回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)原理淺析

1、    回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)原理淺析    于慧春 殷勇 李欣回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)把試驗(yàn)規(guī)劃、數(shù)據(jù)處理以及實(shí)用、可靠回歸方程建立統(tǒng)一起來，不僅使得在每個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)上獲得的數(shù)據(jù)含有最大的信息量，并且大大減少試驗(yàn)次數(shù)，使得數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析具有一些較好的性質(zhì)。因而，在科學(xué)研究中應(yīng)用非常廣泛。為了更深入的理解回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，本文對(duì)回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的原理及特點(diǎn)進(jìn)行了較為詳細(xì)的分析，以期為廣大師生的學(xué)習(xí)及應(yīng)用提供一定的幫助。深入了解事物本質(zhì)，找出不確定性變量之間的相互依存關(guān)系，常用的分析方法就是回歸分析。普通的回歸分析方法，只是被動(dòng)的處理已有的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，而對(duì)試驗(yàn)的規(guī)劃幾乎不

2、提任何要求，并且對(duì)所獲得的回歸方程的精度也不做研究。這樣，不僅盲目的增加了試驗(yàn)次數(shù)，而且試驗(yàn)數(shù)據(jù)還存在不能提供充分信息的弊端，導(dǎo)致在許多多因子問題中達(dá)不到試驗(yàn)?zāi)康?。為獲得高質(zhì)量的回歸方程而按相應(yīng)的要求安排試驗(yàn)，稱為回歸試驗(yàn)設(shè)計(jì)。其目的是為了減少試驗(yàn)次數(shù)，簡(jiǎn)化回歸計(jì)算，并使回歸方程實(shí)用、可靠?；貧w正交設(shè)計(jì)，是指試驗(yàn)方案的結(jié)構(gòu)矩陣具有正交性的回歸設(shè)計(jì)。是在正交設(shè)計(jì)基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，可建立方程，選擇最佳的方案。其突出優(yōu)點(diǎn)是用很少的處理組合得出完全實(shí)施試驗(yàn)相同項(xiàng)數(shù)的回歸模型，計(jì)算過程極為簡(jiǎn)單并已消除了回歸系數(shù)之間的相關(guān)性，統(tǒng)計(jì)性質(zhì)得到了明顯改善。因而，回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)在尋求最佳工藝及配方，以及建立生產(chǎn)

3、過程的回歸數(shù)學(xué)模型，以用于控制和預(yù)測(cè)等研究中應(yīng)用非常廣泛，因此，本文結(jié)合自己對(duì)回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法的理解，對(duì)回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的原理及特點(diǎn)作一簡(jiǎn)單的介紹。1 回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的編碼進(jìn)行回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)，首先確定各因子的變化范圍，然后對(duì)其各因子進(jìn)行編碼，編碼即對(duì)各因素進(jìn)行線性變換。編碼的意義主要是：消除各因子單位及數(shù)值大小對(duì)結(jié)果的影響，使得各因子的研究區(qū)域由因素空間的多維長(zhǎng)方體變?yōu)榫幋a空間的多維正立方體，且在編碼空間的取值范圍都是，從而保證各因素的不同水平都是“平等”的。例如：以一個(gè)兩因子的研究為例，如圖1所示，因子的研究區(qū)域在因子空間是一個(gè)矩形，因子取值單位不同，數(shù)量級(jí)不同，會(huì)對(duì)回歸方程的可靠性

4、產(chǎn)生不利影響，如因子本身與所研究指標(biāo)間的相關(guān)性可能并不強(qiáng)，但是由于數(shù)量級(jí)不較大，導(dǎo)致結(jié)果傾向于該因子，而將實(shí)際與指標(biāo)相關(guān)性較強(qiáng)，但數(shù)值較小的因子忽略掉。通過編碼，研究區(qū)域變成一個(gè)正方形，在編碼空間，兩個(gè)因子的取值范圍相同，“地位平等”， 從而避免了因素單位及數(shù)值大小對(duì)結(jié)果的影響。2 回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的“正交性”一次回歸（一元或多元）在編碼空間選試驗(yàn)點(diǎn)，每個(gè)因子都分別選其上下兩個(gè)水平，這樣就可以運(yùn)用兩水平正交表來安排試驗(yàn)，選用兩水平正交表時(shí)，用-1代換表中的2，代換后正交表中的-1，+1既表示因子水平的不同狀態(tài)（兩種狀態(tài)），也表示因子水平變化數(shù)量的大小（因素在編碼空間的取值范圍）。以比較常用的二

5、水平正交表l8（27）為例，用-1代換表中的2后，正交表如表1所示。很明顯，以兩水平正交表編制的這種試驗(yàn)計(jì)劃，如以表示在第次試驗(yàn)中第個(gè)變量的編碼值，于是在試驗(yàn)計(jì)劃中有任一列的和任兩列的內(nèi)積由此體現(xiàn)出這種設(shè)計(jì)具有正交性，所以這種設(shè)計(jì)稱為正交設(shè)計(jì)。編碼空間中試驗(yàn)點(diǎn)的分布情況，以三因子試驗(yàn)為例，所選的試驗(yàn)點(diǎn)在編碼空間的分布如圖2所示。所選試驗(yàn)點(diǎn)正好是編碼空間一個(gè)正立方體的頂點(diǎn)。因此，回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)所選的試驗(yàn)點(diǎn)都分布在編碼空間的多維正立方體的各個(gè)頂點(diǎn)上，也體現(xiàn)了均勻分布的特點(diǎn)。3 回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的“旋轉(zhuǎn)性”在編碼空間回歸的數(shù)學(xué)模型為：n：試驗(yàn)次數(shù)：隨機(jī)誤差的方差是p維編碼空間的一個(gè)球面，球心在原點(diǎn)

6、，半徑為。的計(jì)算公式表明，當(dāng)所選的試驗(yàn)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等時(shí)，即所選的試驗(yàn)點(diǎn)位于同一球面時(shí)，其預(yù)測(cè)值的方差時(shí)相等的。n和是一定的，所選的各試驗(yàn)點(diǎn)的預(yù)測(cè)值的方差只與有關(guān)，不變，不變。預(yù)測(cè)值只與預(yù)測(cè)點(diǎn)的位置有關(guān)，與其方位無關(guān)，可提高預(yù)測(cè)的精度?；貧w正交試驗(yàn)的這一性質(zhì)稱為“旋轉(zhuǎn)性”?！靶D(zhuǎn)性”對(duì)在最優(yōu)工藝尋找過程中排除誤差干擾具有重要意義，因?yàn)橥磺蛎嫔系狞c(diǎn)，其預(yù)測(cè)值的方差相等，所以可以通過直接比較預(yù)測(cè)值的好壞，來確定預(yù)測(cè)值相對(duì)較優(yōu)的研究區(qū)域，而不必考慮誤差干擾的影響，并且獲得性能較佳的回歸方程。此外，通過對(duì)圖2編碼空間試驗(yàn)點(diǎn)的分布進(jìn)行分析可知，在編碼空間，每個(gè)因子都只取其上下兩個(gè)水平，所構(gòu)成的試驗(yàn)點(diǎn)

7、分布為多維空間的正立方體的頂點(diǎn)，每個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，所以這些試驗(yàn)點(diǎn)分布在編碼空間的一個(gè)球面上。增加任何一個(gè)水平，所構(gòu)成的試驗(yàn)點(diǎn)其分布都與這些試驗(yàn)點(diǎn)不會(huì)落在同一個(gè)球面上，試驗(yàn)設(shè)計(jì)“旋轉(zhuǎn)性”的特點(diǎn)就丟失了，所得到的回歸方程性能也會(huì)相應(yīng)變差。因此，要使得回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)具有“旋轉(zhuǎn)性”這一特點(diǎn)，即所選的試驗(yàn)點(diǎn)在編碼空間分布在一個(gè)球面上，則每個(gè)因子只能選上下兩個(gè)水平（每個(gè)因子的研究區(qū)域范圍相同），不能增加任何一水平。每個(gè)因子確定取上下兩個(gè)水平后，則只能利用相應(yīng)的二水平正交表來設(shè)計(jì)試驗(yàn)，設(shè)計(jì)方法具有“正交性”和“旋轉(zhuǎn)性”，既能用較少的試驗(yàn)次數(shù)得到較優(yōu)的回歸方程，且計(jì)算簡(jiǎn)單。4 總結(jié)回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)首先確定各因子取值范圍，然后進(jìn)行編碼，將原因素空間的回歸問題轉(zhuǎn)換為編碼空間中指標(biāo)值對(duì)轉(zhuǎn)換后因子的回歸問題，從而消除了不同單位及量綱對(duì)結(jié)果的不利影響;選用二水平正交表，每個(gè)因子只選上下兩個(gè)對(duì)稱水平，保證試驗(yàn)設(shè)計(jì)的“正交性”和“旋轉(zhuǎn)性”，從而保證了所