx), n = (cosx-sinx,2cosx), /(x) = m n .()求/(兀)的解析式和它的單調(diào)遞增區(qū)間；(ii) 若函數(shù)/(兀)在x = x()處取得最人值，且0 vx()vl,求兀()的值.4. 有關(guān)向量問題注意它與三角函數(shù)、解析幾何結(jié)合的問題，主要是數(shù)暈

24、積的運(yùn)算，向量的他標(biāo)運(yùn)算，向量的 幾何意義等.例45已知點(diǎn)o為aabc所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)p滿足op = oa + aab網(wǎng) sin 3 、ac+ ac sin c當(dāng)2在0,+oo)變化時(shí)，動(dòng)點(diǎn)p的軌跡一定通過abc的a.夕卜心b.垂心c.內(nèi)心d.重心5. 有關(guān)不等式問題小題中常有基本不等式的有關(guān)問題，大題中若在最后兩題中有不等式證明問題，常用放縮法,要求較高.,2 例46已知d>0, b>0, jw+牛=1,貝hy = a tn7的最人值為例47已知x, y>0,且丄+ = 1,貝！jx + y的最小值為解不等式中注意含絕對(duì)值不等式的分類求解問題，如解丨21丨“+ 1等小題.關(guān)于與數(shù)列相關(guān)的不等式問題，常用以下放縮法求和:6. 關(guān)于圓錐曲線大題常利用向量等條件得曲線方程，進(jìn)一步研究直線與曲線的關(guān)系.由于橢圓多了一個(gè)3級(jí)耍求的參數(shù)方程問題，所以也耍適當(dāng)訓(xùn)練一些含參問題，如2 2例48已知p為+ = 1±的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，a