求數(shù)列通項(xiàng)公式和前N項(xiàng)和的方法_8616

1、求數(shù)列前 N項(xiàng)和的方法1. 公式法等差數(shù)列前n 項(xiàng)和：n(a1 an )n(n1)Snna1d22特別的， 當(dāng)前 n 項(xiàng)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)， S2 k 1(2 k 1)gak 1 ，即前 n 項(xiàng)和為中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)。這個(gè)公式在很多時(shí)候可以簡(jiǎn)化運(yùn)算。等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和：q=1 時(shí)， Snna1a1qn1，特別要注意對(duì)公比的討論。q 1， Sn1q其他公式：n1、 Snk 11n1kn(n 1) 2、 Snk 2n(n 1)( 2n 1)2k 16n 1n(n3、 Snk 31) 2k 12例 1已知 log 3x1，求 xx2x3xn的前 n 項(xiàng)和 .log 2 3解：由 log 3x1xlog 3

2、 2x1log 32log 2 3由等比數(shù)列求和公式得Snx x2x3x n（利用常用公式）x(1 xn )1(11)122n 11x12n12例 2設(shè) Sn 1+2+3+ +n， nN * ,求 f (n)Sn的最大值 .(n32) Sn 1解：由等差數(shù)列求和公式得Sn1 n(n1) ， Sn 11 ( n 1)(n 2)（利22用常用公式） f ( n)Sn2n( n32)Sn 134n64n11164850n)25034( nnn8n 8f (n) max1n5082. 錯(cuò)位相減法 na n·bnn an b n . 3S13x5x 27 x3(2n1) x n1n (2n1)

3、 x n 12n 1 xn1xSn1x3x 25x37 x 4(2n1) xn .（設(shè)制錯(cuò)位）(1 x)Sn1 2x 2x 22x 32x 42x n 1(2n 1)x n（錯(cuò)位相減(1x)Sn12x 1x n1(2n1) xn1 xSn(2n1)xn 1(2n1) xn(1x)(1x) 22462nn. 42,22 ,23 ,2n , 2n12n2n2n Sn2462n2223n2212462n2 Sn22232 42n 1（設(shè)制錯(cuò)位）(11 ) Sn2 22222n22 2223242n2n 1（錯(cuò)位相減212n2 n12n1n 2 Sn4 2n 1練習(xí)：求： Sn=1+5x+9x 2+&

4、#183;····+(4n-3)x n-1解： n2n-1S =1+5x+9x+· ·+(4n-3)x兩邊同乘以 x，得n2+9x3+· ·+(4n-3)xnx S =x+5 x - 得，（1-x ） n（23+· ·+xn）（4n-3）nS =1+4x+ x +x-x當(dāng) x=1 時(shí)， Sn=1+5+9+ · ·+（4n-3）=2n 2 -n當(dāng) x1 時(shí)， Sn=1 1-x 4x(1-xn)1-x+1- （4n-3）xn3. 反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式時(shí)所

5、用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n 個(gè) (a1an ) . 例 5 求 sin 2 1sin 2 2sin2 3sin 2 88sin 2 89 的值解：設(shè) Ssin 2 1sin 2 2sin 2 3sin 2 88sin 2 89 . 將式右邊反序得Ssin 2 89sin 2 88sin 2 3sin 2 2sin 2 1.（反序）又因?yàn)閟in xcos(90x), sin 2 xcos2 x1+得（反序相加）2S(sin 2 1cos2 1 )(sin 2 2cos2 2 )(sin 2 89cos2 89 ) 89 S 44.54. 分組法求

6、和有一類(lèi)數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例 6求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和： 11, 14, 17, 13n2 ，aa 2an1解：設(shè)11132)(1 1) ( a4)( a 27)( a n 1nSn將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得111Sn (1a a 2a n 1 )(1 4 73n 2)（分組）當(dāng) a 1 時(shí)，Snn(3n 1)n(3n 1)n（分22組求和）11(3n1) naa1 nan當(dāng) a1 時(shí)， Sn2111aa 例 7 求數(shù)列 n(n+1)(2n+1) 的前 n 項(xiàng)和 .解：設(shè) akkkk2k 3

7、k 2k(1)( 2 1)3nn Snk (k 1)(2k 1) (2k33k 2k)k 1k 1將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得Sn（分組） 2(1323n3 ) 3(1222n2 )n2 (n1)22（分組求和）(3n1)n2nk 3nn23k 2kk 1k1k 1(1 2n)n(n 1)(2n1) n( n 1)22n(n1) 2 (n2)2練習(xí)：求數(shù)列11 ,2 1 ,3 1 ,? ?, (n1n ),? ? ?的前 n 項(xiàng)和。2482解： Sn111?(n1123n )2482(1211113 ? n) (23? n )22221n(n1)1122n5. 裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列

8、求和中的具體應(yīng)用. 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的. 通項(xiàng)分解 （裂項(xiàng)） 如：（ 1） anf (n1)f ( n)（ 2）sin 1tan(n1)tan ncosn cos(n 1)（ 3） an11)11（ 4） an(2n(2n)21)11 (11)n( nnn 11)(2n2 2n1 2n1（ 5） an12)1 11)( n12)n(n 1)(n2n(n1)(n(6)ann 212(n 1) n 111n ,則 Sn111)2nn(n 1)2nn 2n 1(n1)2(n1)2nn(n例 9求數(shù)列1,1,1, 的前 n 項(xiàng)和

9、 .12nn231解: 設(shè) an1n1n （裂項(xiàng)）nn1則 Sn111（裂項(xiàng)求和）1223nn1 ( 21) (32 )( n 1n )n 11例 10在數(shù)列 a n 中， an12n ，又 bn2，求數(shù)列 b n 的前n 1 n 1n 1an an 1n 項(xiàng)的和 .解： an12nnn1n 1n12 bnn218( 1n1) （裂項(xiàng)）nn122數(shù)列 b n 的前 n 項(xiàng)和Sn8(11 )( 11)( 11 )( 11) （裂項(xiàng)求和）22334nn 1 8(11) 8nn 1n1例 11111cos1求證：cos1 cos2cos88 cos89sin 2 1cos0 cos1解：設(shè) S111

10、cos0 cos1cos1 cos2cos88 cos89sin 1tan(n1) tan n（裂項(xiàng)）cosn cos( n1) S111cos1 cos2（裂項(xiàng)求和）cos0 cos1cos88 cos891 (tan 1tan0 )(tan 2 tan1 )(tan 3tan 2 ) tan 89 tan88 sin11tan 0 ) 1cos1(tan 89cot 1sin 1sin 1sin 2 1原等式成立6. 合并法求和針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn.例 12求 cos1° + co

11、s2° + cos3° +··· + cos178°+ cos179°的值 .解：設(shè) Sn cos1° + cos2° + cos3° +···+ cos178 ° + cos179°cos ncos(180n )（找特殊性質(zhì)項(xiàng)） Sn （ cos1°+ cos179°）+（ cos2° + cos178°）+ （ cos3° + cos177°）+···+

12、（ cos89° + cos91°） + cos90°（合并求和） 0例 13數(shù)列 a n ： a11, a23, a32, an2an 1 an ，求 S2002.解：設(shè) S2002a2 a3a2002 a1由 a11, a23, a32, an 2an 1an 可得a41,a53,a62,a7 1,a83,a92, a101,a113, a122,a6k 11,a6 k 2 3, a6 k 3 2, a6 k 41,a6k 53,a6 k 62 a6k 1a6 k 2a6 k 3a6 k 4a6k 5a6k 60（找特殊性質(zhì)項(xiàng)） S2002a3a2002（合并

13、求和） a1 a2 (a1 a2a3a6 ) (a7 a8a12 )(a6k 1 a6 k 2a6k 6 )(a1993a1994a1998 )a1999a2000a2001a2002 a1999a2000a2001a2002 a6k 1a6 k 2a6 k 3a6 k 4 5例 14在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a69, 求 log 3 a1log 3 a2log 3 a10的值 .解：設(shè) Snlog 3 a1log 3 a2log 3 a10由等比數(shù)列的性質(zhì)mnp qamanap aq（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)log a Mlog a Nlog a M N得Sn (log 3 a

14、1 log 3 a10 )(log 3 a2log 3 a9 )(log 3 a5log 3 a6 ) （合并求和） (log 3 a1 a10 )(log 3 a2 a9 )(log 3 a5a6 ) log 3 9log 3 9log 3 9 107. 利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來(lái)求數(shù)列的前n 項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法.例 15求 111 1111111之和 .n 個(gè)1解：由于 1111199991 (10k1) （找通項(xiàng)及特征）k個(gè)19k個(gè)19 1111111111n個(gè)11(1011)1(1021)1(1031)

15、1(10n1) （分組求和）9999 1 (101 10210310n )1(1 111)99n個(gè) 1110(10n1)n91019 1 (10n 1 10 9n)81以上一個(gè) 7 種方法雖然各有其特點(diǎn)，但總的原則是要善于改變?cè)瓟?shù)列的形式結(jié)構(gòu)，使其能進(jìn)行消項(xiàng)處理或能使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式以及其它已知的基本求和公式來(lái)解決，只要很好地把握這一規(guī)律，就能使數(shù)列求和化難為易，迎刃而解。求數(shù)列通項(xiàng)公式的八種方法一、公式法（定義法）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)二、累加、累乘法1、累加法適用于： an 1anf (n)a2a1f (1)若 an 1 anf (n) ( na3a2f (2)2

16、) ，則LLan 1anf ( n)n兩邊分別相加得an 1a1f (n)k1例 1已知數(shù)列 an 滿足 an 1 an 2n 1， a1 1 ，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。解：由 an 1an2n1得 an 1an2n1則an (anan 1 ) ( an 1an 2 )L(a3a2 ) ( a2a1 ) a12( n1)12( n2)1 L(22 1)(211)12(n1)( n2)L 21(n1)12 (n1)n( n1)12(n 1)(n1)1n2所以數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 ann2 。例 2已知數(shù)列 an 滿足 an 1an2 3n 1， a3，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。1解法一：由

17、 an 1an2 3n1得 an 1an2 3n1則an (anan 1 ) (an 1an 2 ) L(a3a2 ) (a2a1) a1(23n 11)(23n 21)L(2321)(2311)32(3n 13n 2L3231)(n1)32 3(13n1 )(n1)3133n3n133nn1所以 an3nn1.解法二： an 13an2 3n1 兩邊除以 3n 1 ，得 an 1an21，3n 13n33n1an 1an21則 n 1n3n 1，故333ananann( nan33( 21n )332(n1)31) (an 1an 2an 2an 3)L(a2a1a1an 1n 2 )(n

18、2n 321 )3133333( 21n 1 ) ( 2n12 )L(2 12) 3333333311111( nnn 1n2L2 ) 133333an2(n 1)1(13n 1)2n11因此3n，3n313122 3n3則 an2n 3n13n1.3222、累乘法適用于：an 1f ( n) an若an 1a2a3f (2)，Lan1f (n)anf ( n) ，則f (1)，L ，a1a2annan 1兩邊分別相乘得，a1f (k)a1k1例 3已知數(shù)列an滿足an1nn1，求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式。2( n 1)5 a， a 3解：因?yàn)?an 12( n1)5nan， a13 ，所以 an

19、0，則 an 12(n1)5n ，故anananan 1 La3 a2 a1an1an2a2a12( n11)5n 1 2( n21)5n2 L2(21) 52 2(1 1)51 32n11) L32 5(n 1) ( n 2) L213 n(n2n 1n(n 1)352n!2n 1n ( n1)所以數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 an352n!.三、待定系數(shù)法適用于 an1qanf (n)分析：通過(guò)湊配可轉(zhuǎn)化為an 11 f (n)2 an1 f (n) ;解題基本步驟：1、確定f (n)2、設(shè)等比數(shù)列an1 f (n) ，公比為23、列出關(guān)系式an 11 f (n)2an1 f (n)4、比較系

20、數(shù)求1 ， 25、解得數(shù)列an1 f (n) 的通項(xiàng)公式6、解得數(shù)列an 的通項(xiàng)公式例 4已知數(shù)列 an 中， a11,an2an 11(n2) ，求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式。解法一： Q an2an 11(n2),an12( an 11)又Q a112,an1 是首項(xiàng)為 2，公比為 2 的等比數(shù)列an 1 2n ，即 an 2n1解法二： Q an2an 11(n2),an 12an1兩式相減得an 1an2( anan 1 )( n2) ，故數(shù)列an 1an 是首項(xiàng)為2，公比為 2 的等比數(shù)列，再用累加法的 例 5 已知數(shù)列 an 滿足 an12an4 3n1， a11，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。

21、解法一：設(shè) an 113n2 ( an3n 1 ) ，比較系數(shù)得14,2 2，則數(shù)列 an 4 3n1是首項(xiàng)為 a14 3115 ，公比為2 的等比數(shù)列，所以 an4 3n 15 2n 1 ，即 an4 3n 15 2n 1解法二： 兩邊同時(shí)除以3n1得：an12an4n13n2 ，下面解法略333注意：例 6已知數(shù)列 an 滿足 an 12an3n24n5， a1，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。1解： 設(shè) an 1x(n1)2y( n1)z2( anxn2yn z)比較系數(shù)得 x3, y 10, z 18 ，所以 an 13(n1)210(n1)182(an3n210n18)由 a13 1210

22、1 18131320 ，得 an3n210n180則 an 13(n 1)210(n1)182 ，故數(shù)列 an3n210n 18 為以an3n2 10n18a13121011813132為首項(xiàng)，以2 為公比的等比數(shù)列，因此an3n210n18322n 1，則an 2n 43n210n18 。注意：形如 an 2pan 1qan 時(shí)將 an 作為 f ( n) 求解分析：原遞推式可化為an 2an 1( p)(an 1an ) 的形式，比較系數(shù)可求得，數(shù)列an 1an 為等比數(shù)列。例 7已知數(shù)列 an 滿足 an 25an 16an , a11,a22 ，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。解：設(shè) an

23、2an 1 (5)( an1an )比較系數(shù)得3 或2 ，不妨取2 ，則 an 2 2an 13(an 12an ) ，則 an12an是首項(xiàng)為4，公比為 3 的等比數(shù)列an 12an4 3n 1 ，所以 an4 3n15 2n 1四、迭代法例 8已知數(shù)列 an 滿足 aa3( n 1)2n，a5 ，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。n 1n1解：因?yàn)?an 1an3( n 1)2 n ，所以anan3 n12n 1 an3( n2 1) 2n 23 n 2n 12( n 2) ( n 1)an3 (2n 1) n 2 a3( n 2) 2n 3 32 ( n 1) n 2( n 2) (n 1)n3

24、an33 (3n 2)( n1)n 2( n 3) (n 2)(n 1)La13n 1 2 3L L (n 2) ( n 1) n 21 2 L L (n 3) (n 2) ( n 1)n ( n1)n 12a13n ! 2n 1n (n 1)又 a15 ，所以數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 an53n! 22。注：本題還可綜合利用累乘法和對(duì)數(shù)變換法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。五、變性轉(zhuǎn)化法1、對(duì)數(shù)變換法適用于指數(shù)關(guān)系的遞推公式例 9已知數(shù)列 an 滿足 an 123nan5 ， a17 ，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?an 123na5n， a17 ，所以 an0， an 10 。兩邊取常用對(duì)數(shù)得lg

25、 an 15lg ann lg3lg 2設(shè) lg an 1 x(n1)y 5(lg anxny)（同類(lèi)型四）比較系數(shù)得，xlg3 , ylg3lg 24164由lg a1lg31lg3lg 2lg 7lg3 1lg3lg 20，得41644164lg anlg3 nlg3lg 20 ，4164所以數(shù)列 lg anlg3lg3lg 2lg3lg3lg 25 為公比的等4n16 是以 lg 7164為首項(xiàng)，以44比數(shù)列，則 lg anlg3 nlg3lg 2(lg 7lg3lg3lg 2)5n 1 ，因此41644164lg an (lg 7lg 3lg 3lg 2)5n1lg 3 n lg 3lg 24164464111n11lg(7343162 4 )5n1lg(3431624 )111n11lg(7343162 4 )5n1lg(34316 24 )lg(75 n 15 n4n15n 1131624)則 a75n 15n4 n 15n 1 13 162 4。n2、倒數(shù)變換法適用于分式關(guān)系的遞推公式，分子只有一項(xiàng)例 10 已知數(shù)列 an 滿足 an12an , a11 ，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。an2解：求倒數(shù)得111 ,111 ,11為等差數(shù)列，首項(xiàng)11，公an 12 anan 1an2an 1ana1差為