2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章參數(shù)方程二2雙曲線的參數(shù)方程3拋物線的參數(shù)方程教學(xué)

1、2.3.雙曲線的參數(shù)方程拋物線的參數(shù)方程1.雙曲線的參數(shù)方程n3n參數(shù)0的取值范圍為0 0,2n)且0工2，0工2中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 y 軸上的雙曲線爲(wèi)-令=1 的參數(shù)方程是btan0，a by=asec0-2.拋物線的參數(shù)方程2x= 2pt,(1) 拋物線y= 2px的參數(shù)方程為t Ry= 2pt(2) 參數(shù)t的幾何意義是拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù).對(duì)應(yīng)學(xué)生用書 P25cm雙曲線、拋物線參數(shù)方程的基本問題x=2(3tana ,例 1 雙曲線 Y(a為參數(shù))的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 _,y=6secax = tant,(2)將方程$ = 1 cos 2t化為普通方程是 _/ = 1

2、+ cos 2t思路點(diǎn)撥(1)可先將方程化為普通方程求解;(2)利用代入法消去t.x=2tana ,解析(1)將彳$ =6seca可知雙曲線焦點(diǎn)在y軸，且c=t36+ 12= 4 寸 3, 故焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,43).中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線x ya2-b2=i 的參數(shù)方程是x=asecy=btan0,0規(guī)定2 2化為y6x=1,22,1 cos 2t2sint由y= 1 + cos 2t=2cos2t將 tant=x代入上式，得y=x2,即為所求方程.答案(1)(0 ,4.3); (2)y=x2.方法規(guī)律小結(jié)-*(1)解決此類問題要熟練掌握雙曲線與拋物線的參數(shù)方程，特別是將參數(shù)方程化為

3、普通方程，還要明確參數(shù)的意義.(2)對(duì)雙曲線的參數(shù)方程，如果x對(duì)應(yīng)的參數(shù)形式是 sec $ ,則焦點(diǎn)在x軸上；如果y對(duì)應(yīng)的參數(shù)形式是 sec $ ,則焦點(diǎn)在y軸上.x=sec0 ,1如果雙曲線*(0為參數(shù))上一點(diǎn)P到它的右焦點(diǎn)的距離是 8,那么Py=6ta n0到它的左焦點(diǎn)距離是_ .解析：由雙曲線參數(shù)方程可知a= 1,故P到它左焦點(diǎn)的距離|PF= 10 或 IPF= 6.答案：10 或 6y= 2t,2.過(guò)拋物線2(t為參數(shù))的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(X1,y1),B(X2,y2)兩點(diǎn)，|x=t如果x2+X2= 6.則 |AE| =2例 2 連結(jié)原點(diǎn)O和拋物線 2y=x上的動(dòng)點(diǎn)M延長(zhǎng)OM到P

4、點(diǎn)，使|OM=IMP,求P點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明它是何曲線.思路點(diǎn)撥由條件可知，M點(diǎn)是線段OP的中點(diǎn)，禾 U 用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出點(diǎn)P的軌 跡方程，再判斷曲線類型.解 設(shè)M(x、y)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，Rxo,yo)在OM的延長(zhǎng)線上，且M為線段OP的中tan2t,3IAE| =X1+X2+p= 8.答案：8解析：化為普通方程是:2y2x=:即y= 4X,.p= 2.MS1雙曲線、拋物線參數(shù)方程的應(yīng)用4x= 2t,Xo= 4t,點(diǎn)，拋物線的參數(shù)方程為2用中點(diǎn)公式得2y= 2tyo= 4t.1I 99變形為yo= 4x0,即卩P點(diǎn)的軌跡方程為x= 4y.表示拋物線.方法規(guī)律小結(jié)*在求曲線的軌跡和研究曲

5、線及方程的相關(guān)問題時(shí)，常根據(jù)需要引入一個(gè)中間變量即參數(shù)（將x,y表示成關(guān)于參數(shù)的函數(shù)），這種方法是參數(shù)法，而涉及曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，可根 據(jù)曲線的參數(shù)方程表示點(diǎn)的坐標(biāo).卜 ”3設(shè)P為等軸雙曲線x2y2= 1 上的一點(diǎn)，F(xiàn)i和F2為兩個(gè)焦點(diǎn)，證明：|FiP|F?P| = iop2.=(sec0 +2)2+tan20(sec0 , 2)2+tan20=(sec20 +2 2sec0 +2+tan20)(sec20 2 2sec0 +2+tan20)=(2sec0 +1)2( 2sec0 1)2 2=(2sec0 1).2 2 2 2又 |OP=sec0 +tan0 =2sec0 1,2由此得 |F

6、1PIIF2PI = |OP對(duì)應(yīng)學(xué)生用書 P26、選擇題x=t2 1,1.曲線(t為參數(shù))的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()ly= 2t+1A. (1,0)B. (0,1)C. ( 1,0)D. (0， 1)證明：如圖，設(shè)雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)為P（x,y）,F2（2, 0），雙曲線的參數(shù)方程為2則：(|FiPIF2PI)x= secy= tan5解析：將參數(shù)方程化為普通方程（y 1）3= 4（x+ 1），該曲線為拋物線y2= 4x向左、向上 各平移一個(gè)單位得到，所以焦點(diǎn)為（0,1） 答案：B32D. 9x+16y=1(yz0)解析：由題意知a= 4,b= 3，可得c= 5,故F1( 5,0) ,F2(5,0),2 已

7、知某條曲線的參數(shù)方程為（其中a是參數(shù)），則該曲線是y=2aa6（ ）A 線段C.雙曲線解析：將所給參數(shù)方程的兩式平方后相減，得x2-y2= 1.1 1并且由 |x| = |a+| 1,得x1或xw 1,2a從而易知結(jié)果.答案：CVttx= e + e ,3方程t t(t為參數(shù))的圖形是()ly = e eA 雙曲線左支B.雙曲線右支C.雙曲線上支D.雙曲線下支解析：x2y2=e21+2+e2t(e2t2+e21)=4.且x=et+et2. etet=2.表示雙曲線的右支.答案：Bx=4sec0 ,4.P為雙曲線(0為參數(shù))上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，則y=3tan0F1PF重心的軌跡方

8、程是()2 2A. 9x16y=16(yz0)B. 9x2+16y2=16(yz0)22C. 9x16y=1(yz0)B.圓D.圓的一部分7設(shè)P(4sec0, 3tan0)，重心M(x,y)，貝U5+5+4sec040+0+3tan0 x=3=3sec0,y=3=tan0.22從而有 9x 16y= 16(yz0).答案：A二、填空題5.已知?jiǎng)訄A方程x2+y2xsin 20+ 2 2 ysin(0+n) = 0(0為參數(shù)).則圓心的軌跡方程是_ .1x=sin 20 ,解析：圓心軌跡的參數(shù)方程為y 一佟 in0+才 Ix=sin0cos0 ,即 f消去參數(shù)得:y=0 +cos0I21 1y=

9、1 + 2x(產(chǎn)x0，焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為ly=2ptl，過(guò)拋物線上一點(diǎn)M作I的垂線，垂足為E若|EF= IMF，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是 3,貝U p=x= 2pt,2p6.雙曲線$=曲y=sec0為參數(shù)）的解析：將參數(shù)方程化為2x=13，設(shè)漸近線傾斜角為a，貝 U tan a =8解析：？y= 2px，焦點(diǎn) F*, 0 ,y= 2pt匕 J過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為N,由題意可知，MEF是正三角形，所以/MFN=60,在 RtMFN中,|FN= |MFcos 60 = 2?+ 2 ,，所以 3-2= 2 1P=2.答案：2三、解答題x=2pt2,&已知拋物線芒(t為參數(shù)，p 0)上的點(diǎn)M N對(duì)應(yīng)

10、的參數(shù)值為ti,t2,且y= 2ptt1+t2= 0 ,tit2=P?，求M N兩點(diǎn)間的距離.2 2解：由題知M N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2pt1, 2pti) , (2pt2, 2pt2), | MN=.2pt12pt22+/ pti2pt22=扣11 2pt2= 2p|1112I=2pt1+122 4tit2= 4p.故M N兩點(diǎn)間的距離為 4p2.9.已知圓O：x2+ (y 2)2= 1 上一點(diǎn)P與雙曲線x2y2= 1 上一點(diǎn)Q,求P, Q兩點(diǎn)距 離的最小值.解：設(shè) Qsec0, tan0),在厶OQP中,|OP| = 1, |OP| + |PQIOQ.222又 |OQ=sec0 +(tan

11、0 2)2 2=(tan0 +1)+(tan0 4ta n0 +4)2=2tan0 4tan0 +52=2(tan0 1)+3.no當(dāng) tan0= 1,即0=匚時(shí),|OQ取最小值 3 , 此時(shí)有 |OQmin/3.-|PQmin=/3 1.10.過(guò)點(diǎn)A(1,0)的直線I與拋物線y2= 8x交于 MN兩點(diǎn)，求線段MN的中點(diǎn)的軌跡方程.9x 8t2解：法一：設(shè)拋物線的參數(shù)方程為|y 8t8t2),又設(shè)MN的中點(diǎn)為P(x,y),t1+t2二kA=t1+12- 1，.22x=4t1+t2,又 Iyir+12,r222X1則y 16(t1+t2+ 2t1t2) 16( 4 4) 4(x- 1).所求軌跡方程為y2= 4(x- 1).法二：設(shè)M(x1,y1),N(X2, y2),2y1= 8x1,由M N在拋物線y 8x上知2y2 8x2,兩式相減得y1y2 8(X1X2),即(y1-y2)(y1+y2) 8(x1X2),y1-y2=8X1X2y1+ y設(shè)線