D8.1_曲線積分_習(xí)題課

1、1. 基本方法曲線積分第一類 ( 對弧長 )第二類 ( 對坐標(biāo) )(1) 統(tǒng)一積分變量轉(zhuǎn)化定積分用參數(shù)方程用直角坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程(2) 確定積分上下限第一類: 下小上大第二類: 下始上終zoyx11. 計算其中由平面 y = z 截球面22yx 提示提示: 因在 上有,1222yx故:原式 = tttdsincos2022221tttd)cos1 (cos42022221221432212162txcostysin21 sin21tz )20( t,dzzyx從 z 軸正向看沿逆時針方向.,12所得 z(1) 利用對稱性及重心公式簡化計算 ;(2) 利用積分與路徑無關(guān)的等價條件;(3) 利

2、用格林公式 (注意加輔助線的技巧加輔助線的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ;(5) 利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式 .2. 基本技巧基本技巧例例1. 計算,d)(22szyxI其中 為曲線02222zyxazyx解解: 利用輪換對稱性 , 有szsysxddd222利用重心公式知sysydd0szyxId)(32222sad322334azoyx(的重心在原點)例例2. 計算,d)(d)(22LyxyxyxI其中L 是沿逆時針方向以原點為中心,CoyxABL解法解法1 令,22xyQyxP則xQ這說明積分與路徑無關(guān), 故yxyxyxIABd)(d)(22aaxx d2332a1yPa 為半徑

3、的上半圓周.解法解法2 ,BA它與L所圍區(qū)域為D,CoyxABLDyxdd0yxyxyxBAd)(d)(22xxaad2D(利用格林公式)思考思考:(2) 若 L 同例2 , 如何計算下述積分:LyxyxyxId)(d) (2222yLyxyxyxId)(d)(2213332a(1) 若L 改為順時針方向,如何計算下述積分:BALyxyxyxId)(d)(22則添加輔助線段 sin)cos1 (:taytaxLDyaLxo計算,d)2cos(d)2sin(LxxyyexyyeI其中L為上半圓周, 0,)(222yayax提示提示: :LxxyyexyeId)2cos(dsinLxyd2Lxyd

4、2BAyxDdd0ax20d0022dsin2tta0: t2a沿逆時針方向.ABABL練習(xí)題練習(xí)題:1.3.求力沿有向閉曲線 所作的功, 其中 為平面 x + y + z = 1 被三個坐標(biāo)面所截成三提示提示: BAzyxCozxyzxyWdddABzxyzxyddd3ABzxd310d)1 (3zz23方法方法1從 z 軸正向看去沿順時針方向.利用對稱性角形的整個邊界,),(xzyF 考研真題考研真題1. （數(shù)學(xué)一 2010）解解:01222L10 xydxx dyx(1x)x dxx(1 x)x dx02. （中科院 高等數(shù)學(xué)乙 2008）解解:2P1Qf(xy)xyf (xy)yyxdyyyfdxxf1323221)()32(32232. （中科院 高等數(shù)學(xué)乙 2008）解解:dyyyfdxxf1323221)()32(3223ux 322122322233331xf(u)duf(y)dy42y 3. 數(shù)學(xué)一 2000 解解:2222LCDxdyydxxdyydxQP()dxdy04xy4xyxy3. 數(shù)學(xué)一 2000 解解:2222LCxdyy