精選精選高等數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1、高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)指導(dǎo)注意：1 本次考試題型分為單選（ 20=4 分*5 ）填空（ 20=4 分*5 ）計(jì)算題（ 44=11 分*4 ）應(yīng)用題（ 16=16 分*1 ）2 復(fù)習(xí)指導(dǎo)分為 3 個(gè)部分，第一部分配有 詳細(xì)解答，掌握解題方法 ，第二部分歷年試題匯編，熟悉考試題型；第三部分中央電大今年的 模擬真題，應(yīng)該重點(diǎn)掌握 。3 復(fù)印的藍(lán)皮書大家要掌握第5 頁的樣卷和 29 頁的綜合練習(xí)。第一部分（詳細(xì)解答）一填空題1函數(shù) yx4的定義域?yàn)閤1且x2。ln( x1)2函數(shù) yln( x1) 的定義域是1x2。4x23函數(shù) yx2 的定義域是x2且 x3。x34設(shè) f ( x 2) x22 ，則 f

2、( x)x24x 6。解：設(shè) x2t ，則 xt2 且原式 f (x2)x22即 f (t )t22 t 24t 22亦即 f (x)x24x244若函數(shù) f ( x)(1x) x ,x0 在 x0 處連續(xù)，則 k =e 4。k,x05曲線 ye x 在 x0處的切線方程為y1x。曲線 yf x 在點(diǎn)x0 , y0處的切線方程為yy0y x0x x0解： yx0e xx1 ， x00時(shí)， y0e010y1(x0)y 1x ，6. 函數(shù) yln( x3) 的連續(xù)區(qū)間為3,1 ,1,。x1初等函數(shù)在其定義區(qū)間連續(xù)。ln( x3)x303 且 x13,1 ,1,yx1x1x07曲線 yln x 在點(diǎn)

3、 (1,0) 處的切線方程為yx1。8. 設(shè)函數(shù) yf (ln2x) 可導(dǎo)，則 dy1 f '(ln 2x) dx。x解： dyy ' dx f (ln 2x) 'dx f '(ln 2x)ln 2x' dx f '(ln 2 x)1' dx2x1' dx 12x f '(ln 2x)2xf '(ln 2x)dx2xx9. （判斷單調(diào)性、凹凸性）曲線y1 x32x23x 在區(qū)間2,3內(nèi)是 單調(diào)遞減且凹。3解： yx24x3x3 x 1 ,當(dāng)2x3時(shí)，y0曲線下降10設(shè) f ( x)x21 ，則 f ( f(x)4

4、x21。解： f '(x)x21 '2x， f ( f( x)f2x2x24x21，11x3 (1cosx) dx110。1解： x3 是奇函數(shù)； 1 和 cos x 是偶函數(shù)，由于偶 +偶 =偶，則 1cos x 是偶函數(shù)，因?yàn)槠媾计?，所?x31cosx 是奇函數(shù)，1,1 是對(duì)稱區(qū)間奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分為零11 x2 ) dx212x( x。1311 x2 ) dx1(x2x 1 x2 ) dx1x2dx1解：x( xx 1 x2 dx1111x1x21x 1x2 dx0 ；是奇函數(shù)（奇偶奇），故12121223 12是偶函數(shù)，故dx2xdx而 xxx0103313設(shè)

5、F ( x)f ( x) ，則f (ln 3x)dxFln3 xC。11x解： Qln 3xdxln 3x dxd ln 3xxx14已知 F ( x)f (x) ，則xf ( x21)dx1 Fx21C。2解：xf (x21)dx1fx212xdx1fx21 dx211F x21 C22215設(shè) F (x) 為 f (x) 的原函數(shù)，那么f (sin x)cos xdxFsin xC。分析： F (x) 為 f (x) 的原函數(shù)fu duF uC ， cosxdxd sin x解： f (sin x)cos xdxf sin x d sin xFsin xC16設(shè) f (x) 的一個(gè)原函數(shù)是

6、sin x ,則 f ( x)sin x。解： f (x) 的一個(gè)原函數(shù)為F (x)f ( x) F '( x)f ( x)sin x '' cosx' sin x0x cos2x17 F (x)t cos 2t dt ，那么 F ( x)。xxx解：ftdta18 d02 e ttdxx解： d02 e ttdxxfxF(x)t cos2t dtx cos2x0dt_x2 e x _。dtdxt dtx2 e xt 2edx019設(shè) F ( x)x)e 1e sin t dt ，則 F (。02xsin tsin xsin21解： FxedteFee2020

7、d02 dt =cos x2cost。dxx解： d02 dt dx2dt cosx2costcostdxxdx0二選擇題1 下列函數(shù)中（B）的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱。A ln xBxcos xC x sin x D a x規(guī)律：（ 1） 1奇偶函數(shù)定義：fxfx , f x是奇函數(shù) ; fxfx，fx 是偶函數(shù) ；2（ 2）常見的偶函數(shù)：x2 , x4 ,., x3 ,cos x, x ,常數(shù)1,ln 1x ,ln 1x常見的奇函數(shù)： x, x3, x5 ,., x3 ,sin x,lnxx211x1x常見的非奇非偶函數(shù)： ax , ex, a x ,e x ,lnx ；（ 3）奇偶函數(shù)運(yùn)算性

8、質(zhì)：奇±奇 =奇；奇±偶 =非；偶±偶 =偶；奇×奇 =偶；奇×偶 =奇；偶×偶 =偶；（ 4）奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)圖像關(guān)于y 軸對(duì)稱。解： A非奇非偶； B 奇×偶 =奇（原點(diǎn)）； C 奇×奇 =偶（ y 軸）； D 非奇非偶2下列函數(shù)中（B）不是奇函數(shù)。A exe x ；B sin( x1) ；C sin x cosx ；D lnxx21解： A奇函數(shù)（定義） ； B 非奇非偶（定義） ； C奇函數(shù)（奇×偶） ； D奇函數(shù)（定義）3下列函數(shù)中，其圖像關(guān)于y 軸對(duì)稱的是（A）。Asin( x2

9、1)B ex cos xCln1xDcos( x1)1x解： A偶函數(shù)（y 軸）； B 非奇非偶（定義） ； C奇函數(shù)（常見） ；D非奇非偶（定義）4下列極限正確的是（B）。A limex1x3110B lim3x 0 xx3x13C. lim sin x1D lim(11 )xexxx 0x解： A 錯(cuò)。 x0 ， ex1 x limex1limx1；x 0xx 0 xB 正確。分子分母最高次冪前的系數(shù)之比；C錯(cuò)。 x， 10 即1是無窮小，sin x1即 sin x 是有界變量， lim sin x0 ；xxxx1 ) x1D 錯(cuò)。第二個(gè)重要極限應(yīng)為lim(1e 或 lim(1x) xe

10、，其類型為 1 。xxx05當(dāng) x1時(shí)，（ D）為無窮小量。x1B sin1C cos(x 1)D ln( x 2)A11x2xx1011解： A lim0 lim0 ；x1 x21x1 2x2B x1， x10 ，1， lim sin 1不存在；x1x1x1Cx1， cos( x1)cos01；D x1， ln( x2)ln10 。6. 下列等式中，成立的是（B）。A e 2 xdx2de 2 xB e 3 xdx1 de 3 x3C 2 dx d xD1 dx d ln 3xx3x解： A錯(cuò)，正確的應(yīng)為2e 2xdxde 2xB。 正確，3e 3x dxde 3x即 e 3 xdx1 de

11、 3 x3C錯(cuò)，正確的應(yīng)為21dxdxD 錯(cuò)，正確的應(yīng)為1 d 3xd ln 3xx3x7設(shè) f ( x) 在點(diǎn) xx0 可微，且f(x0 )0，則下列結(jié)論成立的是（C）。A xx0 是f (x) 的極小值點(diǎn)Bxx0 是f ( x) 的極大值點(diǎn)；C xx0 是 f( x) 的駐點(diǎn)；Dxx0 是f ( x) 的最大值點(diǎn)；解：駐點(diǎn)定義：設(shè)f (x) 在點(diǎn) xx0 可微，且f( x0 )0，則 xx0 是 f ( x) 的駐點(diǎn)。駐點(diǎn)為可能的極值點(diǎn)。8函數(shù) f (x)ln x ，則 limf ( x)f (3)（ D）。x3x311A 3； B ln 3； C x； D 3解一： limf (x)f

12、(3)f '3f ' xl n x'11x3x 3x3x3x x 33011解二： limf ( x)f (3)limln xln 3 0 lim xx 3x 3x 3x 3x 3 139設(shè) f ( x)sin x ，則 limf (x)（ B）。xx0A0； 1 ； 2BC；D 不存在10曲線 yx33x29x1在區(qū)間 (1,3) 內(nèi)是（ A）。A下降且凹B上升且凹C下降且凸D 上升且凸解：11曲線 yexx 在 (0,) 內(nèi)是（B）。A 下降且凹；B 上升且凹；C下降且凸；D 上升且凸解：12曲線 y 2x 在點(diǎn) M (1,2) 處的法線方程為（B）。A. y 2

13、(x 1) ；B. y 2( x 1) ； C y 22( x 1) D. y 11( x 2)2規(guī)律：曲線 yf x 在 x= x0yfx01x0處的法線方程為xfx0解： y f x2 x ， f 'x2 x '11， f ' 11xx x 1故法線方程為 B y2( x1) ；13下列結(jié)論中正確的是（C）。A函數(shù)的駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn)B函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)C函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)為 0 的點(diǎn)一定是駐點(diǎn)D函數(shù)的極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)必為0解：駐點(diǎn)定義：設(shè)f (x) 在點(diǎn) xx0 可微，且f ( x0 )0 ，則 xx0 是 f ( x) 的駐點(diǎn)。駐點(diǎn)為可能的極值點(diǎn)。14設(shè)函數(shù)f ( x)

14、cosx ，則 df (x)（ A）。A sinx dx ；B sinx dx ；Csinx dx ；D sin x dx2x2xxx解： df ( x)d cosxcosx 'dxsinxx'dxsinx dx2x15當(dāng)函數(shù) f (x) 不恒為0， a, b 為常數(shù)時(shí)，下列等式不成立的是（B）。A. (f ( x) dx)f ( x)C.f (x)dxf ( x)c解：dbB.f (x)dx f ( x)dx abf ( x) f (b) f (a)a dD.A.成立， (f ( x)dx)f (x) 為不定積分的性質(zhì)；bB.不成立，af ( x) dx常數(shù)，而常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零

15、；C.成立，f(x)dxf ( x)c 為不定積分的性質(zhì)；D. 成立，bdf ( x)f (b)f (a) 為牛頓萊布尼茲公式。a16設(shè)函數(shù) f (x) 的原函數(shù)為 F (x) ，則12f ( 1 )dx（ A）。1xx11AF ( ) C ； B F ( x)C； CF()C ； D f ( ) Cxxxf (x) 的原函數(shù)為 F (x)fuduFuC ，1dx1解：函數(shù)x2d17下列無窮積分為收斂的是（Bx）。A.sin xdxB.0e2x dxC.01 e x dxD.11 dx02x11,發(fā)散0pxp0,收斂規(guī)律：axdx(0)收斂edx,p0,發(fā)散1,sin xdx 、cos xdx

16、 發(fā)散x ne px dx,nNp0,發(fā)散aa0p0,收斂解： A.sin xdx ； B. p20，收斂； C.p10，發(fā)散； D.11 ，發(fā)散0218下列無窮積分為收斂的是（C）。x2 dx1x 2dxxA.B.1dxC.1D.1e2 dx1x解： A.發(fā)散； B. 發(fā)散； C.收斂； D. 發(fā)散；三計(jì)算題4x11 2 x4x2x1、求極限 lim2、求極限 limx4x1x4x34x 1 4x 1 2124x4x 3 33解：4x 14x 14x 1解：4x 314x 34x 33原題 e原題 e 23、求極限 limex1x解： x0 ， ln1x x ， ex1 xx0 x ln(

17、x1)xx1 xxx原題 lim e 1xlime= lim e1lim e 1x 0x xx 02x 0 2xx 0 22x4、求極限 limsin 3x解： x0 ， sin3 x 3x ，14x12x4xx0 11原題 lim3x3x02x25、求極限 lim ln(13x2 ) 解： x0 ， ln(13x2 ) 3x2， sin 2x 2xx0x sin 2x原題 lim3x232x0x 2x6、求極限 limesin2 x1tan 4xx0解： x0 ， esin2 x1 sin 2x2x， tan4x 4x原題 lim2x 1x04x27、設(shè)函數(shù) yx3 ln(2x) ，求 dy

18、解： y 'x3'ln(2x)x3ln2x'3x2 ln(2x)x312 x '2x8、設(shè)函數(shù) yxecos x2x，求 dy 。xecosx3解： y2x29、設(shè)函數(shù) ycos(ln 2x)ex21e2，求 dy 。解： ycosln 2xex21e210、設(shè)函數(shù)11、設(shè)函數(shù)ye3x，求 dy 。2 xysin 3x，求 dy 。cos x1解： ysin 3xsin 3x1cos x sin 3x 1cos x1 cosx1cosx212、計(jì)算不定積分x2 sin x dx2解 : x22x20+x2 sin x dx 2 x 2 cos x8x sin x

19、16cos xC222213、計(jì)算不定積分xe 3xdx 解： x10xe3xdx1 xe 3 x1 e 3 xC39四、應(yīng)用題1、要做一個(gè)有底無蓋的圓柱體容器, 已知容器的容積為 4 立方米 , 試問如何選取底半徑和高的尺寸, 才能使所用材料最省。解：設(shè)圓柱體底半徑為r ，高為 h ，則體積 Vr 2h4h4r 2材料最省即表面積最小表面積 Sr 22 rh r 22r4r 28r 2rS' 28，令 S ' 0，得唯一駐點(diǎn) r34r2r所以當(dāng)?shù)装霃綖? 4米，此時(shí)高為3 4米時(shí)表面積最小即材料最省。2、 要做一個(gè)有底無蓋的圓柱體容器, 已知容器的容積為16 立方米 , 底面

20、單位面積的造價(jià)為10 元/ 平方米，側(cè)面單位面積的造價(jià)為 20 元/ 平方米，試問如何選取底半徑和高的尺寸, 才能使建造費(fèi)用最省。解：設(shè)圓柱體底半徑為r ，高為 h ，r則體積 Vr 2h16h16hr 2且造價(jià)函數(shù) f10r 2202rh10r 2640r令 f 20 r6400 ，得唯一駐點(diǎn)r4r 223所以當(dāng)?shù)装霃綖?2 3 4米，此時(shí)高為 3 4 米時(shí)造價(jià)最低。3、要用同一種材料建造一個(gè)有底無蓋的容積為108 立方米的圓柱體容器，試問如何選取底半徑和高的尺寸, 才能使建造費(fèi)用最省。解：要使建造費(fèi)用最省，就是在體積不變的情況下，使圓柱體的表面積最小。設(shè)圓柱體底半徑為r ，高為 h ，則體

21、積 Vr 2h108h108r 2則圓柱體倉庫的表面積為S r22rh r22r108 r2216r2rS' 2r216，令 S' 0，得唯一駐點(diǎn) r31083 34r 2,所以當(dāng)?shù)装霃綖?33 4米，此時(shí)高為 33 4米時(shí)表面積最小即建造費(fèi)用最省。4、在半徑為 8 的半圓和直徑圍成的半圓內(nèi)內(nèi)接一個(gè)長方形（如圖），為使長方形的面積最大，該長方形的底長和高各為多少。解：設(shè)長方形的底邊長為2x ，高為 y ，則 82x 2y2y64 x 28y面積 S2xy 2x64x 2xx令 S264x 2x2x 20 ，得唯一駐點(diǎn)x4264所以當(dāng)?shù)走呴L為82 米，此時(shí)高為 42 米時(shí)面積最大

22、。5、在半徑為8 的圓內(nèi)內(nèi)接一個(gè)長方形，為使長方形的面積最大，該長方形的底長和高各為多少。解：設(shè)長方形的底邊長為2x ，高為 2 y ，則 82x 2y2y64 x 2面積 S4 xy4 x 64x 2令 S464x 2x 20 ，得唯一駐點(diǎn) x 4 264x2所以當(dāng)?shù)走呴L為82 米，此時(shí)高為 82 米時(shí)面積最大。第二部分高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)歷年試題匯編一、單項(xiàng)選擇題（每小題4 分，本題共 20 分）1. 函數(shù) ye xex的圖形關(guān)于（ A）對(duì)稱2(A) 坐標(biāo)原點(diǎn)(B)x 軸(C) y 軸(D) y x2. 在下列指定的變化過程中， （C）是無窮小量(A)1( x)(B)1( x0)x sinsinx

23、x1(C)ln( x 1)( x0)(D)e x ( x)3. 設(shè) f (x) 在 x0可導(dǎo)，則 lim f ( x02h) f ( x0 )（C）h02h(A)f ( x0 )(B)2 f( x0 )(C)f ( x0 )(D)2 f( x0 )4. 若f ( x)dxF (x)c ，則1f (ln x)dx（ B）x(A)F (ln x)(B)F (ln x)c(C)1 Fxc(D)F (1)cx(ln )x5. 下列積分計(jì)算正確的是（ D）10x01sind0(B)sin 2 d (D)xedx1x cosxdx 0(A)1(C)16. 函數(shù) y2 x2x的圖形關(guān)于（ B）對(duì)稱2(A)

24、坐標(biāo)原點(diǎn)(B)y 軸 (C)x 軸(D)y x7. 在下列指定的變化過程中， （A）是無窮小量(A)x sin 1( x0)(B)x sin 1( x)xx(C)ln x (x0)(D)ex(x)8. 下列等式中正確的是（ B）(A)d( 1 )ln xdx(B) d(ln x)dx(C)d(3x )3x dx(D) d( x)dxxxx9. 若f ( x)dxF (x)c ，則1x) dx（ C）f (x(A)F ( x )(B)F ( x )c (C)2F (x ) c(D) 2F (x )10. 下列無窮限積分收斂的是（D）(A)1 dx(B)ex dx (C)11dx(D)112 dx1x0xx11. 函數(shù) ye xex的圖形關(guān)于（ A）對(duì)稱2(A) 坐標(biāo)原點(diǎn)(B)x 軸 (C) y 軸(D)yx12. 在下列指定的變化過程中， （ C）是無窮小量(A)x sin 1( x)(B)sin 1( x0)xx1(C)ln( x 1)( x0)(D)e x( x)13.f ( x02h)f ( x0 )設(shè) f ( x) 在 x0 可導(dǎo)，則 lim2h（ C）h0(A)f( x0 )(B)2 f(x0 )(C)f(x0 )(D)2 f(