二次根式的概念和性質(zhì).PPT

1、1二次根式二次根式1. 1.二次根式的概念二次根式的概念2 正數(shù)有正數(shù)有兩個(gè)兩個(gè)平方根且平方根且互為相反數(shù)互為相反數(shù)； 0 0有一個(gè)平方根就是它有一個(gè)平方根就是它0 0； 負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)沒有沒有平方根。平方根。1、平方根的性質(zhì)：、平方根的性質(zhì)：1、16的平方根是什么的平方根是什么?16的算術(shù)平方根是什么？的算術(shù)平方根是什么？2、0的平方根是什么？的平方根是什么？0的算術(shù)平方根是什么？的算術(shù)平方根是什么？3、7有沒有平方根？有沒有算術(shù)平方根？有沒有平方根？有沒有算術(shù)平方根？正數(shù)和正數(shù)和0都有算術(shù)平方根；負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根。都有算術(shù)平方根；負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根。3試一試試一試 ：說出下列各式的意義；116

2、,81,0,0.04;49觀察：觀察：上面幾個(gè)式子中，被開方數(shù)的特點(diǎn)？被開方數(shù)是非負(fù)數(shù) 2 2、 表示什么？表示什么？a表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根0:a即4a (a0)表示非負(fù)數(shù)表示非負(fù)數(shù) a 的算術(shù)平方根，的算術(shù)平方根， 形如形如 a (a0)的式子叫做的式子叫做二次根式二次根式。 它必須具備如下它必須具備如下特點(diǎn)特點(diǎn)： 1、根根指指數(shù)數(shù)為為 2； 2、被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)。、被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)。 想想一一想想： 1010 、 - -5 5 、3 38 8 5 5 3 3 、 ( (- -2 2) )2 2 a a (a(a0 0、a a2 2+0.1+0.1 、 - -a a (a(a0

3、0是不是二次根式？是不是二次根式？ 1. 1.二次根式的概念二次根式的概念5注意：注意：為了方便起見，我們把為了方便起見，我們把一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根也叫做二次根式。如也叫做二次根式。如13,2 是不是是不是二次根式二次根式?1a 思考：思考：不是不是,它是它是二次根式二次根式的代數(shù)式的代數(shù)式.定義：定義： 像像 , , 這樣表示的算術(shù)這樣表示的算術(shù)平方根，且根號(hào)內(nèi)含有字母的代數(shù)式叫做平方根，且根號(hào)內(nèi)含有字母的代數(shù)式叫做二二次根式。次根式。25002a3b s6(0).a a 形如的式子叫做二次根式2. a可以是數(shù)可以是數(shù),也可以是式也可以是式.3. 形式上含有二次根號(hào)形式上含有

4、二次根號(hào)4. a0, 0 a5.既可表示開方運(yùn)算既可表示開方運(yùn)算,也可表示運(yùn)算的結(jié)果也可表示運(yùn)算的結(jié)果.1.表示表示a的算術(shù)平方根的算術(shù)平方根( ( 雙重非負(fù)性雙重非負(fù)性) )7例例1 : 判斷判斷，下列各式中那些是二次根式？下列各式中那些是二次根式？,10a,a,2a,04. 0,5.83,04. 0,2a,a定義：式子定義：式子 叫做二次根式叫做二次根式. . )0( aa不要忽略不要忽略其中a叫做被開方式被開方式。8求下列二次根式中字母的取值范圍：求下列二次根式中字母的取值范圍： 11a a2112 233a求二次根式中字母的取值范圍的基本依據(jù)：求二次根式中字母的取值范圍的基本依據(jù)：被開

5、方數(shù)不小于零；被開方數(shù)不小于零；分母中有字母時(shí)，要保證分母不為零。分母中有字母時(shí)，要保證分母不為零。9練習(xí)：練習(xí)： x取何值時(shí)取何值時(shí),下列二次根式有意義下列二次根式有意義?xx3)2(1) 1 (1x0 x為全體實(shí)數(shù)x0 xxx1)4(4)3(23)5(x0 x21)6(x0 x求二次根式中字母的取值范圍的基本依據(jù)：求二次根式中字母的取值范圍的基本依據(jù)：被開方數(shù)大于等于零；被開方數(shù)大于等于零；分母中有字母時(shí)，要保證分母不為零。分母中有字母時(shí)，要保證分母不為零。12a 1(7)1 2a3(8)| 4xx10解：由解：由 x-10，得，得 x1。 問：問：將式子將式子 x-1 改為改為 1-x

6、，則字母，則字母 x 的取值必須的取值必須滿足什么條件呢？滿足什么條件呢？ 11解：由解：由 x x- -2 20 0，且，且 x x- -3 30, 0, 得得 x x2 2 且且 x x3 3。 想一想：想一想：一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根是 。 零的算術(shù)平方根是零的算術(shù)平方根是 。 負(fù)數(shù)有沒有算術(shù)平方根？負(fù)數(shù)有沒有算術(shù)平方根？ 正數(shù)正數(shù)0沒有沒有想一想：想一想： 假如把題目改為： 要使假如把題目改為： 要使x x- -2 2x x- -1 1 有意義，有意義，字母字母 x x 的取值必須滿足什么條件？的取值必須滿足什么條件？ x2x2 12題型題型:確定二次根式中被開方數(shù)所

7、含字母的取值范圍確定二次根式中被開方數(shù)所含字母的取值范圍.1.1. 當(dāng)當(dāng) _ _時(shí)，時(shí)， 有意義。有意義。xx3 3. 3.求下列二次根式中字母的取值范圍求下列二次根式中字母的取值范圍x x3 31 15 5x x解得解得 - 5x- 5x3 3解：解： 0 0 x x- -3 30 05 5x x說明：二次根式被開方數(shù)說明：二次根式被開方數(shù)不小于不小于0，所以求二次根，所以求二次根式中字母的取值范圍常轉(zhuǎn)式中字母的取值范圍常轉(zhuǎn)化為不等式（組）化為不等式（組） 334aa44a有意義的條件是有意義的條件是 . .2.+13練習(xí)：求下列二次根式中字母的取值范圍：練習(xí)：求下列二次根式中字母的取值范圍

8、：(1)1a 1(2)12a2(3) (3)a x524 2125x xx2356 xx1127（8）143x125x 1xx303xx得：由25052xx得：由01001xxxx且得：由152(3)_1x 2(1)_x2(2)2xx2(7)17xx 31x2x7x16求二次根式中字母的取值范圍的基本依據(jù)：求二次根式中字母的取值范圍的基本依據(jù)：被開方數(shù)不小于零；被開方數(shù)不小于零；分母中有字母時(shí)，要保證分母不為零。分母中有字母時(shí)，要保證分母不為零。小結(jié)一下小結(jié)一下 ?17做一做做一做: 要使下列各式有意義，字母的取值必要使下列各式有意義，字母的取值必 須滿足什么條件？須滿足什么條件？ 1、 x+

9、3 2、 2-5x 3、 1 x 4、 a2+1 5、 x-3 + 4-x 6、x-1x-2 18非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根仍然是非負(fù)數(shù)。非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根仍然是非負(fù)數(shù)。 性質(zhì)性質(zhì) 1： a 0 (a0) （雙重非負(fù)性）（雙重非負(fù)性） 引引例例：|a-1|+(b+2) 2=0 , 則則 a= b= 解：解： a+2 0、|3b-9|0、(4-c) 20， 又又 a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 a= -2 , b= 3 ,c= 4。 2a-b+c=2(-2) -3+4 = -3。 19二次根式的雙重非負(fù)性解析二次根式的雙重非負(fù)性解析經(jīng)常作為隱

10、含條件，是解題的關(guān)鍵經(jīng)常作為隱含條件，是解題的關(guān)鍵例已知，求例已知，求xy的值的值130 xy-+=解：解：，1x-3y+130 xy-+=，1x-3y+x，yxy20例求下列二次根式的值例求下列二次根式的值22(1) (3)(2)21(3)xxxp-+= -2(3)|3|pp-=-解解：(1)30p-2(3)3pp-=-(2)2221(1)|1|xxxx-+=-=-當(dāng)當(dāng)x 時(shí)，時(shí)，x0 )( a =0 )( a 0 )a30試一試試一試1.計(jì)算下列各題計(jì)算下列各題:215(1)(2)2512.若若 ,則則x的取值范圍為的取值范圍為 ( )xx1)1 (2A. x1 B. x1 C. 0 x1

11、 D.一切有理數(shù)一切有理數(shù) 與與 是一樣的嗎？是一樣的嗎？ 你的理由是什么，請(qǐng)小組討論一下。你的理由是什么，請(qǐng)小組討論一下。2a a（ ）2313、二次根式具有哪些性質(zhì)？、二次根式具有哪些性質(zhì)？ 1、什么叫做二次根式？、什么叫做二次根式？ 形如形如 a (a0)的式子叫做二次根式。的式子叫做二次根式。 2、二次根式有哪兩個(gè)形式上的特點(diǎn)？、二次根式有哪兩個(gè)形式上的特點(diǎn)？ （1）根根指指數(shù)數(shù)為為 2； （2）被被開開方方數(shù)數(shù)必必須須是是非非負(fù)負(fù)數(shù)數(shù)。 課堂小結(jié)課堂小結(jié)性性質(zhì)質(zhì) 1： a 0 (a0) （雙雙重重非非負(fù)負(fù)性性） 性質(zhì)性質(zhì) 2：( a )2 = a (a0) 性質(zhì)性質(zhì) 3：當(dāng)當(dāng) a0

12、時(shí)，時(shí)， a2 = a ； 當(dāng)當(dāng) a0 時(shí)，時(shí)， a2 = -a 。 也就是說：也就是說： a2 = |a| 。 322aa (0)aa (0)a a 例例2 計(jì)算：計(jì)算：22)15()10() 1 (222)2(2)2(233例例3 計(jì)算：計(jì)算：|3254|)3253(2342 (0)()aaa aa 2)0( aa)0( aa你的理由是什么？一樣嗎？）與（22aa書書P7的課內(nèi)練習(xí)的課內(nèi)練習(xí)35補(bǔ)充：補(bǔ)充：分別說出下列各式成立分別說出下列各式成立的的a a的取值范圍：的取值范圍：2(1) ()aa2(2) ()aa 2(3) (2)2aa36x0 , 4x0,例例5 5: :已知已知:x0

13、,化簡化簡:216x2216x(4 )4:xx 解解原式原式 = -4x37練一練練一練: : 1296:22 xxxx化化簡簡 ( -1 x 3) 其其中中38化簡：化簡： （2） (3) (a0,b0)(4) (a1 ) (5) (1x3 )1024a22ba221aa2269) 1(xxx392(0)( aa a 2aa )0( aa)0( aa22(）與注意區(qū)別aa401. 求式子求式子 有意義時(shí)有意義時(shí)X的取值范圍的取值范圍。x51x105 | 011得5 |5551xxxxxxx 解:由題意得,41二二 次次 根根 式式三個(gè)概念三個(gè)性質(zhì)兩個(gè)公式四種運(yùn)算最簡二次根式最簡二次根式同類二

14、次根式同類二次根式有理化因式有理化因式0, 0babaabbaba)0, 0(ba1、2、加加 、減、乘、除、減、乘、除知識(shí)結(jié)構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)-不要求，只不要求，只需了解需了解1、02aaa 3、0aa2a)0(0aa2、42題型：題型：最簡二次根式：、被開方數(shù)不含分?jǐn)?shù)；、被開方數(shù)不含分?jǐn)?shù)；、被開方數(shù)不含開的盡方的因數(shù)或因式；、被開方數(shù)不含開的盡方的因數(shù)或因式；注意：分母中不含二次根式分母中不含二次根式。322751yx323練習(xí)1：把下列各式化為最簡二次根把下列各式化為最簡二次根式式5524772xyyx6343化簡二次根式的方法化簡二次根式的方法：（1 1）如果被開方數(shù)是整數(shù)或整式時(shí)，先因數(shù)分解或因）如果被開方數(shù)是整數(shù)或整式時(shí)，先因數(shù)分解或因式分解式分解, ,然后利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)然后利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì), ,將式子化簡。將式子化簡。（2 2）如果被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)或分式時(shí)）如果被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)或分式時(shí), ,先利用商的算術(shù)平先利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)方根的性質(zhì), ,將其變?yōu)槎胃较喑男问綄⑵渥優(yōu)槎胃较喑男问? ,然后利用分然后利用分母有理化母有理化, ,將式子化簡。將式子化簡。練習(xí)：把下列各