專(zhuān)題1轉(zhuǎn)化與化歸思想【高考文科數(shù)學(xué)】數(shù)學(xué)思想方法含答案

1、第四講轉(zhuǎn)化與化歸思想1轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問(wèn)題得到解決的一種數(shù)學(xué)方法一般是將復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將難解的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問(wèn)題，將未解決的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題2轉(zhuǎn)化與化歸思想是實(shí)現(xiàn)具有相互關(guān)聯(lián)的兩個(gè)知識(shí)板塊進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化的重要依據(jù)，如函數(shù)與不等式、函數(shù)與方程、數(shù)與形、式與數(shù)、角與邊、空間與平面、實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)問(wèn)題的互化等， 消去法、 換元法、數(shù)形結(jié)合法等都體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，我們也經(jīng)常在函數(shù)、方程、不等式之間進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，在復(fù)習(xí)過(guò)程中應(yīng)注意相近主干知識(shí)之間的互化，注重知識(shí)的綜合性3轉(zhuǎn)化與

2、化歸思想的原則(1) 熟悉已知化原則：將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題，以便于我們運(yùn)用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和問(wèn)題來(lái)解決(2) 簡(jiǎn)單化原則：將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，如三維空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二維平面問(wèn)題，通過(guò)簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決思路和方法，獲得對(duì)復(fù)雜問(wèn)題的解答啟示和思路以達(dá)到解決復(fù)雜問(wèn)題的目的(3) 具體化原則：化歸方向應(yīng)由抽象到具體(4) 和諧統(tǒng)一原則：轉(zhuǎn)化問(wèn)題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧統(tǒng)一的形式； 或者轉(zhuǎn)化命題， 使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或符合人們的思維規(guī)律(5) 正難則反原則：當(dāng)問(wèn)題正面討論遇到困難時(shí)，應(yīng)想到問(wèn)題的反面；或問(wèn)題的正面較復(fù)雜時(shí)，其

3、反面一般是簡(jiǎn)單的；設(shè)法從問(wèn)題的反面去探求，使問(wèn)題獲得解決1 (2012 北京 ) 已知 an為等差數(shù)列，sn為其前n項(xiàng)和若a112，s2a3，則a2 _. 答案1 解析設(shè)出等差數(shù)列的公差，列方程求解設(shè)an 的公差為d，由s2a3知，a1a2a3，即 2a1da12d，又a112，所以d12，故a2a1d1. 2 (2013 重慶 )4cos 50 tan 40 等于( ) a.2 b.232c.3 d221 答案c 解析4cos 50 tan 40 4sin 40 cos 40 sin 40 cos 40 2sin 80 sin 40 cos 40 2sin50 30sin 40 cos 40

4、 3sin 50 cos 50 sin 40 cos 40 3sin 50 cos 40 3. 3 (2012 重慶 ) 已知alog23 log23，blog29log23，clog32，則a，b，c的大小關(guān)系是( ) aabccabbc答案b 解析alog23 log23log233，blog29log23log233，ab. 又函數(shù)ylogax(a1) 為增函數(shù)，alog233log221，clog32c. 4 (2011 天津 ) 對(duì)實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“ ?” ：a?ba，ab1，b，ab1.設(shè)函數(shù)f(x) (x22) ?(x1) ，xr. 若函數(shù)yf(x) c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公

5、共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是 ( ) a( 1,1 (2， ) b( 2， 1 (1,2 c( ， 2)(1,2 d 2， 1 答案b 解析依題意可得f(x) x2 2， 1x2，x1，x2，作出其示意圖如圖所示由數(shù)形結(jié)合知，實(shí)數(shù)c需有 1c 2或 2c 1，故選 b. 5 (2013 山東 )設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿(mǎn)足x23xy4y2z0，則當(dāng)xyz取得最大值時(shí)，2x1y2z的最大值為( ) a0 b 1 c.94d3 答案b 解析由已知得zx23xy 4y2(*) 則xyzxyx23xy4y21xy4yx31，當(dāng)且僅當(dāng)x2y時(shí)取等號(hào)，把x2y代入 (*) 式，得z2y2，所以2x1y2z1y1y

6、1y21y 1211. 題型一特殊與一般的轉(zhuǎn)化例 1(1)e416，e525，e636( 其中 e 為自然常數(shù) ) 的大小關(guān)系是( ) a.e416e525e636b.e636e525e416c.e525e416e636d.e636e416e525(2) 在定圓c：x2y24 內(nèi)過(guò)點(diǎn)p( 1,1) 作兩條互相垂直的直線與c分別交于a，b和m，n，則|ab|mn|mn|ab|的范圍是 _審題破題(1) 觀察幾個(gè)數(shù)的共同特征，可以構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較數(shù)的大小；(2) 由于題目條件中過(guò)點(diǎn)p( 1,1) 可作無(wú)數(shù)對(duì)互相垂直的直線，因此可取特殊位置的兩條直線來(lái)解決問(wèn)題答案(1)a (2)2，3

7、22解析(1) 由于e416e442，e525e552，e636e662，故可構(gòu)造函數(shù)f(x) exx2，于是f(4) e416，f(5)e525，f(6) e636. 而f(x) exx2exx2ex2xx4exx22xx4，令f(x) 0 得x0 或x2，即函數(shù)f(x) 在 (2， ) 上單調(diào)遞增，因此有f(4) f(5) f(6) ，即e416e525e636. (2) 設(shè)|ab|mn|t，考慮特殊情況：當(dāng)ab垂直op時(shí)，mn過(guò)點(diǎn)o，|ab| 最小， |mn| 最大，所以t最小22，t最大2. 所以t22，2 . 又因?yàn)閠1t2 t1t2， 所以t1t2，322. 反思?xì)w納當(dāng)問(wèn)題難以入手

8、時(shí)，應(yīng)先對(duì)特殊情況或簡(jiǎn)單情形進(jìn)行觀察、分析， 發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中特殊的數(shù)量或關(guān)系結(jié)構(gòu)或部分元素，然后推廣到一般情形，以完成從特殊情形的研究到一般問(wèn)題的解答的過(guò)渡，這就是特殊化的化歸策略數(shù)學(xué)題目有的具有一般性，有的具有特殊性，解題時(shí)， 有時(shí)需要把一般問(wèn)題化歸為特殊問(wèn)題，有時(shí)需要把特殊問(wèn)題化歸為一般問(wèn)題變式訓(xùn)練1 已知等差數(shù)列an 的公差d0，且a1、a3、a9成等比數(shù)列，則a1a3a9a2a4a10的值是_答案1316解析由題意知，只要滿(mǎn)足a1、a3、a9成等比數(shù)列的條件，an取何種等差數(shù)列與所求代數(shù)式的值是沒(méi)有關(guān)系的因此，可把抽象數(shù)列化歸為具體數(shù)列比如，可選取數(shù)列ann(nn*) ，則a1a3a9a2

9、a4a101 3924101316. 題型二正難則反轉(zhuǎn)化例 2若對(duì)于任意t 1,2， 函數(shù)g(x) x3m22x22x在區(qū)間 (t,3) 上總不為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_審題破題函數(shù)總不為單調(diào)函數(shù)不易求解，可考慮其反面情況：g(x) 在區(qū)間 (t,3) 上為單調(diào)函數(shù)答案373m5 解析g(x) 3x2(m 4)x 2，若g(x) 在區(qū)間 (t,3) 上總為單調(diào)函數(shù)，則g(x)0 在(t,3) 上恒成立，或g(x) 0 在(t,3) 上恒成立由得3x2(m4)x20，即m42x 3x在x (t,3) 上恒成立，m42t 3t恒成立，則m4 1，即m 5；由得m42x3x在x(t,3) 上

10、恒成立，則m4239，即m373. 函數(shù)g(x) 在區(qū)間 (t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)的m的取值范圍為373m5. 反思?xì)w納正難則反，利用補(bǔ)集求得其解，這就是補(bǔ)集思想一般有兩種情形：正面解決比較困難，正面出現(xiàn)多種情形，可考慮從反面解決，體現(xiàn)了對(duì)立統(tǒng)一，相互轉(zhuǎn)化的思想變式訓(xùn)練2 (2012 北京 ) 已知f(x) m(x2m)(xm3) ，g(x) 2x2， 若?xr，f(x)0或g(x)0，則m的取值范圍是_答案( 4,0) 解析將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g(x)0 的解集的補(bǔ)集是f(x)0 的解集的子集求解g(x) 2x20，x1. 又?x r，f(x)0 或g(x)0，1 ， ) 是f(x)0 的解集的子

11、集又由f(x) m(x2m)(xm3)0 知m不可能大于等于0，因此m0. 當(dāng)m0時(shí)，f(x)0 ，若 2mm3，即m 1，此時(shí)f(x)m 3，即 1m0，此時(shí)f(x)2m或xm3 ，依題意 2m1，即 1m0；若 2mm 3， 即m 1， 此時(shí)f(x)0 的解集為 x|xm3， 依題意m34， 4m 1. 綜上可知，滿(mǎn)足條件的m的取值范圍是4m1. (1) 討論f(x) 的單調(diào)性；(2) 若當(dāng)x 0 時(shí)，f(x)0 恒成立，求a的取值范圍審題破題(1) 求f(x) 0 的根，比較兩根的大小、確定區(qū)間，討論f(x) 的單調(diào)性；(2) 將f(x)0 恒成立轉(zhuǎn)化為f(x) 的最小值大于0. 解(1

12、)f(x)x22(1 a)x4a(x 2)(x2a) 由已知a1， 2a2，令f(x)0，解得x2a或x1 時(shí)，f(x)在區(qū)間 ( ， 2) 和(2a， ) 上是增函數(shù)，在區(qū)間(2,2a) 上是減函數(shù)(2) 由(1) 知，當(dāng)x 0 時(shí)，f(x) 在x2a或x0 處取得最小值f(2a)13(2a)3(1a)(2a)24a2a24a43a34a224a43a(a6)(a3)，f(0) 24a. 由題設(shè)知a1，f2a0，f00，即a1，43aa3a60，24a0，解得 1aln(n1)(nn*) (1) 解g(x)1ef(x) (x 1) ln x(x 1) ，g(x) 1x1(x0) 令g(x)0

13、 ，解得 0 x1；令g(x)1. 函數(shù)g(x) 在(0,1) 上單調(diào)遞增，在(1 ， ) 上單調(diào)遞減，g(x)極大值g(1) 2. (2) 證明由(1) 知x1 是函數(shù)g(x) 的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，g(x) g(1) 2，即 ln x(x1) 2? ln xx1( 當(dāng)且僅當(dāng)x1 時(shí)等號(hào)成立 ) ，令tx1，得tln(t1) ，取t1n(nn*) ，則1nln11n lnn1n，1ln 2 ，12ln 32，13ln 43，1nlnn1n，疊加得 112131nln(2 3243n1n) ln(n 1). 典例(12 分) 已知函數(shù)f(x) 13x3a243x24323a x(a是小于

14、1 的正實(shí)數(shù)，xr)若對(duì)于任意的三個(gè)實(shí)數(shù)x1，x2，x31,2，都有f(x1) f(x2)f(x3) 恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍規(guī)范解答解因?yàn)閒(x) x2a83x4323ax23(xa2) ，所以令f(x) 0，解得x123，x22a. 2 分 由 0a1，知 12a0，得x2a；令f(x)0 ，得23x2a，所以函數(shù)f(x) 在(1,2 a) 上單調(diào)遞減，在(2a,2) 上單調(diào)遞增5分 所以函數(shù)f(x) 在1,2上的最小值為f(2a) a6(2a)2，最大值為maxf(1) ，f(2)max13a6，23a. 因?yàn)楫?dāng) 0a25時(shí)，13a623a；當(dāng)25a13a6，由對(duì)任意x1，x2，x31

15、,2，都有f(x1) f(x2)f(x3) 恒成立， 得 2f(x)minf(x)max(x1,2)7 分 所以當(dāng) 013a6，結(jié)合 0a25可解得 122a25；9 分 當(dāng)25a23a，結(jié)合25a1可解得25a22.11分 綜上，知所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是122a22. 12 分 評(píng)分細(xì)則(1) 求出f(x) 給 1 分； (2) 討論時(shí)將a的范圍分為0a25和25a1 一樣給分；討論時(shí)a的值有重、漏情況扣1 分； (3) “綜上”結(jié)論不寫(xiě)扣1 分閱卷老師提醒將已知不等式恒成立準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為關(guān)于函數(shù)f(x) 在1,2上的最大值和最小值問(wèn)題是解決本題的一個(gè)突破口此外，要注意函數(shù)f(x) 在1,2上的

16、最大值不能直接由函數(shù)的圖象得到，而必須討論f(1) 與f(2) 的大小關(guān)系1設(shè)p為曲線c：yx22x 3 上的點(diǎn)，且曲線c在點(diǎn)p處切線傾斜角的取值范圍為0，4，則點(diǎn)p橫坐標(biāo)的取值范圍為( ) a. 1，12b 1,0 c0,1 d.12，1答案a 解析設(shè)p(x0，y0) ，傾斜角為，0 tan 1，f(x) x22x3，f(x) 2x2,02x021， 1x012，故選 a. 2 設(shè)a22(sin 17 cos 17 ) ，b2cos213 1，c32，則a，b，c的大小關(guān)系是( ) acabbacbcbacdcba答案a 解析a222sin(17 45) sin 62 ，bcos 26 si

17、n 64 ，c sin 60 ，cab. 3 方程 sin2xcos xk0 有解，則k的取值范圍是( ) a 1k54b54k0 c0k54d54k1 答案d 解析求k sin2xcos x的值域kcos2xcos x1(cos x12)254. 當(dāng) cos x12時(shí)，kmin54，當(dāng) cos x 1 時(shí)，kmax1，54k1，故選 d. 4 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓x2y24 上有且只有四個(gè)點(diǎn)到直線12x5yc0的距離為 1，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是 _答案( 13,13) 解析由題設(shè)得，若圓上有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則需圓心 (0,0) 到直線的距離d滿(mǎn)足 0d1. d|c|122

18、52|c|13， 0|c|0 的最小正整數(shù)n為( ) a7 b 8 c9 d10 答案b 解析an為等差數(shù)列，s130，a1a132a70，又a1 120 的最小正整數(shù)n為 8. 3ab是過(guò)拋物線x24y的焦點(diǎn)的動(dòng)弦，直線l1，l2是拋物線兩條分別切于a，b的切線，則l1，l2的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為( ) a 1 b 4 c14d116答案a 解析找特殊情況，當(dāng)aby軸時(shí)，ab的方程為y1，則a( 2，1) ，b(2,1) ，過(guò)點(diǎn)a的切線方程為y1 (x 2) ，即xy10. 同理，過(guò)點(diǎn)b的切線方程為xy10，則l1，l2的交點(diǎn)為 (0 ， 1)4 (2012 浙江 ) 若正數(shù)x，y滿(mǎn)足x3y5xy

19、，則 3x4y的最小值是( ) a.245b.285c5 d6 答案c 解析x0，y0，由x3y5xy得151y3x 1. 3x4y15(3x4y)1y3x153xy4912yx135153xy12yx135152 3xy12yx5( 當(dāng)且僅當(dāng)x2y時(shí)取等號(hào) ) ，3x4y的最小值為5. 5 棱長(zhǎng)為a的正方體中，連接相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為( ) a.a33b.a34c.a36d.a312答案c 解析所得圖形為一個(gè)正八面體，可將它分割為兩個(gè)四棱錐，棱錐的底面為正方形且邊長(zhǎng)為22a，高為正方體邊長(zhǎng)的一半，v21322a2a2a36. 6 設(shè)f1，f2分別是雙曲線x2a2y2b

20、21(a0，b0) 的左， 右焦點(diǎn)， 若雙曲線右支上存在一點(diǎn)p，使(opof2) f2p0，o為坐標(biāo)原點(diǎn)， 且|pf1| 3|pf2| ，則該雙曲線的離心率為( ) a.31 b.312c.62 d.622答案a 解析如圖，取f2p的中點(diǎn)m，則opof22om. 又由已知得omf2p0，omf2p. 又om為f2f1p的中位線，f1ppf2. 在pf1f2中， 2a|pf1| |pf2| (3 1)|pf2| ，2c2|pf2|. e23131. 7p為雙曲線x29y216 1 的右支上一點(diǎn)，m、n分別是圓 (x5)2y24 和(x 5)2y21上的點(diǎn)，則 |pm| |pn| 的最大值為( )

21、 a6 b 7 c 8 d 9 答案d 解析設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為f1、f2，則其分別為已知兩圓的圓心，由已知 |pf1| |pf2| 236. 要使 |pm| |pn| 最大，需pm，pn分別過(guò)f1、f2點(diǎn)即可(|pm| |pn|)max(|pf1| 2) (|pf2| 1) |pf1| |pf2| 39. 8 已知函數(shù)f(x) 1xx22x33x44x2 0132 013，g(x) 1xx22x33x44x2 0132 013，設(shè)f(x) f(x4)g(x4)，且函數(shù)f(x) 的零點(diǎn)在區(qū)間 a 1，a 或 b1，b(a0，x 1 時(shí)，f(x) 2 0130. f(x) 在 r上單調(diào)遞增

22、又f(0) 1，f(1) (11) 121312 01212 0130，f(x) 在 1,0 內(nèi)有唯一零點(diǎn)，故f(x4) 的唯一零點(diǎn)在 5， 4 內(nèi)同理g(x4) 的唯一零點(diǎn)在 5,6內(nèi)，因此，b6，a 4，ab2. 二、填空題9 設(shè)f(x) 是定義在r上的單調(diào)增函數(shù)， 若f(1axx2) f(2 a) 對(duì)任意a 1,1 恒成立，則x的取值范圍為_(kāi)答案x 1 或x0 解析f(x) 在 r上是增函數(shù)，由f(1 axx2) f(2 a) 可得 1axx22a，a 1,1 a(x 1) x21 0，對(duì)a 1,1 恒成立令g(a) (x1)ax21. 則當(dāng)且僅當(dāng)g( 1) x2x20，g(1) x2x

23、 0，解之，得x0 或x 1. 故實(shí)數(shù)x的取值范圍為x 1 或x0. 10在 rtabc中，c2，a，b，c分別為角a，b，c所對(duì)的邊，r，s分別表示它的內(nèi)切圓半徑和面積，則crs的取值范圍是_答案222,1) 解析由題意，得s12ab12c2sin asin b，r12(abc) 12c(sin asin b1) ，從而crssin asin b1sin asin b，設(shè) sin asin bt，則 sin asin b12(t21) ，crs2t1t212t1，因?yàn)閍b2，所以tsin asin b2sina4(1，2 所以crs的取值范圍是222,1) 11 如果函數(shù)f(x) x2ax2 在區(qū)間 0,1 上至少有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案a3 解析由題意，知關(guān)于x的方程x2ax20 在0,