2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）考點(diǎn)16 二次函數(shù)與冪函數(shù)（解析版）

1、考點(diǎn)16 二次函數(shù)與冪函數(shù)【命題解讀】二次函數(shù)為基本考察對(duì)象，以絕對(duì)值或分段函數(shù)的呈現(xiàn)方式，與不等式相結(jié)合，考查函數(shù)的基本性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性與最值、函數(shù)與方程（零點(diǎn)）、不等式的解法等，考查數(shù)學(xué)式子變形的能力、運(yùn)算求解能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.其中函數(shù)與方程考查頻率較高.涉及函數(shù)性質(zhì)的考查；【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】 1.冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，形如yx的函數(shù)稱(chēng)為冪函數(shù)，其中x是自變量，為常數(shù).(2)常見(jiàn)的五種冪函數(shù)的圖象(3)冪函數(shù)的性質(zhì)冪函數(shù)在(0，)上都有定義；當(dāng)>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)(1，1)和(0，0)，且在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)(1

2、，1)，且在(0，)上單調(diào)遞減.2.二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)ax2bxc(a0).頂點(diǎn)式：f(x)a(xm)2n(a0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n).零點(diǎn)式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2為f(x)的零點(diǎn).(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)yax2bxc(a>0)yax2bxc(a<0)圖象(拋物線)定義域R值域?qū)ΨQ(chēng)軸x頂點(diǎn)坐標(biāo)奇偶性當(dāng)b0時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)b0時(shí)是非奇非偶函數(shù)單調(diào)性在上是減函數(shù)；在上是增函數(shù)在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與拋物線的開(kāi)口方向和對(duì)稱(chēng)軸及給定區(qū)間的范圍有關(guān).2.若f(x)ax2b

3、xc(a0)，則當(dāng)時(shí)恒有f(x)>0；當(dāng)時(shí)，恒有f(x)<0.3.(1)冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限；(2)冪函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1，1)，如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).1、冪函數(shù)yf(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4，2)，則冪函數(shù)yf(x)的大致圖象是()【答案】C【解析】(1)設(shè)冪函數(shù)的解析式為yx，因?yàn)閮绾瘮?shù)yf(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4，2)，所以24，解得.所以y，其定義域?yàn)?，)，且是增函數(shù)，當(dāng)0<x<1時(shí)，其圖象在直線yx的上方，對(duì)照選項(xiàng)，C正確.2、已知a，b，cR，函數(shù)f (x)ax2bxc.若f (0)f (4)>f

4、 (1)，則()Aa>0,4ab0Ba<0,4ab0Ca>0,2ab0Da<0,2ab0【答案】A【解析】由f (0)f (4)，得f (x)ax2bxc圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x2，4ab0，又f (0)>f (1)，f (4)>f (1)，f (x)先減后增，于是a>0，故選A3、若二次函數(shù)ykx24x2在區(qū)間1，2上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A2，) B(2，)C(，0) D(，2)【答案】A【解析】二次函數(shù)ykx24x2的對(duì)稱(chēng)軸為x，當(dāng)k>0時(shí)，要使函數(shù)ykx24x2在區(qū)間1，2上是增函數(shù)，只需1，解得k2.當(dāng)k<0時(shí)，<

5、0，此時(shí)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間1，2的左側(cè)，該函數(shù)ykx24x2在區(qū)間1，2上是減函數(shù)，不符合要求綜上可得實(shí)數(shù)k的取值范圍是2，)4、若函數(shù)yx23x4的定義域?yàn)?，m，值域?yàn)椋瑒tm的取值范圍為()A(0，4 B.C. D.【答案】C【解析】yx23x4的定義域?yàn)?，m，顯然，在x0時(shí)，y4，又值域?yàn)?，根?jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性知m3，故選C.5、不等式x2+a|x|+40對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A0，+）B4，+）C4，4D（，4【答案】B【解析】f（x）x2+a|x|+4為偶函數(shù)；當(dāng)a0，x0時(shí)，函數(shù)化為f（x）x2+ax+4，對(duì)稱(chēng)軸x0，f（0）40，不等式恒成立；當(dāng)a0

6、時(shí)，x0時(shí)，函數(shù)化為f（x）x2+ax+4，可得a2160顯然成立解得4a0，綜上a4，+）故選：B.6、(2017徐州、連云港、宿遷三檢）已知對(duì)于任意的，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 【答案】 【解析】 當(dāng)，即，時(shí)，滿足題意；當(dāng)，即，或時(shí)，則，解之得，所以，又因?yàn)榛?，所以，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為?？枷蛞粌绾瘮?shù)的圖像與性質(zhì)1冪函數(shù)yf(x)的圖像過(guò)點(diǎn)(4,2)，則冪函數(shù)yf(x)的解析式為_(kāi)2圖中曲線是冪函數(shù)yx在第一象限的圖像已知取±2，±四個(gè)值，則相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的值依次為_(kāi)3已知函數(shù)f(x)(m2m1)x5m3，m為何值時(shí)，f(x)是冪函數(shù)，且在(0，

7、)上是增函數(shù)？【答案】（1）（2） 2，2（3）m1【解析】（1）令f(x)x，則42，（2）：2，2（3）函數(shù)f(x)(m2m1)x5m3是冪函數(shù)，m2m11，解得m2或m1當(dāng)m2時(shí)，5m313，函數(shù)yx13在(0，)上是減函數(shù)；當(dāng)m1時(shí)，5m32，函數(shù)yx2在(0，)上是增函數(shù)m1變式1、已知冪函數(shù)f(x)(n22n2)x(nZ)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且在(0，)上是減函數(shù)，則n的值為()A3B1C2 D1或2【答案】B【解析】?jī)绾瘮?shù)f(x)(n22n2)x在(0，)上是減函數(shù)，n1，又n1時(shí)，f(x)x2的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故n1.故選B.變式2、若a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系是()

8、Aa<b<c Bc<a<bCb<c<a Db<a<c【答案】D【解析】因?yàn)閥x在第一象限內(nèi)是增函數(shù)，所以a>b，因?yàn)閥是減函數(shù)，所以a<c，所以b<a<c.故選D.方法總結(jié)：(1)冪函數(shù)的形式是yx(R)，其中只有一個(gè)參數(shù)，因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式(2)在區(qū)間(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡(jiǎn)記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1，)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸(3)在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，準(zhǔn)確掌握各個(gè)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵考向二

9、 一元二次函數(shù)的解析式例2、（2）設(shè)abc0，二次函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象可能是_(填序號(hào))（2）已知函數(shù)f(x)x2mx1，若對(duì)于任意xm，m1，都有f(x)<0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_（3）已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式【解析】（1）由知，f(0)c0abc0，ab0，對(duì)稱(chēng)軸x0，知，錯(cuò)誤，符合要求由知f(0)c0，ab0，x0，錯(cuò)誤（2）作出二次函數(shù)f(x)的草圖，對(duì)于任意xm，m1，都有f(x)0，則有即解得m0（3）法一(利用一般式)：設(shè)f(x)ax2bxc(a0)由題意得解得所求二次函數(shù)為f(x)4x

10、24x7法二(利用頂點(diǎn)式)：設(shè)f(x)a(xm)2nf(2)f(1)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為xm又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，n8yf(x)a28f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7法三(利用零點(diǎn)式)：由已知f(x)10兩根為x12，x21，故可設(shè)f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1又函數(shù)有最大值ymax8，即8解得a4或a0(舍)所求函數(shù)的解析式為f(x)4x24x7變式1變式、已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4，3)，它在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2，并且對(duì)任意xR，都有f(2x)f(2x)，則f(x)_.【答案】x24x3【解析】因?yàn)閒(2x)f(2x)對(duì)xR

11、恒成立，所以yf(x)的圖象關(guān)于x2對(duì)稱(chēng).又yf(x)的圖象在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2，所以f(x)0的兩根為21或23.所以二次函數(shù)f(x)與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)和(3，0).因此設(shè)f(x)a(x1)(x3).又點(diǎn)(4，3)在yf(x)的圖象上，所以3a3，則a1.故f(x)(x1)(x3)x24x3方法總結(jié)：求二次函數(shù)的解析式，一般用待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是根據(jù)已知條件恰當(dāng)選擇二次函數(shù)解析式的形式，一般選擇規(guī)律如下：考向三 根的分布問(wèn)題例3、(2019蘇州期末）、已知函數(shù)（1）若的兩個(gè)零點(diǎn)均小于2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）方程在上有且只有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析 （1）由題意，

12、等價(jià)于，解得或（2）當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上有且只有一個(gè)實(shí)根，得；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)有，舍去；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)有或，舍去，綜上：變式1、(2017蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研） 已知函數(shù)，若有一個(gè)小于1與一個(gè)大于2的兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 【答案】解析 由題意，等價(jià)于，解得變式2、 已知函數(shù)，方程在上有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析1 當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上有且只有一個(gè)實(shí)根，得；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)有，舍去；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)有或，舍去，當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上有兩個(gè)實(shí)根，無(wú)解；綜上：解析2 方程即為，因?yàn)闀r(shí)，于是，令，設(shè)，即，所以在上單調(diào)遞增，所以變式3、(2019常州期末）若方程至少有一個(gè)正根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 【答案】解析1 記，當(dāng)

13、時(shí)，解得，不符合條件；當(dāng)時(shí)，（）當(dāng)只有一個(gè)正根，且0不是它的根，則有或，解得；（）當(dāng)有兩個(gè)不等正根，則，此時(shí)無(wú)解，綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是解析2 因?yàn)轱@然不適合方程，于是問(wèn)題等價(jià)于至少有一個(gè)正根，記，所以在上遞增，且，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是方法總結(jié)：對(duì)于一元二次函數(shù)根的分布問(wèn)題，主要就是根據(jù)條件正確列出等價(jià)條件。可以從一元二次函數(shù)的開(kāi)口、對(duì)稱(chēng)軸和關(guān)鍵的點(diǎn)等入手?？枷蛩?一元二次函數(shù)的最值問(wèn)題例4、已知函數(shù)y4x212x3當(dāng)xR時(shí)，值域?yàn)開(kāi)；當(dāng)x2，3時(shí)，值域?yàn)開(kāi)；當(dāng)x1，5時(shí)，值域?yàn)開(kāi)2若函數(shù)yx22x3在區(qū)間0，m上有最大值3，最小值2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍3求函數(shù)f(x)x22ax在區(qū)間0，

14、1上的最小值【解析】：1因?yàn)閥4x212x346，所以當(dāng)xR時(shí)，值域?yàn)?，)；當(dāng)x2，3時(shí)，2，3，根據(jù)函數(shù)圖象知函數(shù)在區(qū)間2，3上單調(diào)遞增，故當(dāng)x2時(shí)，y取得最小值5，當(dāng)x3時(shí)，y取得最大值3，則值域?yàn)?，3當(dāng)x1，5時(shí)，1，5，則當(dāng)x時(shí)，y取得最小值6，當(dāng)x5時(shí)，y取得最大值43，故值域?yàn)?，432作出函數(shù)yx22x3的圖象如圖由圖象可知，要使函數(shù)在0，m上取得最小值2，則10，m，從而m1，當(dāng)x0時(shí)，y3；當(dāng)x2時(shí)，y3，所以要使函數(shù)取得最大值為3，則m2，故所求m的取值范圍為1，23f(x)x22ax(xa)2a2，對(duì)稱(chēng)軸為xa(1)當(dāng)a0時(shí)，f(x)在0，1上是增函數(shù)，f(x)min

15、f(0)0(2)當(dāng)0a1時(shí)，f(x)minf(a)a2(3)當(dāng)a1時(shí)，f(x)在0，1上是減函數(shù)，f(x)minf(1)12a，綜上所述，f(x)min變式1、（2019年泰州中學(xué)期末試題）求二次函數(shù)在區(qū)間上的最大值【解析】 ，對(duì)稱(chēng)軸為當(dāng)時(shí)（）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，；（）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，；（）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，綜上所述，變式2、函數(shù)f(x)x24x1在區(qū)間t，t1(tR)上的最大值為g(t)(1)求g(t)的解析式；(2)求g(t)的最大值【解】(1)f(x)x24x1(x2)23.當(dāng)t1<2，即t<1時(shí)，f(x)在區(qū)間t，t1上為增函數(shù)，g(t)f(t1)t22t2；當(dāng)t2t

16、1，即1t2時(shí)，g(t)f(2)3；當(dāng)t>2時(shí)，f(x)在區(qū)間t，t1上為減函數(shù)，g(t)f(t)t24t1.綜上所述，g(t)(2)當(dāng)t<1時(shí)，g(t)t22t2(t1)23<3；當(dāng)1t2時(shí)，g(t)f(2)3；當(dāng)t>2時(shí)，g(t)t24t1(t2)23<3.g(t)的最大值為3.方法總結(jié)：二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題的解法：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對(duì)稱(chēng)軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的圖像和單調(diào)性，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間的左邊(包括端點(diǎn))、內(nèi)部和右邊(包括端點(diǎn))三種情況分類(lèi)討論即可獲解考向五 一元二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題例5、已知函數(shù)f

17、(x)x2x1，在區(qū)間1，1上，不等式f(x)>2xm恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_【答案】(，1)【解析】f(x)>2xm等價(jià)于x2x1>2xm，即x23x1m>0，令g(x)x23x1m，要使g(x)x23x1m>0在1，1上恒成立，只需使函數(shù)g(x)x23x1m在1，1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1，1上單調(diào)遞減，g(x)ming(1)m1.由m1>0，得m<1.因此滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，1)變式1、若t2kt10在t1，1上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍【解析】求二次函數(shù)f(t)t2kt1在給定區(qū)間上的最大值M，二次函數(shù)f(

18、t)的圖像的對(duì)稱(chēng)軸為直線t2k.當(dāng)2k1，1，即k時(shí)，Mf(1)或f(1)，由M0，得f(1)0且f(1)0，解得k，又k，故k；當(dāng)2k<1，即k<時(shí)，函數(shù)f(t)在2k，1上單調(diào)遞增，故Mf(1)k1，由M0，得k，又k<，故k<；當(dāng)2k>1，即k>時(shí)，函數(shù)f(t)在1，2k上單調(diào)遞減，故Mf(1)k1，由M0，得k，又k>，故<k.綜上知，實(shí)數(shù)k的取值范圍為.變式2、（蘇北四市、蘇中三市三調(diào)）已知函數(shù)，若對(duì)任意，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的值為 【答案】【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，解法1 由題意得，即在上恒成立，即，在上恒成立，所以 即在上

19、恒成立，所以，.解法2 .因?yàn)?，所?即 解得.方法總結(jié)：(1)、“任意-任意”型這類(lèi)問(wèn)題的表現(xiàn)形式為：，不等式成立.(2)、“任意-存在”型這類(lèi)問(wèn)題的表現(xiàn)形式有二：，等式成立. ，不等式成立.這種“任意-存在”型問(wèn)題的常見(jiàn)題型及具體轉(zhuǎn)化策略為：1、；2、；3、“存在-存在”型這類(lèi)問(wèn)題的表現(xiàn)形式有二：，等式成立. ，不等式成立.總結(jié)：這種雙主元的“存在-存在”型問(wèn)題的轉(zhuǎn)化策略為：1、（2020江蘇7）已知是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則的值是 【答案】【解析】是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則2、(2016全國(guó)III) 已知，則A B C D【答案】A【解析】因?yàn)?，且冪函?shù)在上單調(diào)遞增，指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故選A3、（2020浙江9）已知且，若在上恒成立，則（ ）ABCD【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，在上，恒成立，只需滿足恒成立，此時(shí)，由二次函數(shù)的圖象可知，只有時(shí)，滿足，不滿條件；當(dāng)時(shí)，在上，恒成立，只需滿足恒成立，此時(shí)當(dāng)兩根分別為和，（1）當(dāng)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，不恒成立，（2）當(dāng)時(shí)，此時(shí)，若滿足恒成立，只需滿足當(dāng)時(shí)，此時(shí)，滿足恒成立，綜上可知滿足在恒成立時(shí)，只有，故選C 4、(多選)已知函數(shù)f(x)|x22axb|(xR)，給出下列命題，其中是真命題的是()A若a2b0，則f(x)在區(qū)間a，)上是增函數(shù)B存在aR，使得f(x)為偶函數(shù)C若f(0)f(2)，則f(