一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系各種類型題及訓(xùn)練(共15頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用例析及訓(xùn)練一、根據(jù)判別式，討論一元二次方程的根。例1：已知關(guān)于的方程（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且關(guān)于的方程（2）沒有實(shí)數(shù)根，問取什么整數(shù)時(shí)，方程（1）有整數(shù)解？分析：在同時(shí)滿足方程（1），（2）條件的的取值范圍中篩選符合條件的的整數(shù)值。   解：方程（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，        解得；        方程（2）沒有實(shí)數(shù)根，   

2、0;              解得；       于是，同時(shí)滿足方程（1），（2）條件的的取值范圍是       其中，的整數(shù)值有或       當(dāng)時(shí)，方程（1）為，無整數(shù)根；       當(dāng)時(shí)，方程（1）為，有整數(shù)根。解得：  

3、;      所以，使方程（1）有整數(shù)根的的整數(shù)值是。總結(jié)：熟悉一元二次方程實(shí)數(shù)根存在條件是解答此題的基礎(chǔ)，正確確定的取值范圍，并依靠熟練的解不等式的基本技能和一定的邏輯推理，從而篩選出，這也正是解答本題的基本技巧。二、判別一元二次方程兩根的符號(hào)。例1：不解方程，判別方程兩根的符號(hào)。 分析：對(duì)于來說，往往二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)皆為已知，可據(jù)此求出根的判別式，但只能用于判定根的存在與否，若判定根的正負(fù)，則需要確定 或的正負(fù)情況。因此解答此題的關(guān)鍵是：既要求出判別式的值，又要確定 或的正負(fù)情況。解：，4×2×(7)650

4、 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。設(shè)方程的兩個(gè)根為， 0原方程有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根。 總結(jié)：判別根的符號(hào)，需要把“根的判別式”和“根與系數(shù)的關(guān)系”結(jié)合起來進(jìn)行確定，另外由于本題中0，所以可判定方程的根為一正一負(fù)；倘若0，仍需考慮的正負(fù)，方可判別方程是兩個(gè)正根還是兩個(gè)負(fù)根。三、已知一元二次方程的一個(gè)根，求出另一個(gè)根以及字母系數(shù)的值。 例2：已知方程的一個(gè)根為2，求另一個(gè)根及的值。 分析：此題通常有兩種解法：一是根據(jù)方程根的定義，把代入原方程，先求出的值，再通過解方程辦法求出另一個(gè)根；二是利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出另一個(gè)根及的值。解法一：把代入原方程，得： 即解得當(dāng)時(shí)，原方程均可化為：

5、，解得：方程的另一個(gè)根為4，的值為3或1。解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為，根據(jù)題意，利用韋達(dá)定理得：，把代入，可得：把代入，可得：，即解得方程的另一個(gè)根為4，的值為3或1。 總結(jié)：比較起來，解法二應(yīng)用了韋達(dá)定理，解答起來較為簡單。例3：已知方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩個(gè)根的平方和比兩根的積大21，求的值。 分析：本題若利用轉(zhuǎn)化的思想，將等量關(guān)系“兩個(gè)根的平方和比兩根的積大21”轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可求得的值。解：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根， 解這個(gè)不等式，得0 設(shè)方程兩根為 則，  整理得：解得：又， 總結(jié)：當(dāng)求出后，還需注意隱含條件，應(yīng)舍去不合題意的。 四、運(yùn)用判別式及根與系數(shù)的關(guān)系解題。&

6、#160;例5：已知、是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根，問和能否同號(hào)？若能同號(hào)，請(qǐng)求出相應(yīng)的的取值范圍；若不能同號(hào)，請(qǐng)總結(jié)理由， 解：因?yàn)殛P(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根，則有 又、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得：     假設(shè)、同號(hào)，則有兩種可能：   （1）        （2）若， 則有： ；即有：解這個(gè)不等式組，得時(shí)方程才有實(shí)樹根，此種情況不成立。     若 ， 

7、  則有：即有：解這個(gè)不等式組，得； 又，當(dāng)時(shí)，兩根能同號(hào)  總結(jié)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系深刻揭示了一元二次方程中根與系數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，是分析研究有關(guān)一元二次方程根的問題的重要工具，也是計(jì)算有關(guān)一元二次方程根的計(jì)算問題的重要工具。知識(shí)的運(yùn)用方法靈活多樣，是設(shè)計(jì)考察創(chuàng)新能力試題的良好載體，在中考中與此有聯(lián)系的試題出現(xiàn)頻率很高，應(yīng)是同學(xué)們重點(diǎn)練習(xí)的內(nèi)容。六、運(yùn)用一元二次方程根的意義及根與系數(shù)的關(guān)系解題。例：已知、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值。 分析：本題可充分運(yùn)用根的意義和根與系數(shù)的關(guān)系解題，應(yīng)摒棄常規(guī)的求根后，再帶入的方法，力求簡解。 解法一：由于是方程的

8、實(shí)數(shù)根，所以 設(shè)，與相加，得：）（變形目的是構(gòu)造和）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有：，于是，得： =0解法二：由于、是方程的實(shí)數(shù)根，    總結(jié)：既要熟悉問題的常規(guī)解法，也要隨時(shí)想到特殊的簡捷解法，是解題能力提高的重要標(biāo)志，是努力的方向。有關(guān)一元二次方程根的計(jì)算問題，當(dāng)根是無理數(shù)時(shí)，運(yùn)算將十分繁瑣，這時(shí)，如果方程的系數(shù)是有理數(shù)，利用根與系數(shù)的關(guān)系解題可起到化難為易、化繁為簡的作用。這類問題在解法上靈活多變，式子的變形具有創(chuàng)造性，重在考查能力，多年來一直受到命題老師的青睞。 七、運(yùn)用一元二次方程根的意義及判別式解題。例8：已知兩方程和至少有一個(gè)

9、相同的實(shí)數(shù)根，求這兩個(gè)方程的四個(gè)實(shí)數(shù)根的乘積。分析：當(dāng)設(shè)兩方程的相同根為時(shí)，根據(jù)根的意義，可以構(gòu)成關(guān)于和的二元方程組，得解后再由根與系數(shù)的關(guān)系求值。 解：設(shè)兩方程的相同根為，  根據(jù)根的意義，           有                       

10、0;      兩式相減，得    當(dāng)時(shí)， ，方程的判別式                      方程無實(shí)數(shù)解           當(dāng)時(shí)， 有實(shí)數(shù)解       &#

11、160;     代入原方程，得，           所以            于是，兩方程至少有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，4個(gè)實(shí)數(shù)根的相乘積為         總結(jié)：（1）本題的易錯(cuò)點(diǎn)為忽略對(duì)的討論和判別式的作用，常常除了犯有默認(rèn)的錯(cuò)誤，甚至還會(huì)得出并不存在的解：當(dāng)時(shí)，兩

12、方程相同，方程的另一根也相同，所以4個(gè)根的相乘積為：； （2）既然本題是討論一元二次方程的實(shí)根問題，就應(yīng)首先確定方程有實(shí)根的條件：        且另外還應(yīng)注意：求得的的值必須滿足這兩個(gè)不等式才有意義?！境脽岽蜩F】一、填空題：1、如果關(guān)于的方程的兩根之差為2，那么           。 2、已知關(guān)于的一元二次方程兩根互為倒數(shù)，則      。3、已知關(guān)于的

13、方程的兩根為，且，則         。 4、已知是方程的兩個(gè)根，那么：         ；       ；         。5、已知關(guān)于的一元二次方程的兩根為和，且，則        ；  

14、60;        。6、如果關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是，那么另一個(gè)根是           ，的值為           。7、已知是的一根，則另一根為       ，的值為       。8、一個(gè)一元二

15、次方程的兩個(gè)根是和，那么這個(gè)一元二次方程為：         。二、求值題： 1、已知是方程的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求的值。2、已知是方程的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求的值。3、已知是方程的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求的值。4、已知兩數(shù)的和等于6，這兩數(shù)的積是4，求這兩數(shù)。5、已知關(guān)于x的方程的兩根滿足關(guān)系式，求的值及方程的兩個(gè)根。6、已知方程和有一個(gè)相同的根，求的值及這個(gè)相同的根。三、能力提升題：1、實(shí)數(shù)在什么范圍取值時(shí)，方程有正的實(shí)數(shù)根？ 2、已知關(guān)于的一元二次方程 &#

16、160; （1）求證：無論取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。   （2）若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根、滿足，求的值。3、若，關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的正的實(shí)數(shù)根，求的值。4、是否存在實(shí)數(shù)，使關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根，滿足，如果存在，試求出所有滿足條件的的值，如果不存在，請(qǐng)總結(jié)理由。 5、已知關(guān)于的一元二次方程（）的兩實(shí)數(shù)根為，若，求的值。6、實(shí)數(shù)、分別滿足方程和，求代數(shù)式 的值。答案與提示：一、填空題：1、提示：， ，解得：2、提示：，由韋達(dá)定理得：，解得：，代入檢驗(yàn)，有意義，。3、提示：由于韋達(dá)定理得：，解得：。4、提示：由韋達(dá)定理得：，

17、60;；由，可判定方程的兩根異號(hào)。有兩種情況：設(shè)0，0，則；設(shè)0，0，則。5、提示：由韋達(dá)定理得：，。6、提示：設(shè)，由韋達(dá)定理得：，解得：，即。7、提示：設(shè)，由韋達(dá)定理得：， 8、提示：設(shè)所求的一元二次方程為，那么，即；設(shè)所求的一元二次方程為：二、求值題：1、提示：由韋達(dá)定理得：， 2、提示：由韋達(dá)定理得：，3、提示：由韋達(dá)定理得：，  4、提示：設(shè)這兩個(gè)數(shù)為，于是有，因此可看作方程的兩根，即，所以可得方程：，解得：，所以所求的兩個(gè)數(shù)分別是，。5、提示：由韋達(dá)定理得，化簡得：；解得： ，；以下分兩種情況：當(dāng)時(shí)，組成方程組： ；解這個(gè)方程組得：；當(dāng)時(shí)，組成方程組：； 解這個(gè)方程組得： 6、提示：設(shè)和相同的根為，于是可得方程組：；得：，解這個(gè)方程得：；以下分兩種情況：（1）當(dāng)時(shí)，代入得；（2）當(dāng)時(shí)，代入得。所以和相同的根為，的值分別為，。三、能力提升題：1、提示：方程有正的實(shí)數(shù)根的條件必須同時(shí)具備：判別式0；0，0；于是可得不等式組：解這個(gè)不等式組得：12、提示：（1）的判別式0，所以無論