泰勒公式證明及應(yīng)用

1、泰勒公式及其應(yīng)用 佟梅(渤海大學(xué)數(shù)學(xué)系 遼寧 錦州 121000 中國(guó))摘要：數(shù)學(xué)是一門(mén)很重要的學(xué)科，許多的數(shù)學(xué)家研究出了各種定理、公式，并且都證實(shí)了它們的正確性，應(yīng)用這些定理公式解決了許多疑難問(wèn)題，泰勒公式就是其一。泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要公式，它在解決分析中的問(wèn)題時(shí)應(yīng)用廣泛、靈活，也是解決各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)強(qiáng)有力的工具之一，本文對(duì)泰勒公式進(jìn)行了簡(jiǎn)單的介紹，重點(diǎn)介紹了它的各種應(yīng)用，作了一個(gè)較系統(tǒng)和規(guī)律性的分析綜述。首先，介紹了泰勒定理及其幾種表示形式的泰勒公式，在后面的應(yīng)用中會(huì)應(yīng)用到。其次，就是本文的重點(diǎn)泰勒公式的應(yīng)用，介紹了九個(gè)方面，主要包括：研究級(jí)數(shù)和廣義積分的斂散性、利用泰勒公式

2、求極限、近似計(jì)算和誤差估計(jì)、確定和比較無(wú)窮小的階、證明不等式等等，通過(guò)許多的例題分析，體現(xiàn)出了泰勒公式在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的重要性和簡(jiǎn)潔性。關(guān)鍵詞：泰勒公式，極限，誤差估計(jì)，斂散性，不等式。Taylors formula and its applicationTong Mei(Department of Mathematics Bohai University，Liaoning Jinzhou 121000 China)Abstract: Mathematics is a very important discipline. Many mathematicians studied all kind

3、s of theorem and formula, proved their correctness, and applied them to solve a number of difficult problems. Taylor formula is one of them.Taylors formula is a important formula in mathematical analysis. It can be used widely and conveniently to solve the problems in analysis. In addition, it is on

4、e of powerful tools to solve all kinds of mathematics problems. This article provides a simple introduction to Taylors formula, emphasizes its various applications, and makes a systematic and inerratic analysis summary. Firstly, this article introduces the Taylor theorem and some Taylors formula of

5、different _expression forms, which will be applied later. Next, it is the emphasis of this article - the application of Taylors formula. Here nine aspects are introduced: studying the convergence and divergence of series and the improper integral, using the Taylors formnla to calculate limit, the ap

6、proximate calculation and error estimate, determining and comparing the order of infinitesimals, the application in theorem proof, proving inequality, and so on. Through many example analysis, the importance and conciseness of Taylors formula in solving mathematics questions are well illustrated. Ke

7、y Words: Taylors formula; limit; error estimate ;convergent or divergent; inequality.前言對(duì)于一些較復(fù)雜的函數(shù)，為了便于研究，往往希望用一些簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)近似表達(dá)，多項(xiàng)式就是非常簡(jiǎn)單的函數(shù)，只要對(duì)自變量進(jìn)行有限次加、減、乘三種算術(shù)運(yùn)算就能計(jì)算出函數(shù)值，因此我們希望用多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)函數(shù)，本文將介紹近似計(jì)算理論分析的一個(gè)重要內(nèi)容泰勒公式，并重點(diǎn)研究它的廣泛應(yīng)用。一、泰勒公式 若函數(shù)為次多項(xiàng)式 （1）逐次求它在處的各階導(dǎo)數(shù)，得 因而(1)式可寫(xiě)作 (2)由此可見(jiàn)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)由其各階導(dǎo)數(shù)值唯一確定，例如為了把多項(xiàng)

8、式表示成以為冪次的多項(xiàng)式，先要計(jì)算在處的各階導(dǎo)數(shù)。代入(2)式得到對(duì)于一般函數(shù)來(lái)說(shuō)，若存在直到階的導(dǎo)數(shù)，則按(2)式右端也能相應(yīng)地寫(xiě)出一個(gè)多項(xiàng)式。把這個(gè)多項(xiàng)式記作，那么與之間有些什么關(guān)系，正是下面泰勒(Taylor)定理所要回答的問(wèn)題。定理11 (Taylor定理)若函數(shù)滿足如下條件：(i)在開(kāi)區(qū)間上函數(shù)存在階連續(xù)導(dǎo)數(shù)；(ii)在閉區(qū)間內(nèi)存在的階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任何，至少存在一點(diǎn)，使得 (3) (3)式稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)處的階泰勒公式，=稱(chēng)為次泰勒多項(xiàng)式，=稱(chēng)為在處的泰勒公式余項(xiàng)。 （一）、帶拉格朗日(Lagrange)型余項(xiàng)的泰勒公式 當(dāng)時(shí)，定理1就是拉格朗日定理,因此，把 (4)稱(chēng)為階泰勒公式的拉格朗

9、日余項(xiàng)，(3)式稱(chēng)為帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式，也稱(chēng)為有限增量的泰勒公式，它研究函數(shù)在較大范圍內(nèi)的性質(zhì)，特別地，泰勒公式(3)在時(shí)，稱(chēng)為帶拉格朗日余項(xiàng)的馬克勞林(Maclaurin)公式，也就是 (5)其中，注記4 與拉格朗日中值定理那里的討論類(lèi)似，如果令，那么，于是拉格朗日型余項(xiàng)可以寫(xiě)成， ，（二）、帶有皮亞諾(Peano)型余項(xiàng)的泰勒公式 由于拉格朗日余項(xiàng)形式比較復(fù)雜，我們考慮用更簡(jiǎn)單的形式表示，若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則由有限增量公式有： (6)這說(shuō)明在點(diǎn)附近，函數(shù)可用一次多項(xiàng)式近似表示，其誤差為關(guān)于的高階無(wú)窮小量。又由泰勒定理1看到，若的階導(dǎo)數(shù)為上有界函數(shù)，則由(4)式有，即在點(diǎn)附近用的階泰勒多

10、項(xiàng)式近似表示時(shí)，其誤差為關(guān)于的高階無(wú)窮小量，從而越大近似的程度越高。下面定理將給出定理1較弱條件下，函數(shù)在點(diǎn)附近能用多項(xiàng)式來(lái)逼近的結(jié)論。定理2 若函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù)，且存在，則 其中 (7) 稱(chēng)為泰勒公式(7)的皮亞諾余項(xiàng)，(7)式稱(chēng)為帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式，因?yàn)?7)式是無(wú)窮小增量公式的推廣，所以也稱(chēng)帶小余項(xiàng)的泰勒公式3。特別地，當(dāng)時(shí)，我們稱(chēng)相應(yīng)的表達(dá)式為帶皮亞諾余項(xiàng)的馬克勞林公式或者帶小余項(xiàng)的馬克勞林公式。（三）、帶積分型余項(xiàng)的泰勒公式 利用分部積分法也能導(dǎo)出泰勒公式的余項(xiàng)的一種表示余項(xiàng)的積分表示3。定理3 設(shè)函數(shù)在區(qū)間有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則 (8)換句話說(shuō)，在這種情況下，泰勒公式的

11、余項(xiàng)表示為 (9)(8)式稱(chēng)為帶積分型余項(xiàng)的泰勒公式，(9)式稱(chēng)為積分形式的余項(xiàng)。特別地，當(dāng)時(shí)，我們稱(chēng)之為帶積分余項(xiàng)的馬克勞林公式：（四）、帶柯西型余項(xiàng)的泰勒公式 在定理3中，對(duì)余項(xiàng)用積分中值定理可得這種形式的余項(xiàng)稱(chēng)為柯西型余項(xiàng)，我們得到了帶柯西型余項(xiàng)的泰勒公式：，特別地，當(dāng)時(shí)，我們稱(chēng)之為帶柯西型余項(xiàng)的馬克勞林公式：二、泰勒公式的應(yīng)用（一）、用泰勒公式研究級(jí)數(shù)和廣義積分的斂散性1、級(jí)數(shù)的斂散性例1 判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性。分析 我們先從一個(gè)特殊的問(wèn)題說(shuō)起：判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性。注意到數(shù)列嚴(yán)格遞增趨于，而數(shù)列嚴(yán)格遞減趨于，因此有 由比較判別法可知收斂。這一方法是否具有普遍性？不妨再考慮的情況，此時(shí)

12、若仍采用上述“放大”方法，就有， 但是發(fā)散的，故得不出結(jié)果，若將“縮小”，同樣也得不出結(jié)果，看來(lái)，即使當(dāng)時(shí)上述方法也已碰到很大困難，更不用說(shuō)是對(duì)于的一般情況了。解決這一問(wèn)題的一個(gè)有效工具是利用帶Peano余項(xiàng)的泰勒公式：先將通項(xiàng)適當(dāng)展開(kāi)，再用等介量法或其他方法判斂，值得指出的是，初學(xué)者往往會(huì)疏忽或是不習(xí)慣使用泰勒公式，但事實(shí)上，在級(jí)數(shù)的判斂問(wèn)題中，泰勒公式是經(jīng)常用到的?；氐嚼?中，考慮從而得出，可見(jiàn)原級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散。泰勒公式在判斷任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散時(shí)同樣有十分重要的作用，我們不妨看下面的例子。例2 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性8。 ， 。分析 這兩個(gè)級(jí)數(shù)的項(xiàng)均正負(fù)交替出現(xiàn)，但前一個(gè)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)不具有

13、的規(guī)范形式，后一個(gè)的通項(xiàng)形式雖具有，但不具有單調(diào)性，故兩者都可考慮用泰勒公式。解 記，則有：當(dāng)時(shí)，條件收斂，而發(fā)散，故必定發(fā)散。當(dāng)時(shí)，條件收斂，而絕對(duì)收斂，故為條件收斂。當(dāng)時(shí)，與均為絕對(duì)收斂，故也絕對(duì)收斂?？紤]其余分析討論類(lèi)似于上一題。2、廣義積分的斂散性例3 問(wèn)：廣義積分收斂嗎？解 因此，由于積分發(fā)散，因此用比較判別法知原廣義積分發(fā)散。（二）、用泰勒公式確定和比較無(wú)窮小的階設(shè)在處階可導(dǎo)，且 ，或，所以當(dāng)時(shí)，是的階無(wú)窮小。例4 用泰勒公式確定時(shí)下列無(wú)窮小量是的幾階無(wú)窮小量？ ，。解 由有則故是的2階無(wú)窮小。因，故因而故為的5階無(wú)窮小。例5 試用泰勒公式確定常數(shù)和，使為有限值，并求此極限5。解

14、原式為使上述極限存在，當(dāng)且僅當(dāng)，這時(shí)原式（三）、用泰勒公式求的值若用間接法求得泰勒公式：由泰勒公式的唯一性得：例6 設(shè)，求。解 直接由的泰勒公式得 ，(比較的系數(shù)得：，所以。例7 設(shè)在原點(diǎn)的鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，且，求，并計(jì)算極限8。解 因而有即而（四）、近似計(jì)算及誤差估計(jì)1、函數(shù)值的近似計(jì)算 例8 求的近似值7。解 換算成弧度，如果用一階泰勒公式求的近似值，即誤差估計(jì)為：應(yīng)用三階泰勒公式求近似值的步驟如下：（i）選定函數(shù)，且求出；（ii）把分解為，要求在處易計(jì)算，且較??；（iii），其誤差為 ， (在與之間)。下面用三階泰勒公式計(jì)算，有誤差估計(jì)為。如果題目要求計(jì)算誤差不超過(guò)，應(yīng)當(dāng)先估計(jì)余項(xiàng)的上界

15、(10)取為何值時(shí)，能使誤差？為此，應(yīng)當(dāng)利用(10)解不等式，即。但是在一般情況下，解這種不等式比較麻煩，不如取適當(dāng)?shù)牡闹翟囼?yàn)一下，例如取時(shí)，這個(gè)精度已超過(guò)了要求，于是得到一個(gè)關(guān)于的誤差小于的近似值為：對(duì)于任意函數(shù)，如果在點(diǎn)有1到階的導(dǎo)數(shù)，則就可以寫(xiě)出在點(diǎn)的階泰勒多項(xiàng)式(2)，當(dāng)距不遠(yuǎn)時(shí)，就可以用該函數(shù)的泰勒多項(xiàng)式的值作為的近似值，當(dāng)確定之后，泰勒多項(xiàng)式的階數(shù)越高，這個(gè)近似值的精度越高。例9 計(jì)算數(shù)的近似值，使其誤差不超過(guò)，并證明數(shù)是無(wú)理數(shù)。解 ，其中介于0與之間，當(dāng)時(shí)，由于，當(dāng)時(shí)，于是由于上式兩端乘以，得：假設(shè)是有理數(shù)，設(shè)，(其中為整數(shù))，當(dāng)時(shí)，為整數(shù)，所以左端為整數(shù)，由于，因而右端當(dāng)時(shí)，為

16、非整數(shù)，矛盾，因此只能是無(wú)理數(shù)。2、某些定積分的近似計(jì)算例10 計(jì)算的值。解 例11 求積分的值。解 如上函數(shù)、，這些無(wú)法用通常積分求得積分值的函數(shù)，我們將被積函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，只須對(duì)各項(xiàng)式進(jìn)行積分，并且可使積分值達(dá)到很高的近似精度。(五)、用泰勒多項(xiàng)式逼近函數(shù)例12 在上用二次項(xiàng)式逼近函數(shù)，并估計(jì)誤差3。解 由于所以，當(dāng)時(shí)，誤差估計(jì)為：（六）、用泰勒公式求極限對(duì)于函數(shù)多項(xiàng)式或有理分式的極限問(wèn)題的計(jì)算是十分簡(jiǎn)單的，因此對(duì)一些較復(fù)雜的函數(shù)可以根據(jù)泰勒公式將原來(lái)較復(fù)雜的函數(shù)的極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為類(lèi)似多項(xiàng)式或有理公式的極限問(wèn)題，下面用例子說(shuō)明。例13 求。解 由泰勒公式于是：例14 求。解 由泰勒公式，

17、于是：用泰勒公式方法計(jì)算極限的實(shí)質(zhì)是一種利用等價(jià)無(wú)窮小的替代來(lái)計(jì)算極限的方法。我們知道：當(dāng)時(shí)，等。這種等價(jià)無(wú)窮小其實(shí)就是將函數(shù)用泰勒公式展至一次項(xiàng)。有些問(wèn)題用泰勒公式方法和我們已熟知的等價(jià)無(wú)窮小方法相結(jié)合，問(wèn)題又能進(jìn)一步簡(jiǎn)化。例15 求。解 原式 (11)若用羅比塔法則定相當(dāng)繁瑣的，下面用泰勒公式方法與等價(jià)無(wú)窮小方法相結(jié)合來(lái)考慮。由泰勒公式于是：將(11)式中分子上的用上式代，而分母的用代，這樣例16 求。解 由泰勒公式，于是在例16中，若用分別代替，顯然是不對(duì)的。運(yùn)用泰勒公式方法時(shí)需要注意的一個(gè)問(wèn)題是：將函數(shù)展開(kāi)至多少項(xiàng)才可以呢？其實(shí)從例題不難看出，只須展至分子及分母分別經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)后系數(shù)不為零

18、的階數(shù)即可。在討論當(dāng)自變量(或自變量的改變量)在不同極限過(guò)程中中值點(diǎn)的極限性態(tài)時(shí)，也可應(yīng)用泰勒公式。例17 數(shù)在內(nèi)階可導(dǎo)，且，記，證明：。分析 仍是要找出的表達(dá)式，為此，可將按兩種不同方式在點(diǎn)處展開(kāi)為泰勒公式，帶階Peano余項(xiàng)的泰勒公式和帶階Lagrange余項(xiàng)的泰勒公式，再對(duì)兩者進(jìn)行分析比較。證 在點(diǎn)處分別展成帶Peano余項(xiàng)和帶Lagrange余項(xiàng)的泰勒公式，有： 將兩式比較可得 （12）此外，對(duì)還可以展開(kāi)為帶Peano余項(xiàng)的泰勒公式，即有 （13）比較(12和(13)，又有由條件，從而得出：（七）、明含高階導(dǎo)函數(shù)的中值這命題類(lèi)題型的特點(diǎn)是已知函數(shù)可導(dǎo)的階數(shù)較高(常是二階或二階以上)，同

19、時(shí)還給出若干個(gè)已知點(diǎn)的函數(shù)值或?qū)?shù)值，常選已知函數(shù)值或一階導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)作為展開(kāi)點(diǎn)(這樣可使一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)消失)，然后再將已知函數(shù)值的各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入展開(kāi)式，進(jìn)行運(yùn)算，最后利用介值定理或零點(diǎn)定理證之。例18 在上次可微，且；證明：至少存在一點(diǎn)，使。證 由于 且由題意知，所以，取，有，因此有 。例19 設(shè)在上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，寫(xiě)出帶拉格朗日余項(xiàng)的一階馬克勞林公式。證明在上至少存在一點(diǎn)，使得。解 對(duì)，有，在與之間 對(duì)題中的等式積分有改寫(xiě)成 (13) 由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，令現(xiàn)估計(jì)(13)式右邊得即現(xiàn)由連續(xù)函數(shù)中間值定理得：，使(八)、應(yīng)用泰勒公式進(jìn)行某些定理的證明定理4 (極值的第二充分條件)：若是的駐點(diǎn)(

20、即)，且存在，則(i)當(dāng)時(shí)，為極小值。(ii)當(dāng)時(shí)，為極大值。證 由帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式知： 于是當(dāng)充分接近時(shí)，上式左邊的符號(hào)由右端的第一項(xiàng)決定，于是(i)當(dāng)時(shí)，即，所以為極小值。(ii)當(dāng)時(shí)，即，所以為極大值。定理5 (極值的第三充分條件)：設(shè)函數(shù)在含點(diǎn)的某個(gè)小區(qū)間內(nèi)有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而且，則(i)當(dāng)為偶數(shù)且時(shí)，在點(diǎn)有極大值，當(dāng)為偶數(shù)且時(shí)，在點(diǎn)有極小值。(ii)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，在點(diǎn)取不到極(大或小)值。證 根據(jù)泰勒公式，有又因?yàn)樵邳c(diǎn)連續(xù)，即，所以，且因此，于是，當(dāng)為偶數(shù)且充分接近時(shí)，與同符號(hào)(因?yàn)樯鲜接叶说姆?hào)取決于)，所以，當(dāng)時(shí)，即是極大值；當(dāng)時(shí)，即是極小值；而當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由于上式右端隨和而改變

21、符號(hào)，所以不是極值。（九）、用泰勒公式證明不等式不等式是數(shù)學(xué)分析的重要內(nèi)容之一，它涉及的問(wèn)題很多，應(yīng)用也十分廣泛，歷來(lái)受到重視，不等式的分析證明方法也多種多樣，很具有靈活性，有些還有相當(dāng)?shù)碾y度，因此初學(xué)者往往感到困難，其中泰勒公式是證明不等式的一種很重要的方法。1、估計(jì)泰勒公式余項(xiàng)法若已知帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式其中是拉格朗日型余項(xiàng)，估計(jì)，可得相應(yīng)的不等式。例20求證：。證由泰勒公式所以，評(píng)注不用泰勒公式，令也可，通過(guò)求導(dǎo)、判斷單調(diào)性來(lái)證明兩個(gè)不等式，但不如用泰勒公式簡(jiǎn)便，通過(guò)估計(jì)泰勒公式的余項(xiàng)求法來(lái)證明不等式是利用泰勒公式證明不等式的一種重要情形。2、由函數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)估計(jì)一階導(dǎo)數(shù)法例21設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù)，求證：，使。證明本題的條件與結(jié)論之間的聯(lián)系是要從函數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)導(dǎo)出一階函數(shù)的估計(jì)，能將函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)聯(lián)系在一起的唯有泰勒公式，要估計(jì)，自然考