余弦定理新的證明探討

1、余弦定理新的證明探討摘 要余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，是解決數(shù)理學(xué)科和前沿科學(xué)領(lǐng)域中相關(guān)問題的一種有效的重要方法。它是代數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在解決三角問題、函數(shù)問題等方面發(fā)揮了重要的作用。國內(nèi)外有關(guān)余弦定理證明的探討和應(yīng)用及其推廣的研究非常多，涉及范圍很廣，說明了其重要性和應(yīng)用的廣泛性。國外對余弦定理的證明與應(yīng)用的研究主要是由于前沿科學(xué)領(lǐng)域及實際生活發(fā)展的需要，在教學(xué)中尋求新的證明探討涉及甚少，而國內(nèi)在尋求其新的證明探討與應(yīng)用方面的研究甚為廣泛。但余弦定理新的證明方法及推廣與應(yīng)用仍有值得研究的問題。比如：余弦定理通常用于求解三角函數(shù)問題，而其用途不僅僅限于此，如：余弦定理證明在數(shù)學(xué)

2、教學(xué)、數(shù)學(xué)分析、立體幾何中的應(yīng)用等。但是針對余弦定理在應(yīng)用中存在的局限性，是否能探究其新的證明方法，并將其做相應(yīng)的推廣來解決相關(guān)問題，擴(kuò)寬其應(yīng)用的范圍，使得在運(yùn)用余弦定理解決代數(shù)問題和幾何問題方面更加實用方便，這就是文章探討的問題所在，這樣的研究在國內(nèi)外相對較少?；谝延械挠嘞叶ɡ砣舾梢c(diǎn)的探討和應(yīng)用，本文在前人研究的基礎(chǔ)上，漫談了余弦定理的思想史略，探究余弦定理在代數(shù)與幾何中的新的證明，分別給出了不同形式的余弦定理新的證明方法，并對其做出了相應(yīng)的推廣，體現(xiàn)了其不同證明方法的新穎性和優(yōu)越性.關(guān)鍵詞：余弦定理；勾股定理；證明；定理；推論目 錄1 引言12 文獻(xiàn)綜述12.1國外研究現(xiàn)狀12.2國內(nèi)

3、研究現(xiàn)狀12.3國內(nèi)外研究現(xiàn)狀評價12.4提出的問題23 余弦定理的數(shù)學(xué)思想史略23.1三角學(xué)的確立與發(fā)展?fàn)顩r23.2余弦定理的由來24 余弦定理及其新的證明34.1關(guān)于余弦定理的注記34.2余弦定理新的證明54.2.1從幾何角度直觀證明余弦定理54.2.2角余弦定理的證明與應(yīng)用74.2.3證明余弦定理又一方法94.2.4立體幾何的余弦定理及其證明104.2.5 n維余弦定理的新證明135 總結(jié)155.1 主要發(fā)現(xiàn)155.2 啟示155.3 局限性165.4 努力方向166 參考文獻(xiàn)161引言 余弦定理的證明及推廣應(yīng)用的發(fā)展歷程在三角函數(shù)、立體幾何等數(shù)學(xué)領(lǐng)域已經(jīng)凸顯出巨大的潛在價值，關(guān)于它的研

4、究，已有許多獨(dú)特而新穎的碩果。余弦定理通常應(yīng)用于三角問題、函數(shù)問題、幾何問題及數(shù)理天文學(xué)問題等方面的求解，國內(nèi)和國外的研究各有其獨(dú)到之處?，F(xiàn)有對余弦定理的證明方法的探討及推廣應(yīng)用，體現(xiàn)了其重要性和應(yīng)用的廣泛性，如：余弦定理證明在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)分析、立體幾何中的應(yīng)用等等。但是針對余弦定理在應(yīng)用中存在的局限性，是否能探究余弦定理的新的證明方法，并將其做相應(yīng)的推廣應(yīng)用來解決相關(guān)問題，這樣的研究值得深入探究.基于對已有的余弦定理若干要點(diǎn)的探討和應(yīng)用，本文在前人研究的基礎(chǔ)上，漫談了余弦定理的思想史略，探究余弦定理在代數(shù)與幾何中的新的證明，分別給出了不同形式的余弦定理新的證明方法，并對其做出了相應(yīng)的推

5、廣應(yīng)用，體現(xiàn)了其證明與應(yīng)用的新穎性和優(yōu)越性.2 文獻(xiàn)綜述 2.1國外研究現(xiàn)狀 國外對余弦定理的研究主要是應(yīng)用于解決數(shù)理天文學(xué)和其他學(xué)科如測量學(xué)與地理學(xué)方面的問題，而在教學(xué)上探討新的證明則很少涉及 .天文學(xué)家阿爾.巴塔尼的天文論著（又名星的科學(xué)）被普拉托譯成拉丁文后，在歐洲廣為流傳，哥白尼、第谷、開普勒、伽利略等人都利用和參考了它的成果.在該書中阿爾.巴塔尼創(chuàng)立了系統(tǒng)的三角學(xué)術(shù)語，如正弦、余弦、正切、余切；發(fā)現(xiàn)球面三角形余弦定理，繼而為平面三角形的重要定理 正弦定理和余弦定理的發(fā)現(xiàn)奠定了基礎(chǔ)，其證明的思想方法具有一定新穎性,值得借鑒. 2.2國內(nèi)研究現(xiàn)狀 國內(nèi)有關(guān)余弦定理的理論從國外引進(jìn)，在立體

6、幾何、雙曲平面上以及現(xiàn)實生活中發(fā)揮了重要的作用，國內(nèi)余弦定理很少談及學(xué)科領(lǐng)域的相關(guān)證明問題，但相關(guān)的應(yīng)用有一定發(fā)展。 如：王書在其編寫的數(shù)學(xué)解題方法與技能中較詳細(xì)地闡述了利用三角法進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘方計算，先把復(fù)數(shù)寫成三角函數(shù)式后，角按公式（n是正整數(shù)）計算比較容易；劉鴻坤、曾容、李大元等編著的中、美歷屆數(shù)學(xué)競賽試題精編第三十二屆美國中學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題（1981年）中的第24題的應(yīng)用，將超越方程利用三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)形式求解，說明了余弦定理在數(shù)理學(xué)科領(lǐng)域的重要性.2.3國內(nèi)外研究現(xiàn)狀的評價 上述文獻(xiàn)中已給出了余弦定理相關(guān)的探討和應(yīng)用，說明了余弦定理的重要性和應(yīng)用的廣泛性，但其還有值得研究的空間和余地

7、. 在余弦定理證明與應(yīng)用方面的研究國內(nèi)相對于國外的研究較廣泛,而且很多研究問題及結(jié)論有很好的借鑒價值,可以作為研究的理論基礎(chǔ)；而國外,更多的研究主要在于將余弦定理應(yīng)用于解決前沿學(xué)科（如數(shù)理天文學(xué)、歷法、航海等）的問題.但在學(xué)科領(lǐng)域的不同方面能否得到余弦定理的不同的新的證明方法，從而提高余弦定理在理論研究中的有效性，這方面的研究較少.2.4提出問題鑒于國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀，一般的余弦定理的證明不僅只能解決前沿學(xué)科中的數(shù)理問題，而且該定理在證明運(yùn)用中有一定的局限性，那么能否弱化余弦定理的局限性，拓寬余弦定理的證明方法的范圍，或者將余弦定理新的證明進(jìn)行推廣對教學(xué)方法的啟示，從而體現(xiàn)余弦定理新的證明的優(yōu)越

8、性和應(yīng)用的廣泛性，本文針對此類問題作詳細(xì)探討.3 余弦定理的數(shù)學(xué)思想史略3.1三角學(xué)的確立和發(fā)展概況“三角學(xué)”原意是三角形測量,也就是解三角形，這是三角學(xué)的基本問題之一.后來范圍逐漸擴(kuò)大, 發(fā)展為研究三角函數(shù)及其應(yīng)用的一個數(shù)學(xué)科目.三角學(xué)的發(fā)展和天文學(xué)、幾何學(xué)有著不可分割的關(guān)系，國外對三角學(xué)的研究的起源是計算數(shù)理天文學(xué)方面的精確問題。而正、余弦定理是三角學(xué)建立的基礎(chǔ)，三角學(xué)的確立是以正、余弦定理為標(biāo)志，因為三角學(xué)是尋求邊與角的關(guān)系來解決三角問題, 正、余弦定理正是把邊與角建立起聯(lián)系.三角學(xué)的發(fā)展經(jīng)歷從脫離天文學(xué)而獨(dú)立，到以歐拉的無窮小分析引論為代表的過程，標(biāo)志著三角學(xué)從研究三角形解法進(jìn)一步轉(zhuǎn)變

9、為研究三角函數(shù)及其應(yīng)用的一個分析學(xué)的分支。 希臘三角學(xué)起源于天文學(xué)的定量研究,由于球面幾何方面的研究的需要，從而球面三角學(xué)便開始萌芽。隨著生產(chǎn)不斷進(jìn)步,為了修訂歷法、航海和研究地理, 需要建立定量的天文學(xué), 便產(chǎn)生了三角學(xué)的雛形. 其代表人物有希帕克、托勒密和梅內(nèi)勞斯, 在梅內(nèi)勞斯時期達(dá)到頂峰. 由于數(shù)理天文學(xué)的需要，阿拉伯人繼承并推進(jìn)了希臘的三角術(shù)，其學(xué)術(shù)主要來源于印度的蘇利耶歷數(shù)全書等天文歷表，以及希臘希臘托勒玫的大成、梅內(nèi)勞斯的球面學(xué)等古典著作。阿拉伯三角學(xué)是在印度天文名著的基礎(chǔ)上發(fā)展的, 揭示了三角量的性質(zhì)及其關(guān)系, 給出了平面三角形和球面三角形的全部解法, 并制造了一系列的三角函數(shù)表

10、.三角學(xué)通過阿拉伯學(xué)家的工作逐漸從天文學(xué)中分化出來發(fā)展成為一門獨(dú)立的學(xué)科。其主要的代表人物有阿爾.哈巴士、阿爾.巴塔尼、阿布爾.威發(fā)、阿爾.畢魯尼和納速.拉丁歐洲三角學(xué)是在阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家納速.拉丁論四邊形著作的基礎(chǔ)上研究的, 將平面三角、球面幾何和球面三角有機(jī)地結(jié)合起來, 制定更精確的三角函數(shù)表,以至于我們現(xiàn)今仍在使用, 使三角學(xué)進(jìn)一步系統(tǒng)化, 成為一個獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支, 從而確立了三角學(xué). 由此, 三角學(xué)在天文學(xué)及其他學(xué)科如測量學(xué)方面得到廣泛的應(yīng)用. 其代表人物有雷基奧蒙坦、雷提卡斯、韋達(dá).3.2 余弦定理的由來 平面三角的余弦定理是在歐幾里得的原本中間接地提出來,平面三角的余弦定理的確立和運(yùn)用

11、是隨航海學(xué)和地理學(xué)的發(fā)展, 而平面三角學(xué)是在球面三角學(xué)的研究的基礎(chǔ)上提出的。隨著測量耕種土地的面積、測量長度與測量方位及歷法和航海發(fā)展等實際的需要，希臘三角學(xué)（球面三角學(xué)）中包括平面三角的基礎(chǔ)內(nèi)容, 平面三角的重要定理正弦定理和余弦定理在此條件下產(chǎn)生.其數(shù)學(xué)思想方法和思路如下: 圖 1分析：如圖1，ABC三邊CB、CA、AB長度為a、b、c，首先將斜三角形分割成兩個直角三角形,再由勾股定理即可證得余弦定理.證明：在和中，根據(jù)勾股定理 ， 即 (1) 在中， (2)將（2）帶入（1）中，.阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾.巴塔尼在進(jìn)行球面三角研究過程中, 利用平面三角的知識來證明球面余弦定理, 他的方法是通過作

12、出斜三角形某一個邊上的高之后, 將問題轉(zhuǎn)化為求直角三角形的解,他研究出余弦定理的結(jié)果應(yīng)用到證明球面三角邊的余弦定理.十五世紀(jì)前葉，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾.卡西給出了平面三角的余弦定理的下述形式:.韋達(dá)在1593年給出了平面三角的余弦定理的下述形式:.期內(nèi)爾在1627年給出了平面三角的余弦定理的下述形式:4余弦定理及其新的證明 4.1關(guān)于余弦定理的注記余弦定理的證明是運(yùn)用“向量相乘”的方法進(jìn)行的，其可化復(fù)雜為簡便，其是向量式與數(shù)量式之間相互轉(zhuǎn)化的常用方法。余弦定理的結(jié)論及其證明如下： 在ABC中，AB、BC、CA的長為c、a、b，第一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去另外兩邊的2倍乘第一邊對角的余弦.如

13、. 圖 2分析：因為,所以可從以下兩方向入手，證明余弦定理并得其推論.定理：，由此可推出余弦定理， 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積得兩倍。即.證明：推論:,可推出平面三角的射影定理，即 . 證明：余弦定理可解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：一類是已知兩邊和它們的夾角，求解三角形；另一類是已知三邊，求解三角形。已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，因為它不滿足三角形全等的條件，故可能有兩解、一解、甚至無解，用正弦定理求解心里不踏實；用余弦定理求解則只要看相應(yīng)的一元二次方程是否有兩正數(shù)解、一正數(shù)解或無正數(shù)解即可。4.2余弦定理新的證明 余弦定理可以用于求值、求角或角

14、的范圍、用于化簡、判斷三角形的形狀、用于證明三角不等式、用于研究函數(shù)的性質(zhì)或用于研究函數(shù)的最值等等。4.2.1從幾何角度直觀證明余弦定理 在平面三角形中, 對于余弦定理這樣的基本結(jié)果, 我們總是能夠從不同的角度來理解它, 下面我們從幾何的角度給出該定理的幾個直觀證明. 方法一：應(yīng)用勾股定理證明. 圖 3 圖 4 分析： 此證明方法直接由坐標(biāo)法的證明演化而來. 證明一： 在中,AC=b、AB=c、BC=a(圖 3).,在中,根據(jù)勾股定理，整理得. 證明二：在中，AC=b,(圖 4).在中，根據(jù)勾股定理，整理得.方法二：應(yīng)用Ptolemy定理證明.分析：圓內(nèi)接四邊形的兩組對邊乘積之和等于兩對角線的

15、乘積, 這就是有名的Ptolemy定理，即.以下用Ptolemy定理來證明余弦定理. 圖 5 證明：在ABC的外接圓里,取，,則又,根據(jù)Ptolemy定理 即 方法三：應(yīng)用圓冪定理證明. 圖 6 圖 7分析：如圖6和圖7,以B為圓心,以a為半徑畫圓,則有.其中圓的半徑為a，AB=c，AC=b. 證明一：在圖6里,AD=a+c,AE=a-c,AF=CF-CA=2acosC-b，根據(jù)即 證明二：在圖7里, AD=c+a,AE=c-a 根據(jù)4.2.2角余弦定理的證明與應(yīng)用 角勾股定理與角余弦定理是勾股定理和余弦定理與之相對應(yīng)的角形式，它們有著廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)給出如下證明與應(yīng)用舉例： 定理1：若A、B、

16、C構(gòu)成一個三角形的三個內(nèi)角，則 （4）證明：在中,設(shè)所對的邊為a、b、c. 余弦定理為 (5) 根據(jù)“正弦定理”，有a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC (6) (6)分別代入5）， 即，證畢.（4）的其余二式同理可證. 引伸：當(dāng)上述公式中的A、B、C為任意角時, 應(yīng)用誘導(dǎo)公式化為銳角的三角函數(shù),若滿足條件:，定理仍成立。由定理2和引伸,我們又有如下的推論: 推論1：若，則.證明：已知，只需證明即可能構(gòu)成三角形的三個角, 由定理2和引伸知推論1 成立.推論2：若，則證明：已知， 只需證明 能構(gòu)成三角形的三個角, 推論2成立.例 1，化簡 解：由推論2，得 原式=定理2： 若A、

17、B、C構(gòu)成三角形的三內(nèi)角，則： （7）. 證明：設(shè)M= N=易得：M+N= M-N= 即定理2的其余二式同理可證明. 例 2，在銳角ABC中,求A角的范圍. 解： 根據(jù)定理2，得即 ，故A的范圍是 例 3，在ABC中，,判斷ABC的形狀 解：根據(jù)定理2，有又ABC是直角三角形. 小結(jié)：上述所選的問題, 若用常規(guī)解法需要用到和角公式, 倍角公式和和差化積或積化和差公式以及復(fù)雜的恒等變形才能完成, 顯然利用“ 角勾股定理和角余弦定理”對這類較難的間題迎刃而解, 真是柳暗花明又一村。4.2.3證明余弦定理又一方法 利用向量統(tǒng)一證明正、余弦定理的方法如下： 圖 8分析：如圖8, 在中, a, b, c

18、 分別是所對的邊, 以三角形外接圓的圓心O為原點(diǎn),半徑OA所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)外接圓的半徑長為R,于是A點(diǎn)坐標(biāo)為(R,0).由三角函數(shù)的定義得B點(diǎn)坐標(biāo)是,而，故B點(diǎn)坐標(biāo)為.同理C點(diǎn)坐標(biāo)為；而,故C點(diǎn)坐標(biāo)為. 正弦定理的證明：又 余弦定理的證明：而同理可得 又由數(shù)量積的定義可知: 小結(jié)：此法不但體現(xiàn)了正弦定理的比值常數(shù), 而且反映了正弦定理與余弦定理的相互依存性.正弦定理與余弦定理之間的聯(lián)系真是千絲萬縷!4.2.4立體幾何的余弦定理及其證明設(shè)D-ABC是一個任意的四面體(圖9),不失一般性,取四面體的底面ABC 為空間坐標(biāo)的XOY平面,取過頂點(diǎn)D的高OD為Z軸.取OA為X軸.這樣一

19、來,可以設(shè)四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為. 圖 9 分析：用表示與頂點(diǎn)D相對的側(cè)面ABC及其面積;同理,其它的三個側(cè)面及其面積用來表示.由向量的向量乘積的性質(zhì)可知,向量.將稱為Sd 的法向量,記作.因為,所以有 （1）由向量乘積定義可知: （2）同理可計算面的法向量 , 因為所以由可得： （3） （4）因為, 所以有的法向量為： （5） （6）因為，所以有的法向量為 (7) (8) 由向量的數(shù)量乘積的定義, 其中表示側(cè)面和形成的二面角.因此有： （9） （10） （11） 立體幾何的余弦定理：對任意的四面體D-ABC,有 （12） 證明：利用關(guān)系式(4)、(6)和(8) (11),有當(dāng)四面體的四個側(cè)面中

20、,有三個側(cè)面( 如)兩兩互相垂直時, 稱這樣的四面體為直角四面體.在直角四面體中,那個不與其它側(cè)面垂直的側(cè)面()稱為斜側(cè)面.由于直角四面體中有三個二面角為, 所以cos <a|b> = cos<b|c> = cos <c|a> = 0. 4.2.5 n維余弦定理的新證明 設(shè)V是n維向量空間,對V中任意k個有序向量,它們的外積記為,稱之為k重向量。所有k重向量在形式上作線性擴(kuò)張所得到的空間記為，是一個維向量空間。設(shè)表示實數(shù)系, 記則G(V)是一個維的向量空間。G(V)連同G(V)上的外積“”運(yùn)算稱為V上的Grassmann代數(shù)。 定義1：兩個k重向量a =與b

21、=的內(nèi)積定義為: (1)k重向量=的模定義為 定義2：由兩個k重向量所確定的兩個k維超平面之間的夾角為:. (2) 引理1: 設(shè)是n維歐氏空間中的k維單形, 記向量, 則有: ( 3)其中是單形的k維體積。 下面應(yīng)用上述Grassmann代數(shù)基本知識可簡捷地證得n維余弦定理,即: 定理1:設(shè)是的中的n維單形。頂點(diǎn)所對側(cè)面的面積為,任意兩側(cè)面 與所成內(nèi)二面角為 , 則有 （4） 證明：不失一般性,不妨設(shè)l=0記 n-1維單形過頂點(diǎn)的諸棱所成的向量為: 由引理1，有： (5)記n-1重向量則： （6）由引理1及定義2,有: （7） （8）由( 5)、( 7)、( 8)三式得: 故公式(4)對l=0成立,同理可證(4)式對l= 1,2,.,n皆成立。定理1證畢。5總結(jié)5.1 主要發(fā)現(xiàn)本文從不同角度探究、驗證了余弦定理的不同證明方法，列舉了其運(yùn)用在化簡求值、證明三角不等式、研究函數(shù)的性質(zhì)或用于研究函數(shù)的最值等方面的簡潔美，弱化原有余弦定理證明方法的局限性，給出了其相應(yīng)的推廣及定理，拓寬了余弦定理的運(yùn)用范圍，使得在處理三角、函數(shù)等問題時更加方便實用，從而體現(xiàn)余弦定理無論在證明上還是在化簡求值等方面都有其新穎性和優(yōu)越性.5.2 啟示 通過探討余弦定理及其推廣，體現(xiàn)了一定的優(yōu)越性和實用性。問題是若能將余弦定理引到其它數(shù)學(xué)分支中做應(yīng)用，如：針對運(yùn)籌學(xué)中的最優(yōu)線性模型的相關(guān)問