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1、1插值計(jì)算引例插值計(jì)算引例代數(shù)多項(xiàng)式插值問題代數(shù)多項(xiàng)式插值問題線性插值與二次插值公式線性插值與二次插值公式Lagrange插值公式插值公式第四章第四章 數(shù)據(jù)插值方法數(shù)據(jù)插值方法200.20.40.60.811.21.41.61.82-0.4-0.200.20.40.600.20.40.60.811.21.41.61.82-0.4-0.200.20.40.600.20.40.60.811.21.41.61.82-0.4-0.200.20.40.63 xtdtexErf022)( 誤差函數(shù)誤差函數(shù)x 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000y 0 0.

2、5205 0.8427 0.9661 0.9953 0.9996 1.00005205. 0)1(8427. 0)5 . 0(5 . 011)( xxxErf當(dāng)當(dāng) x(0.5, 1)時(shí)時(shí)8427. 0)5 . 1(9661. 0)1(15 . 11)( xxxErf當(dāng)當(dāng) x(1, 1.5)時(shí)時(shí)4實(shí)際問題中遇到的函數(shù)實(shí)際問題中遇到的函數(shù)f(x)有的表達(dá)式復(fù)雜,有有的表達(dá)式復(fù)雜,有的只提供了離散點(diǎn)上的函數(shù)值或?qū)?shù)值。為了進(jìn)的只提供了離散點(diǎn)上的函數(shù)值或?qū)?shù)值。為了進(jìn)一步分析問題的性質(zhì)和變化規(guī)律,自然希望找到一步分析問題的性質(zhì)和變化規(guī)律,自然希望找到一種簡(jiǎn)單函數(shù)一種簡(jiǎn)單函數(shù)p(x),能近似描述函數(shù),能

3、近似描述函數(shù)f(x)的變化規(guī)的變化規(guī)律,又便于處理。把這個(gè)函數(shù)律,又便于處理。把這個(gè)函數(shù)p(x)稱作稱作f(x)的的近似近似函數(shù)函數(shù)。近似函數(shù)近似函數(shù)p(x)可以是代數(shù)多項(xiàng)式或三角多項(xiàng)式,可以是代數(shù)多項(xiàng)式或三角多項(xiàng)式,也可以是有理分式等等。也可以是有理分式等等。 p(x)選不同類型的函數(shù),選不同類型的函數(shù),近似的效果不同,由于代數(shù)多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,常近似的效果不同,由于代數(shù)多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,常取取p(x)為代數(shù)多項(xiàng)式。為代數(shù)多項(xiàng)式。如果要求近似函數(shù)如果要求近似函數(shù)p(x)取給定的離散數(shù)據(jù),則稱取給定的離散數(shù)據(jù),則稱p(x)為為f(x)的的插值函數(shù)插值函數(shù)。5多項(xiàng)式插值問題的一般提法多項(xiàng)式插值問題的

4、一般提法設(shè)設(shè) f(x)C a , b, 已經(jīng)點(diǎn)已經(jīng)點(diǎn)xi a , b上的函數(shù)值上的函數(shù)值 f(xi), (i=p0, p1, pn)和點(diǎn)和點(diǎn)xj上的導(dǎo)數(shù)值上的導(dǎo)數(shù)值 f(kj)(xj), (j=q0, q1, qm),其中,其中kj為小于或等于為小于或等于n+m+1的任的任意正整數(shù)。意正整數(shù)。要求:作一個(gè)次數(shù)不超過要求:作一個(gè)次數(shù)不超過n+m+1的代數(shù)多項(xiàng)式的代數(shù)多項(xiàng)式p(x) P(x)=a0 + a1x + an+m+1xn+m+1使使 P(xi)= f(xi), (i=p0, p1, pn) P(kj)(xj)= f(kj)(xj), (j=q0, q1, qn) 成立成立則稱則稱P(x)

5、為為f(x)的的插值函數(shù)插值函數(shù)。xi和和xj稱作稱作插值節(jié)點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn)a , b為為插值區(qū)間插值區(qū)間。上述問題稱作代數(shù)多項(xiàng)式插值問題上述問題稱作代數(shù)多項(xiàng)式插值問題8已知已知f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)xi上的函數(shù)值上的函數(shù)值 yi=f(xi), (i=0,1,2,n),求一個(gè)次數(shù)不超過求一個(gè)次數(shù)不超過n的插值多項(xiàng)式。的插值多項(xiàng)式。則稱則稱 (4.1)為滿足插值條件為滿足插值條件(4.2)的的拉格朗日插值拉格朗日插值。 Ln(x)=a0 + a1x + anxn (4.1)滿足滿足: Ln(xi)= yi (k = 0,1,n) (4.2) 設(shè)設(shè) f(x)C a , b, 取點(diǎn)取點(diǎn) a x0 x1xnb拉格

6、朗日插值拉格朗日插值拉格朗日插值及其存在唯一性拉格朗日插值及其存在唯一性9點(diǎn)點(diǎn),則滿足插值條件則滿足插值條件 Ln(xi)= yi (k = 0,1,n)的的n次插值多項(xiàng)式次插值多項(xiàng)式 Ln(x)=a0 + a1x + anxn存在而且是唯一存在而且是唯一的。的。 nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa101111000010證明證明 由插值條件由插值條件L(x0)= y0L(x1)=y1L(xn)=yn定理定理4.1 若插值結(jié)點(diǎn)若插值結(jié)點(diǎn)x0,x1,xn 是是(n+1)個(gè)互異個(gè)互異10方程組系數(shù)矩陣取行列式方程組系數(shù)矩陣取行列式這是范德蒙行列式且不等于這是范德蒙行列式且不等于

7、0。故方程組有唯。故方程組有唯一解一解.從而插值多項(xiàng)式從而插值多項(xiàng)式P(x)存在而且是唯一的存在而且是唯一的.例例4.2 已知誤差函數(shù)在四個(gè)點(diǎn)處函數(shù)值已知誤差函數(shù)在四個(gè)點(diǎn)處函數(shù)值 x 00.60001.20001.8000 Erf(x) 00.60390.91030.9891nnnnnnnxxxxxxxxxV111),(110010 0)(0 jijinxx11構(gòu)造構(gòu)造3次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式L3(x) 逼近逼近 Erf(x)設(shè)設(shè) L3(x)= a0 + a1x +a2x2 + a3x3, 令令 L3(xi)=Erf(xi) 9891. 0)8 . 1()8 . 1(8 . 19103. 0)2 .

8、 1()2 . 1(2 . 16039. 0)6 . 0()6 . 0(6 . 003322103322103322100aaaaaaaaaaaaa得得求解求解,得得a0=0,a1=1.293,a2= -0.5099,a3=0.0538所以所以, L3(x)=1.293 x 0.5099 x2 + 0.0538 x312MATLAB計(jì)算程序計(jì)算程序x=0:.6:1.8; y=erf(x);x=x;y=y;A=ones(4,1) x x.2 x.3;p=Ay;a0=p(1);a1=p(2);a2=p(3);a3=p(4);t=0:.2:2;u=a0+a1*t+a2*t.2+a3*t.3;plot

9、(x,y,o,t,u)00.511.5200.20.40.60.8113)()(0010101xxxxyyyxL 由過兩點(diǎn)直線方程由過兩點(diǎn)直線方程,得得101000111)(yxxxxyxxxxxL 化為等價(jià)形式化為等價(jià)形式求滿足求滿足: L1(x0)=y0 , L1(x1)=y1的線性插值多項(xiàng)式的線性插值多項(xiàng)式 L1(x)n=1 線性插值問題線性插值問題 已知函數(shù)表已知函數(shù)表 x x0 x1 f(x) y0 y1拉格朗日插值的基函數(shù)構(gòu)造法拉格朗日插值的基函數(shù)構(gòu)造法1401011010)(,)(xxxxxlxxxxxl 記記當(dāng)當(dāng)x0 x x1時(shí),時(shí),0l0(x)1, 0l1(x)1x x0 x

10、1l0(x) 1 0l1(x) 0 111001)()()(yxlyxlxL y0 y1 = 1 0y0 + 0 1y1把把l0(x)、 l1(x)稱作稱作線性插值基函數(shù)線性插值基函數(shù)11001)()()(yxlyxlxL 15n=2 二次插值問題二次插值問題x x0 x1 x2f(x) y0 y1 y2已知函數(shù)表已知函數(shù)表求二次插值求二次插值(拋物插值拋物插值)多項(xiàng)式多項(xiàng)式 L2(x)=a0 + a1x + a2 x2 滿足滿足:L2(x0)=y0 , L2(x1)=y1, L2(x2)=y2y0 y1 y2 = 1 0 0y0 + 0 1 0y1+ 0 0 1y2仿照線性插值的基函數(shù)構(gòu)造法

11、,可令仿照線性插值的基函數(shù)構(gòu)造法,可令 L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y216)()()(2010210 xxxxxxxxxl 二次插值函數(shù)二次插值函數(shù): L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2,xx0 x1x2l0(x) 1 0 0l0(x) 100l1(x) 010l2(x) 0 0 1L2(x) y0y1y2 xx0 x1 x2)()()(2101201xxxxxxxxxl )()()(1202102xxxxxxxxxl 把把l0(x)、l1(x)、 l2(x) 稱作稱作二次插值基函數(shù)二次插值基函數(shù)17Lagrange插值公式插值公式插值條件插值

12、條件:Ln(xi)= yi (i= 0,1,n)nnnyxlyxlyxlxL)()()()(1100 )()()()()()()(110110niiiiiiniiixxxxxxxxxxxxxxxxxl 其中其中,第第i (i=0,1,,n)個(gè)插值基函數(shù)個(gè)插值基函數(shù)nijjjijixxxxxl 0)()()(即即:1819001110101)(yxxxxyxxxxxL 兩點(diǎn)線性插值兩點(diǎn)線性插值定義誤差余項(xiàng)定義誤差余項(xiàng): R1(x) = f(x) L1 (x) 由插值條件由插值條件,令令 R1(x)=C(x) (x x0)(x x1)即即 f(x) L1(x) = C(x) (x x0)(x x1

13、) C(x) = ?Lagrange插值的誤差余項(xiàng)插值的誤差余項(xiàng)20 ax0 x1xnb則對(duì)任何則對(duì)任何xa , b, 滿足滿足 Ln(xi) = f(xi) 的的 n 次插次插值多項(xiàng)式值多項(xiàng)式Ln(x) 的誤差的誤差)()!1()()()()(1)1(xnfxLxfxRnnnnn )()()(101nnxxxxxxx 其中其中,),(ban 且與且與x有關(guān)有關(guān)定理定理5.2 設(shè)設(shè) f(x)Ca, b, 且且 f (x) 在在(a, b)內(nèi)具有內(nèi)具有n+1階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù), 取插值結(jié)點(diǎn)取插值結(jié)點(diǎn)21證證 記記 n+1(x) =(x x0)(x x1)(x xn)Rn(x) f(x) Ln(x)= C(x) n+1(x)取定取定 x(a, b), 設(shè)設(shè) t( a, b ). 構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù) )()()()(1tCtLtftFnn 顯然顯然, F(x) = 0, F(xj) = 0, ( j = 0,1,n ) 由插值條件由插值條件Ln(xi) = f(xi) (k = 0,1,n)存在存在C(x),令,令 22 F(t) 有有(n+2)個(gè)相異零點(diǎn)個(gè)相異零點(diǎn). 根據(jù)根據(jù)Rolle定理定理, F(t)在區(qū)間在區(qū)間(a, b)內(nèi)至少有內(nèi)至少有 (n +1)個(gè)相異零點(diǎn)個(gè)相異零點(diǎn). 0)!1()()1( nCfn )!1(

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