圖形與幾何的教學(二）

1、熊口&老新小數(shù)工作坊同備一節(jié)課 同上一節(jié)課圖形與幾何的教學（二） “方向與位置”教學內(nèi)容的整體分析一、課標對“圖形與位置”的教學要求：第一學段第二學段1、會用上、下、左、右、前、后描述物體的相對位置。2、給定東、南、西、北四個方向中的一個方向，能辨認其余三個方向，知道東北、西北、東南、西南四個方向，會用這些詞語描繪物體所在的位置。1、了解比例尺；在具體情境中，會按給定的比例尺進行圖上距離與實際距離的換算。2、能根據(jù)物體相對于參照點的方向和距離確定其位置。3、會描述簡單的路線圖。4、在具體情境中，能在方格紙上用數(shù)對（限于正整數(shù)）表示位置，知道數(shù)對與方格紙上點的對應(yīng)。從課標要求看，圖形與位

2、置的教學主要要求從方向與位置和比例尺兩個方面來進行，其實學習比例尺是為學習用經(jīng)緯法確定位置做準備，教材主要偏重于比例尺的學習，重點不在確定位置上。因此，我們今天主要分析方向與位置的內(nèi)容。二、教材對“方向與位置”內(nèi)容的編排第一學段第二學段冊別圖形與位置冊別圖形與位置一上·認識上下、前后、左右四上·在方格紙上用數(shù)對確定位置·描述簡單的路線圖一下四下二上五上二下·辨認東、南、西、北四個方向·了解東南、東北、西南、西北五下·根據(jù)方向和距離確定位置·自建參照系確定位置三上六上三下六下從梳理教材來看，教材主要主要安排了“認識方向”“描述

3、路線圖”“用數(shù)對確定位置”和“根據(jù)方向和距離確定位置”四個方面的內(nèi)容。對于課標和教材的安排，提出三個問題：1、數(shù)學中為什么要學習方向與位置？2、教材在小學階段為什么只安排這四個內(nèi)容？這四個內(nèi)容有怎樣的邏輯關(guān)系？3、方向與位置要教給學生什么？第一個問題：·數(shù)學中為什么要學習方向與位置？一、方向與位置建立了二維空間的幾何模型。先來看一段有關(guān)“數(shù)學中為什么學習方向”的對話：原杜郎口中學副校長、現(xiàn)在北京師范大學小學數(shù)學工作室研究員任景業(yè)老師問劉加霞教授：“東南西北是生活概念，為什么數(shù)學中要學呢？它的價值是什么？劉教授很認真地說：“價值可大了，結(jié)構(gòu)化呀？”劉教授接著說：“假如我們分不出東南西北

4、，走在大街上豈不像沒頭的蒼蠅到處瞎撞？有方向的劃分，我們就有了混沌初開的驚喜，才能使得出行和交流方便。將空間劃分為東南西北，就是將空間結(jié)構(gòu)化?！狈较蚪o空間以結(jié)構(gòu)，以某一物體為參照，把二維空間分成了四個部分；用數(shù)學的方法確定位置則讓平面中的每一個物體都有唯一的信息與之對應(yīng)?？梢赃@樣說，方向與位置建立起了二維空間的幾何模型，便于人們準確地找到平面中物體的位置，進行交流與應(yīng)用，進而深入地研究其變化規(guī)律。二、方向與位置滲透了數(shù)學的思想方法。 模型思想：結(jié)構(gòu)化、分類，尋找表示空間位置的一般方法。 符號思想：將物體的位置關(guān)系用簡潔的數(shù)字符號表示，便于比較和計算。總的說來，數(shù)學中學習方向與位置就是為了度量物

5、體的位置，研究物體位置之間的關(guān)系。 （史寧中，數(shù)學思想概論自然界中的模型）·教材在小學階段為什么只安排這四個內(nèi)容？這四個內(nèi)容有怎樣的邏輯關(guān)系？一、四個內(nèi)容的數(shù)學本質(zhì)是什么？1、上下、前后、左右是對一維空間物體位置關(guān)系的描述。 一維空間模型是一條線，線無曲直之分，關(guān)注的是這條線上兩點間的距離。如果規(guī)定了原點（參照點）、單位和方向，物體的位置關(guān)系則有了上下、前后、左右之別。2、東、南、西、北的本質(zhì)是建立平面直角坐標系；東南、東北、西南、西北則是描述平面直角坐標系中點的位置關(guān)系。 東、南、西、北以o為參照把平面空間分為了四部分，四個方向成了四個部分的分界線，本質(zhì)是建立平面直角坐標系。物體在

6、平面內(nèi)所處的位置關(guān)系則由四個分界和所轄區(qū)域來描述，東、南之間稱為東南；東、北之間稱為東北；西、南之間稱為 西南；西、北之間稱為西北。 3、確定位置的本質(zhì)是確定平面上點的位置。用方向和距離確定位置，需要選定參照點，確定一個方向，用角度確定平面上點方向，用距離表示與參照點的遠近，本質(zhì)是用極坐標表示點的位置。描述路線圖就是用極坐標表示物體的位置。用數(shù)對確定位置，需要選定一個參照點，用一個數(shù)表示與參照點水平方向的距離，用另一個數(shù)表示與參照點垂直方向的距離來確定平面上點的位置，本質(zhì)是在平面直角坐標系內(nèi)表示點的位置 (小學階段只研究平面直角坐標系的第一象限點的位置關(guān)系）。經(jīng)緯法確定位置的本質(zhì)也是直角坐標系

7、。用方向和距離確定平面上點的位置和用數(shù)對確定平面上點的位置雖然方法不同，體現(xiàn)了確定位置方法的多樣性，但是它們卻有著共同點：1、都要事先選定參照系（原點）。2、都要用兩個數(shù)表示確定的位置。用方向和距離確定位置：角度和距離；用數(shù)對表示位置：水平與原點的距離數(shù)和垂直與原點的距離數(shù)。（距離的確定需要用到單位長度，即，多長表示1。）二、四個內(nèi)容有著怎樣的邏輯關(guān)系？ ·上下、前后、左右表示了一維空間點的關(guān)系；四面八方建立了二維直角坐標系，方向和距離確定位置和數(shù)對確定位置，則是用數(shù)學的方法確定平面上點的位置關(guān)系，實現(xiàn)了點的位置關(guān)系的多樣化表征，數(shù)對（x,y)和極坐標(，）則是對位置的數(shù)學表達。 &

8、#183;四個內(nèi)容完整地建立了空間的幾何模型，能夠多角度、準確地描述平面中點的位置。實現(xiàn)了從一維空間向二維空間的跨越，發(fā)展了學生的空間觀念。 ·在研究空間模型的方法上，高維模型建立的方法則是以低維模型建立的方法為基礎(chǔ)進行的，低維模型的位置關(guān)系在高維模型中同樣適用。·方向與位置要教給學生什么？一、在具體情境中體會平面中方向與位置的確定需要參照物，初步體會位置的相對性。 二、用數(shù)學的方法確定平面上的位置需要兩個數(shù)。會用這兩個數(shù)描述物體的位置。 三、感受生活中確定位置的必要性，體會確定位置方法的發(fā)展過程，為學生將來直觀理解直角坐標系奠定基礎(chǔ)，發(fā)展空間觀念。 四、初步感知數(shù)學思想方

9、法在確定位置中所起的作用。三、具體內(nèi)容簡析（略）首先，我們來看上下、前后、左右是什么？人最初對生活的空間認識是可能混沌的，渾然一體的。比如，“路癡”就是如此，對方向的認識缺乏清晰的認識。為了更好地認識空間，需要對空間的結(jié)構(gòu)進行結(jié)構(gòu)化。從表中可以看出對圖形與位置的要求體現(xiàn)在兩個方面：1、會用參照物描述、表示物體的位置，比如：用方向和距離描述位置、用數(shù)對表示位置；2、理解位置的相對性，比如：上下的相對性、任意角度兩個物體的相對性等等。課標有了明確要求，教材的編排又是如何來體現(xiàn)這兩方面的呢？一、數(shù)學上為什么要學習方向與位置？原杜郎口中學副校長、現(xiàn)在北京師范大學小學數(shù)學工作室研究員任景業(yè)老師問劉加霞教授：“東南西北是生活概念，為什么數(shù)學中要學呢？它的價值是什么？劉教授很認真地說：“價值可大了，結(jié)構(gòu)化呀？”劉教授接著說：“假如我們分不出東南西北，走在大街上豈不像沒頭的蒼蠅到處瞎撞？有方向的劃分，我們就有了混沌初開的驚喜，才能使得出