高等數(shù)學(xué)中極限命題的研究

1、高等數(shù)學(xué)中極限命題的研究一.直接命題直接計(jì)算某個(gè)未定式(-,-,0-00,00-00,r,0°,00°)的極限，比較簡(jiǎn)單的解法(分解因 00 0式約分法、根式有理化、分子分母同除以無(wú)窮大(小)等等)不再介紹，僅介紹與考研命題相關(guān)的解法.1. 利用等價(jià)無(wú)窮小替換求極限(#)一fofcici依據(jù) 若 a存在，則 lim- = lim 0，00，常川的等價(jià)無(wú)窮小：當(dāng) a(x) > 0 時(shí)，則 a(x) sin a(x) tan a(x) arcsin a(x)arctan a(x) in 1 + a(x)_co &(兀)1 + a(x)v 一 1 jlia(x),

2、q(x) + o«(%)a(x),注若&o)0(x),0(x)/(x),則 q(x) /(x)若a趴a與0不等價(jià)，則a-3 &_卩xt0 1 - cos jx原式弋x2=1 ln(l + sirr x) limxto(i + cosx) tan x9“對(duì) + tanx lim；xto ex j解原式=lim:7 = lim=20(1 + cos x)x xto j + cos x 2y解原式=lim:= lim= 15 x-x xt° 1 一 sinx + cosx-1 lim；x>o sin 3x-xlimxtoln( 1 + x) - ln( 1

3、- x)t(l-x)5-lx 原式=1訕丄=丄at。3x 3in ln(l + -)原式二lim yx = lim上丄xto1x->0ix x332x=lim：* = lim= -6xto 1 xto xx3練習(xí)1. limc c兀to %-sinx原式=恤汕（嚴(yán)-）x-sinxlima->0嚴(yán)（兀一02）x-sinxlimesinx=lx->02.1-cosxlim5 (er+x-l)ln(l-x)原式=limm-吧誌）23.x ln( 1 + x)limx->()（06 年）2.cosxx2原式=limf = 2x->0 12x2利用第二個(gè)重要的極限求極限（d

4、依據(jù)1+丄a(x)(2)若 limw(x), lim v(x)存在,filimw(x)工 0,貝01imw(x)v(t)= limw(x)hmv(x)lim(cosx)ln(i+?)(03 年)原式=lim (1 + cos x-1)cosx-1cosx-lln(l+.r2). cosx-l亍1lim lim厶->0n(14-xz) _ ex->o x2 _ e 2xtoi(1) lim l + a(x)g)= e 或 lima(.v)->olja(x)->oo(93 年)i 21 )lim sin + cos x x)令一=/,原式= lim(sin2/ + cosz

5、)/xsin2/+cosr-lsin 2/+c0s/-1=lim (l + sin2r + cosf 1) fto（08 年）i-&q < a < b ,求 lim(a"+/?一")" hto解原式= lim丄"to b(ax2+12練習(xí)1lim(l + 3x)兀xto1原式=lim (1 + 3兀產(chǎn)x>02.7t lim(cosv%)a x->0f3.=lim b "一>°(ax（03 年）6xsinx.6xlim aedsinx 0°(91 年)原式=lim (1 + cos vx

6、-l)cos_1 x->oflimxt()1ex + e2a+- + e/,v+11;r(cosx/7-l)xlimex(91 年)(cosx/x-1)xzrxx->0+ anex+e2x+-+ezu-n原式=limxto-n("=)+(r x-1 )4 +(e"x-l) limew0丄lim n =e-i c" +limx x->0 x1+2+1+he 23.利用極限存在的充要條件求極限依據(jù) lim f(x) = a o lim f(x) = lim f(x) = ax->xqxt%'xtxlim f(x) = a o lim /

7、(x) = lim f(x) = axtooyt2xtyx2- 丄例 1 lime2_l丄丄limci =limcr + 10t =乜， 二原極限不存在，但不為oo.xt 廣 x x->1*' (92 年)i x-l兀i丄丄解 t limer_1 = lim(x + l)ex_1 =2 0 = 0，xt廠 x 1x->rlimxto2 + ex sin 兀 +（00 年）i l + er丄2 + ex 解令/(朗=4 +1 + e7sinxi2 + e;sinx2 + 0 t+o-1 = 1limxt0>4;+ l( 丄2 + e* sinx11 + z43sinx

8、+(87 年)原極限為1.練習(xí)xto + ax1-ax1-ax1-(),limfl=lim- -11xt(f11+()1 +a“1 + c"丄cixci x 1解 lim = lim := -1,x->0+xto 十一一l + axa % +i.原極限不存在4.利用洛必達(dá)法則求極限依據(jù) 若lim但為竺（或°）,且lim厶存在（或oo）,則lim竺 =1血厶兇. gm oo 0g （x）g g （x）注數(shù)列極限先化為函數(shù)極限，再使用法則；可以求,0 00, 00 00, 1°°, 0°, 00° 未定式.00 0例 1 hm

9、63;-sinx-l（92 年）5原式=limx->()ev - sinx-1x22“ ea - cos xev + sin x ,八lim= lim= 1 + 0 = 1ato兀xtoilim.v->00x x ln(l + )x(94 年)原式=limxto01 ln(l + _)1x_1x* 2lim/->o t1 ln(l+oh(-ln(l+/)ft()jo lim xto(02 年)0 arctan (1 + r)dr du x(l-cosx)jo原式= lim x->()=limxtoarctan (1 + r)dr du2(arctan (1 + /) d

10、r26%2 71713 4“ 2xarctan(l + x)2 limxt()arctan x - sin x limxtox312- 一 cos x原式二lim心0 3x2（07 年）lim-厶*to3 i + jt1-(1 +jf2) cos xx2a1 一2兀 cos 兀 + (1 +jr)sinx12x=-lim3o（08 年）“sinxlim inso xx原式=lim in 1 +sinx 八1 = limx丿sinx-x20 x3cos x -1=lim = - limx->03兀v->0sinx _16r_6練習(xí)1.設(shè)/（%）連續(xù),j7(0d/.ja(92 年)解原

11、式也空z x-alim爼竺也l巧x（00 年）ax+bx y< 2 2. 若a >o,h > 0均為常數(shù)，求lim xto3(ax+bx-2)2.x原式=limx->0ax +bxii,n3(qt-2) e*-*0 2x3.4.恤.3(小 na+歹 lnb)e0-n(ab) e* 23=(aby(l + x 1>limz)ll e兀丿（05 年）原式=+ f m5 x(ex -1) xto1 - er +(x + x2)evv (3x + x2)er=lima->0x22x=limxto(3 + g 32設(shè) f(x,y) =- 7txl-ysin ，兀 &g

12、t; 0, y0 求1 + xy arctan x(1) g(x)= lim f(x.y)yt+oo(2)(06 年) g(x)= lim f(x,y)= limy->-+oo、71xsiny171x7tx(2) lim g(x) = limxt(vxt。*11-7tx< x arctan x )arctanx-x(l-x)=limxt()x arctan x(arctan x-x(- tix) (.1 一 (1 一 2兀兀)(1 + 對(duì))=lim= limxt()+廣a->(rx22x(1 + /)5- lima->0一兀+ 2兀+ 2龍兀lim；w 2(l + jr

13、)sin x 一 sin (sin x)j sin x兀、（08 年）. cos x 一 cos(sin x) cos x limxt()sinx 1=lim=xto 6x 6f (sin x 一 sin sin x)sinx sin x 一 sin sin x 解 lim =lim3x2.r->0兀 °a->0cos x(l - cos(sin 兀) sinfsin x) cos x=lim；= limxto2 yy1-7lxarctan x，a->05.利用泰勒公式（帶佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林展開式）求極限（#）常用的展開式e = l + x4- + + l +

14、2!3!. %3 %5 |sinx = x+ + l3!5!cosx = 1+l2!4!+(7竊+心)ln(l + x) = x- + + l +(-1)23一蘭+。（疋）n論益+l1）l（"!2兀+心2!n“ cosx-e lim5%4（90 年）cosx= 1-4x + + () 2!4!(門,e=l- +2一-x4 +。(兀4) 原式= limx->012v jl + x + a/1 -x -2 limx->0x2(98 年)1.(-1)j1 + x = 1 + -x + -2 2!1.(-1)j_x = 1-丄 x+ x2 +。(十2 2! vx2 +0(兀2)=

15、 1 + 空兀十+心）,原式= lim_；3）對(duì)練習(xí)1. lin/ j淫二-0 l-vl-x7（92 年）2!解 . e" = 1 + 兀 +寸+ o(f), sinx= x- +原式= lin?jeta->0=lima->021+兀+尋+。（門-r3兀一金+°(x)x2io%1.>jr+ x222.2(cosx lim 2() x(x-sinx24t x x (、 cos x = 1+ + o(x224,4x3sin x = x+ o6(門,2+ x2xx 込+。的lim -+ o 6原式= limxtox4+ o(x4(旳26.利用極限存在準(zhǔn)則求極限準(zhǔn)

16、則 i 若 vn, yn < xn < zn， lim yn = lim zn=a9 則 lim xn = a"too"too準(zhǔn)則ii單調(diào)有界數(shù)列必有極限.lim + +心叭才+ + 1 n + + 2(95 年)解令g)= j j。1+，則at +/? + 1 nn + 2+n + nn(/i +1)2(/22 + n + n)n(n + 1)2(n2+n + l)xv limi顯hts 2(rt + n + n) 2lim e)“too 2(/ +71 + 1)原式斗例2 設(shè)兀=1(),兀卄=j6 +兀川,(“ = 12)，求limxw.(96年)v“too

17、解 由題意知，£>0,故兀有下界，下面用數(shù)學(xué)歸納法證?！眴握{(diào)有上界.-v| =10龍c = j6 + x、= 4,設(shè)兀點(diǎn)_ > xj,則兀+ = j6 + xr < j6 + 兀=x女,乂 limv3 = l,n>oo2.設(shè)坷 > 0, xn+i = 2ixn + x7n /,（兀=12 ），求 lim”t8（97 年）山題意知，?！?,又£+i=g（1 ）£+一i xn）?2ft = 1, a 兀有下界'/. xn單調(diào)遞減，且 10 ,故兀單調(diào)有界limx“ 存在，設(shè)為 q,則 a 二 j6 + d ,解得 a = 3,或

18、a =-2 （舍去），.lim £=3."too-i練習(xí) 1. lim（l + 2“+3"）“1解 q3" vl + 2"+3" v33",.3v（l + 2"+3"）” <3朽,y 2-1£丿> 0,> xll+i, up xh單調(diào)遞減, 2x*“toolim 兀存在，設(shè) lim xn = a . a =丄（g +丄） 解得 g = 1,即 limx = 12 a3.設(shè)數(shù)列暫滿足0兀1 71 ,xn = sin , = 12 ），求(1)證明limxw存在，并求之刃一qo（2

19、）計(jì)算lim（06 年）（1）證明0 < xj <7t, x2 = sin xx , /. 0 < x2 < 1,/. x3 = sin x2 < x2,當(dāng) n>2 時(shí),用數(shù)學(xué)歸納法可證xn+1 = sin xn xn，: xn單調(diào)遞減,且xnx<71又 £ no,/. 暫有界從而hmxn存在. l 7“too設(shè) limxm = a ,則 a = sin a,:. a = 0, k 卩 limx”=0">8>8=limft（）/1+ksin/ 八simsinz-r 1t-刁1. sinr-r . cos/-l 1limz

20、lim=e"f° 1= e" 3" =e 67=e 6由(1)知，原式= lim“too7.利用定積分的定義求極限依據(jù) 若y = /(%)在d問(wèn)上連續(xù)，貝ijlim£/(岳)ax= f/(兀)dr.特別地,a0 . .w/=!n /=ilim "一8171nn1 + cos + jl + cos + +、1 + cos n v nv n(02 年)原式=lim 丄” jl + cos = ( jl + cos/rxdx = (j2 cos2lim“too令旺cos71x fdx2(.7t .271sin sin- + n71sin-+

21、n + 171 n sin 又 lim v n171 n sin- iimy£ 心s吿/? + !:.由夾逼準(zhǔn)則知,練習(xí)lim71tcx sinsinzr + + n + 2.171sinn r n + -2sin;r2v271(98 年).in inn sinh sin 則乞一n /=1 + 1/=!lysin=fsinda =n厶止)lim i n /=11cos 7tx71171n sin 一limv= f sin7rxdx"t8 77 + 1 鋁"j()2 2 hmxn =-9即原式= “too兀ji+ , + +j2 + 2? v/r解原式tim工一”鋁

22、厶2+z” 1= = lim£f2 心00鋁1cos7tx71,ck = ln( 1 + a/2).)vl + x'取a,b = 0,l, ar; = , & =,limy/()= (f(x)dx. yin一oc n®9.利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限例2已知八"1,求毀心_2）-/（d(94 年)依據(jù) /griin/gm)m°), lim如也二如m) hfh/()h(89 年)例 1 己知廣(3) = -2,求 lim"3 ") ，.<心2h解恤/(3"-/(3)丄站(357顯卜廣2hto卄20h2lxto%兀

23、 一>02.2h已知佗）=-2,求啓弘）*（補(bǔ)鮎）. hm/cv0)-f(a0-2/n = /u)=_2y . lim2/?2/?1（）/（兀（）一/（心一2/?）2解 hm /（心 _2切-/ （心 _兀）=（_2* 1）廣（x。）= _廣（兀°）= 1,原式=1.r->0yxf（x +-）- fix 練習(xí)1.已知廣（心）=4,求恤。2 j。2 2（）xx3.設(shè)函數(shù)f（x）連續(xù)h lim/兇=2,求曲線y = f（x）上對(duì)應(yīng)點(diǎn)x = o處切線方程. z） xt /*(兀)連續(xù) /. lim f(x) = /(0)乂 lim =2:. /(o)= oa->0a-&g

24、t;0.v->0 x'7廠（0）= 1而/0）一/（°）=2,.曲線y = /（x）在（0,0）處切線方程為y = 2x.”t°x10結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求極限依據(jù) 廣（如）在幾何上表示曲線y二/（兀）在兀（）處切線的斜率.例1設(shè)f(x) = xn在(1,1)處切線與兀軸交點(diǎn)為(僉,0),求lim/(;).(98年)8解 k = f,(x) = nxnx x= = n , /.切線方程為：y = l + /7(x-l),即 y =力兀一 + 1,令 y = 0 得，.* lim/（） = lim（l-irn刃too”t8 n e/arctan x例2 已知y =

25、 /（x）與），= e-z dr在（0,0）處切線相同，寫出此切線方程，并求解山題意知,2 用 f（0） = 0,廣（0） = 1,切線方程：y = x,="t8 兀 ht8 i恿"0 =忸竽=2忸駕護(hù)=2門0） = 2練習(xí)曲線扌的切線與兀,y軸圍成-個(gè)圖形，記切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a ,試求切線方程和這個(gè)圖形的面積，當(dāng)切點(diǎn)沿曲線趨于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，該面積的變化趨勢(shì)如何?（99 年）解 y = -j= = x yjxi 4=2a 2（d0），在（a,?。┨幍那芯€方程：y-a=一一a（x-a）,即y23 -i= -a 2x + -a2 2.切線與軸的交點(diǎn)分別為（0,-6（巧，（3q,0）,

26、.圖形而積為s = -aa 12 2 2從而當(dāng)切點(diǎn)沿曲線趨于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，該面積趨于無(wú)窮人.1l利用已知極限求另一極限例 1 若 iimsin6x + wxtox3（01 年）解法1 lim匕単ihn空護(hù)xto fx->0x->0sin 6x +sin 6x 一 6xx3x3x3c6兀一 sin 6x6-6cos6x0 + lim= lima->（）兀xt（）3x2limxt（）法2吧十6x -（繆 + o（f） + xf （x） lim a->03!= limxt（）6 + /（x）9. lim空凹“to x=36.in練習(xí)若lim x->01+如sin2x3v-1

27、 -5,求 lim.d x2則in 1sin 2x由題意知，lim空1 = 0,go sin 2x/（兀）-原式=忸騎=忸丄爲(wèi)2x =忸盎2二血忸仔汕/. lim- = 101n3. so x-間接命題1. 討論函數(shù)的連續(xù)性.可導(dǎo)性或?qū)﹂g斷點(diǎn)分類依據(jù) /（x）在心連續(xù)o lim/（x） = /（x0）, /（x）在兀0可導(dǎo)o /（x0） = /（x0）xt*。間斷點(diǎn)：i類（可去、跳躍間斷點(diǎn)），ii類（無(wú)窮、振蕩間斷點(diǎn)）例1討論/（x）h2(1-cos x),jt1pcosr2dr,x止)x<0x = 0在x = 0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.（95年）解廠(0) = lim m(叭向知一曲)一1

28、向2(1-沁)"x->0" x 0xt(廠xxt()-x£cosr2dr-lx3“ cosx2 -1=limxto+ 2x=limxto+x14xlim = 0. w 2xlim型xto+cosrdr -xx2.廣（0） = 0即/（x）在x = 0處可導(dǎo)，故/（兀）也在x = 0處連續(xù)./ x例2已知/(兀)= lim 竺一<sinxj/wxsin f-sinx,求函數(shù)f（x）的間斷點(diǎn)并指出其類型（01年）sin x x z、sin t sin x piiv-sinx sinx 解 /(x) = lim 1 +t->xsinx )x=esinx

29、, /. /(x)的間斷點(diǎn)為 x = k7r. lim/(x) = limesinr =e,x = 0為口j去間斷點(diǎn)xtoxtox lim f(x)= lim (至少左右極限中有一個(gè)為oo ) . . x = k/r (k0)為無(wú)窮間 x>k7r(k0)x->k斷點(diǎn).練習(xí)1. /(x)在兀=0處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是(d).(07 年)(a)若lim/血存在，則/(0) = 0(b)若 lim/+心存在,則 /(0) = 0xt0xx->0(c)若lim _存在,則廣(0)存在(d)若 lim/一心)存在,則廣(0)存在xt0xx->0x12.函數(shù)f(x)-(ea+e)

30、tanx在如刃上的第一類間斷點(diǎn)為兀二(a)(07 年)x(ea -e)(a)n0.(b) 1.(c) (d)-”22tan x3.設(shè)函數(shù)/(兀)n1-e xarcsin2tze2在兀=0處連續(xù)，求0.(02 年)x<0l_etanx_ra , lim /(x) = lim= lim = -2xt(tx->0+ x x->0+ xarcsin 2 24./(x)在兀=()處連續(xù),lim f(x) = lim /(x) = /(0). :.a = -2.設(shè)/«=丄+連續(xù).7ix sin/rx zr(l-x)5(03 年)2，1,試補(bǔ)充定義/(l),使/(兀)在-,1上解

31、由題意知,+7ix sinx 龍(1 一兀)7i xti- 兀(1 一兀)sin/rx=丄+曲空丸空=丄+1曲7i xtt sinti 廣7ry-sin 7ry2 27i y1tt ttcostty1=一 + lim； = 一 + lim7i xt 廠2/ry7i 心廠1 .2 =271 y 7i2.2.定義/(1)=丄,715設(shè)函數(shù)心在區(qū)間+上連續(xù)，則石是函數(shù)g心皿的迪間斷點(diǎn)x（08 年）（a）跳躍間斷點(diǎn).（b）可去間斷點(diǎn).（c）無(wú)窮間斷點(diǎn).（q）振蕩間斷點(diǎn).v limg(x) = lim = lim/(x) = /(o),/. limg(x)存在,x = 0是函數(shù)g（x）的可去間斷點(diǎn).在（

32、-00, +00）內(nèi)連續(xù)，則c =1（08 年）x2 +1, x <c2in2 2由于 lim /(x) = lim | =-xtc*x clim /(x) = lim(x2 +1) = c2 +lx>cx->c由題意知,lim /(x) = lim/(x) = /(c),x>c+x>c7啊皿"w/(0)= i（08 年）1 . 2i / 、 sin x心 v l-cos(sinx) v ?t解 lim； = lim = 1,"0 _l)/(x)5 x2f(x)1/. lim 2= i"to f(x)/. lim/(x) = -go2

33、由于于連續(xù),2.比較兩個(gè)無(wú)窮小階的高低（關(guān)于無(wú)窮小階的命題）1（1-6tx2）4 -1與xsinx為等價(jià)尢窮小，求d.(03 年)解 rh題意知,£丄(l ax2y 1. r ( ax2y 1lim:= 1, ifu lim 兀 to xsinxyto xsinx12cixlim=ci = 1 , xt0 x24例2 設(shè)/（x）在兀=0某鄰域內(nèi)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且于（0）工0，廣（o）ho,若(02 年)af(h) + bf(2h) -/(o)在 h -> 0 時(shí)比 h 高階，求 a,b.解 由題意知，lim/(/?) = f(0),貝ij limaf(h) + bf(2h)-/

34、() = (a+ b-1)/(0), 乂/(0)0, a + h-=o.加m) + m(2/(0)=訕獷 + 獷帥)= * 2小/(0) = 0 , /(0) h 0xtox->0|/ d + 2/? = 0,從而a = 2,/? = !.(06 年)例3 已知"（l + ax + c兀2） = 1 +人兀+ 0（兀彳）,求abc （常數(shù)）.解山題意知，lim。du）山=0,而 xtox3v ex(l + bx + cx2)-l-ar v lim= lim xtor5x->0x3l + b + (b + 2c)x + c兀2 -a 斥j = 0,e” 而 lim x-&g

35、t;()l + b + (b + 2c)x + cx2 -aex lim xt()l + 2b + 2c + (b + 4c)x + c?6x0,lim l + 2b + 2c + (b + 4c)x + c? =0 xto l-/. l + 2b + 2c = 0.而limx-»0er l + 2b + 2c + (b + 4c)x + c?=limevl + 3b + 6c + (b + 6c)x + cx2'6xa-»00,/. lim 1 + 3b + 6c + (b + 6c)x + cx.v->0 -l + b-a = o.< 1 + 2b

36、+ 2c = (),解得a = 31 + 3b + 6c = o0,-t-4 l + 3b + 6c = 0.練習(xí) 1.設(shè)/(兀)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0) = 0,f (o)0,f(x) = £(? -t2)f (r)dr,當(dāng) jtto時(shí)，f©）與是同階無(wú)窮小，求常數(shù)（96 年）x->0.lime” 1 + b + (b + 2c)兀+ & -a=0 ,.1 + b a = ().f(x) = 2x£7g)dr,解 f(x) = x2jo7g)d/-j(/7g)dr，2廣f'（x）2/（r）drm由題意知，lim=吧七l =呀科戸=吧一2）廠 只

37、有當(dāng)k=3時(shí)，上式極限為/'（0）工0.胡_56(97 年)2. 比較/(x) = f c° xsinr2dr與+ 當(dāng)xto時(shí)階的高低/m-cosx 9f(risin 廠 cklim = lim_- = lim“to g (兀)xto 兀 xxto156sinx-sin(l-cosx)2x4 +x51 41x- xx=lim - = lim = 0.工to x + x'xt0 1 + x/. f(x)是比g(x)高階的無(wú)窮小 3求曲線的漸近線依據(jù)(1)若lim/(x) = c ,則直線y = c為水平漸近線xt8(2) 若lim/(%) = oo,則直線x = a為鉛

38、直漸近線.x->a(3) 若 lim/l9 = a,(q ho),limf(x)-ax = b,則直線 y = ax + b 為斜漸近線.x>co ra >00 ly例i求曲線尸科的漸近線.(05 年)x解/ lim= oo,i 2x +1無(wú)水平漸近線.lim直線t為鉛直漸近線x2乂 a = lim2x + l _=lim-=1二,x->ooxx* 2x +12b = limxt8直線厲t為斜漸近線.x2 1x2x + l 2limxt8x2 2x+1)例2求曲線y = xlnfe + -x > 0)的漸近線.(98年) x丿解 limxlnl e + -| =

39、00,.無(wú)水平漸近線.+> i% 丿乂x0 , y = xln| e + -無(wú)間斷點(diǎn)，故無(wú)鉛直漸近線.i兀丿乂 a = limxln< 1)e + -<兀丿牙 txo% ( 1)=lim in e + l兀丿b = limxln< 、 e + xx->-h20< 尢丿lim,r->4-30lnfe + ix丿1limlne + 1 = lim-!-f->oif->o e + / eft線y = % + -為斜漸近線.e例3曲線y = - + ln(l + ex)的漸近線的條數(shù)為x(a)0.(b) 1.(0 2.(d)(0) 3.(07 年)

40、解 lim+ ln(l + ev) = oo,xto x乂 lim- + ln(l + ev) = o,xtyo %+ ln(l + e')又 a = lim xt+oo兀兀=0為垂直漸近線.:.y = 0為水平漸近線.x->-ko兀=lim - = 1,r->+oo 1 + evh = lim + ln(l + e' )-x= limln(l + e')-xx>+00 兀x>-k0=lim in ea (1 + er)-x= lim ln(l +)= 0,xt4x>牙一>4cq直線y = x為斜漸近線.綜上可知，共有3條漸近線.丄練

41、習(xí) 求曲線"（£+%-2）2“的漸近線.cr -l）arctan x(94 年)解 lim(/+"2)2=恤 (兀-l)(x + 2)2； 心如(x2 一 1) arctan x(兀 + 1)(x 一 1) arctan x=limxt+oo arctan x_2冗 712j.直線）y_為曲線的水平漸近線.71丄(x-l)(x + 2)2;乂 lim(：+x 2)2”= hm八、 _ = iimyt-oo(x2 一 1)arctan x 心-(x 4- l)(x-1) arc tan xarctan xi_2兀 71j.直線y = 一為曲線的水平漸近線.711 (

42、 u-i)u+2)2- =limj_y使函數(shù)沒(méi)有意義的點(diǎn)：x = -l,x = o,x = l,丄(x* + x 2)2alim ；= lim2-】(廣 一 1) arctan x 心一】(x + l)(x 一 1) arctan x “t-i 兀 + 立線兀=-1為曲線的鉛直漸近線.乂 timx->0(x2 + 兀-2)2*(x2 -1) arctan x=lim = lim2()(% + l)(x 1) arctan x 心-i x直線尢=0為曲線的鉛育漸近線.又 lim(：+兀_2)2' “血_=恤xti (%- 一 1) arctan x (x + l)(x 1) arc

43、tan x “t-i(兀 + )arctan x(x + 2)2“3 2 _ 122«- 71 4.i直線兀=1不是曲線的鉛直漸近線.22綜上可知，直線y =y = -, x = -l為曲線的漸近線71714-極限的反問(wèn)題sinx z八 匕已矢n lim(cosx-方)=5 ,xto ea 一 a求 q,/?（04 年）lim(cosx) =0,1 仇a = iyba = . -b = 5 從而a . b = 4卿黑;鳥:二嚴(yán)®+皿，則一(94 年)(a) b = 4d(b)h = -4d(c) a =4c(d)解 a tan x+b(l 一 cos x)a tan x a

44、(ax 0),c ln( 1 - 2x) + d (1 - e"r) c ln(l- 2x)-2cx (c h 0),<7 tan x+ /?(!-cos x) axlim = lim“to c ln( 1 - 2兀)+ d(l - e_r) o -2cx練習(xí)設(shè)limx + 2a（96 年）i叭x-a丿解limxt8x=limxtoo1+丄x-a ）3axx-a3ax-a.3axlim?=&"-"=訂=8二 a = ln25.求廣義積分（02 年）依據(jù) 廣義積分常用定積分的極限定義（?？迹?fg dxxln2 x廠s dlnxi-1 in2 xlnx

45、_原式=-lim 丄 + 丄=1. ytw lnx lne（00 年）rg dxx . 2-x e +e原式=dex1evarctan ee+oclim arctan eve1 arctan 1 e717171 2e 4e 4e三、綜合命題，求廣例 1 設(shè)/（z） = limzx-»oo1、與導(dǎo)數(shù)綜合（92 年）/1+<x-/丿x-l2t 2txx-thm2/怡=甘,例2 設(shè)周期為4的函數(shù)/在（-oo,+oo） nj導(dǎo),m 一/（i jxto2x（98 年）y = /（x）在點(diǎn)（5,/（5）處的切線斜率.解 由題意知，/（兀+ 4）=（兀）,則廣（兀+ 4）=廣（兀），廣（5）

46、=廣,護(hù)弓仆型十“廣(1) = 一2即八5) = -2.曲線y = g在點(diǎn)（5,/（5）處的切線斜率廣= -2.丫" aq y 門練習(xí) 設(shè)/(%)=匚的導(dǎo)函數(shù)廣(x)在x = 0連續(xù)，求2的取值范圍.0,兀=0(03 年)解 當(dāng)xho時(shí)，/(x) = xa cos,則 fx) = axa cos4-x2sin,xxx廠(0) = lim(q _ "°)= lim 兀宀 cos 丄，又.廣(0)存在a>1,且廣(0) = 0 ,xt° x-0xtox又fr(x)在兀=0連續(xù),即lim/,(x) = /0),x->0limyto l丄久一2 丄c

47、os + x sin xx)=0,/ 22 綜上 口j知 2 > 2 2.與函數(shù)曲線的性態(tài)（如極值）綜合例1設(shè)f （切的導(dǎo)數(shù)在x = d連續(xù)，乂 limz = -l,問(wèn)x = q是否為f（x）的極值點(diǎn)？e x-a（01 年）解 山題意知，lim/'（x）二廣（。）=0,x = a為/（x）的駐點(diǎn)，x-axv= lim f（a）-fuz） = na） = -i 0z x-a 5 x-a:.x = a為/（x）的極人值點(diǎn).練習(xí)1.設(shè)于在兀=0某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，冃/（0） = 0, lim / =2，問(wèn)/（0）是否為 xt0 | 一 cos x/（兀）的極值？（03年）解 山題意知，lim

48、 =lim羊 = lim = 20,xt（）1 一 cos x xt（）丄 25 x- x2/.由極限的局部保號(hào)性知，存在尢=（）的某個(gè)去心鄰域，使得上凹0,x當(dāng)兀0時(shí),廣（兀）0；當(dāng)兀0時(shí),fx）0.從而于（0）為/（兀）的極小值.f"(兀)2設(shè)/(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，冃廣(0) = 0,問(wèn)/(0)是否為/(x)的極值？xt0 x(96 年)解 廣(0) = 0, .兀=0為/(兀)的駐點(diǎn).乂 lim- = l>0,由極限的局部保號(hào) 心()x性知，存在兀=()的某個(gè)去心鄰域，使得 上凹>(),從而0.(x)在x = 0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)單調(diào)遞增.當(dāng)兀 >0 時(shí),f(x)>fr(0) = 0;