讀懂“教材”之義把握“從教”之本(1)

1、 讀懂“教材”之義 打造“專業(yè)”之本 合肥工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué) 王 峰 郵編： 230011 曹才翰、章建躍認為“數(shù)學(xué)教學(xué)”最主要的是要把學(xué)生的基礎(chǔ)打好，使學(xué)生通過主動思維和有意義的學(xué)習(xí)掌握嚴肅、本質(zhì)的數(shù)學(xué)。堅實寬厚的基礎(chǔ)知識是良好適應(yīng)能力的根基，”。為此，教師在教學(xué)時必須幫助學(xué)生牢牢夯實教材中介紹的數(shù)學(xué)知識，但是由于高中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)知識大都用數(shù)學(xué)符號表述的，數(shù)學(xué)本質(zhì)往往被淹沒在形式化的海洋里，故教師在教學(xué)中有必要向?qū)W生講清楚數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的來龍去脈，但受教材篇幅及數(shù)學(xué)知識形成之曲折復(fù)雜等的原因 教材中的數(shù)學(xué)知識不可能一一清楚地再現(xiàn)當(dāng)初數(shù)學(xué)家發(fā)明數(shù)學(xué)從萌芽到完善的過程，從而使大多數(shù)數(shù)學(xué)知識

2、掩蓋了知識的發(fā)生發(fā)展過程，只能是以“學(xué)術(shù)形態(tài)”呈現(xiàn)的。 正如荷蘭著名的數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾說：“沒有一種數(shù)學(xué)思想以及被它發(fā)現(xiàn)時的那個樣子公開發(fā)表，一個問題被解決后，相應(yīng)地發(fā)展成一種形式化的技巧，結(jié)果把求解的過程丟在一邊，使得火熱的發(fā)明變成冰冷的美麗?！笔聦嵣?，我們教師的職責(zé)就是將教材中數(shù)學(xué)知識激活，這也是我們教師進行數(shù)學(xué)教學(xué)的基本任務(wù)，然而對此，很多教師卻意識不到這一點，輕知識重解題訓(xùn)練現(xiàn)象嚴重，而對學(xué)生思維能力提升必備的數(shù)學(xué)知識卻不加重視，其實，這是舍本逐末的做法，因為數(shù)學(xué)知識是思維的工具，試想：學(xué)生若沒有掌握系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)能力怎能提升？有道是：花崗巖上蓋茅草棚固然根基太過扎實，但豆腐

3、渣上蓋高樓大廈卻是萬萬不能的。對此，張奠宙教授既嚴肅又中肯地指出：“事實上，教師的職責(zé)就在于把人類幾千年積累的數(shù)學(xué)知識（冷飯）炒熱，加進自己的配料和佐料，滿腔熱忱地端上學(xué)生的精神餐桌。能把冷飯炒好，炒得一茬又一茬的學(xué)生愛吃，就是創(chuàng)新，就是好老師?！?為此，作為數(shù)學(xué)教師，在教學(xué)中不能是復(fù)制粘貼的行家里手，而應(yīng)該是二次開發(fā)教材的專家，通過“再加工”教材，使靜止的數(shù)學(xué)變?yōu)榛顒拥?、學(xué)生重新建構(gòu)的數(shù)學(xué)，試想：一個教師如果沒有讀透教材內(nèi)容之義，就知道“照本宣科”，掐頭去尾燒中段，學(xué)生哪有機會感受數(shù)學(xué)概念的探索和發(fā)現(xiàn)過程，從而學(xué)生也就不能真正體會到數(shù)學(xué)是渾然天成的產(chǎn)物，由此可認為這樣的教師就不怎么專業(yè)，至少

4、不會成為一流的教師，充其量是二流或三流的教師。所以要想成為一流的數(shù)學(xué)教師，具有“再加工”教材的能力不可或缺，這是我們教師從教之本,根深才能葉茂，只有這樣，教學(xué)才能揮灑自如，游刃有余，教學(xué)不斷地突破常規(guī)走向創(chuàng)新，不斷地追求教學(xué)的藝術(shù)化效果，這將必然會大大促進教學(xué)能力的提升。 一、讀懂“概念”本質(zhì) 李邦河院士說：“數(shù)學(xué)是玩概念的。理由是數(shù)學(xué)概念是后續(xù)概念、公式、定理、重要結(jié)論等數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的“根”，理應(yīng)在教學(xué)中受到重視，但是受應(yīng)試教育的影響，急功近利的現(xiàn)象比較嚴重，為了多擠占一些時間讓學(xué)生多見題型，壓縮了數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的探究過程，特別是數(shù)學(xué)概念教學(xué)沖擊最大，誤認為數(shù)學(xué)概念都是人為規(guī)定的，死東西，比較

5、簡單，沒有什么好理解的，于是對著教材讓學(xué)生勾一勾、劃一劃、記一記，就草草收兵了，于是就轉(zhuǎn)入大量的習(xí)題訓(xùn)練，在“題海戰(zhàn)術(shù)”中強化概念的掌握，但作為教師必須清楚認識到學(xué)生雖能在解題中也能運用剛學(xué)過的數(shù)學(xué)概念解決一些相關(guān)的試題，但往往解決的是直接運用概念的問題，只是涉及概念是什么的問題，一旦涉及數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的問題，就會因不明白概念的來龍去脈而無所適從。 案例1：關(guān)于直線傾斜角的概念的教學(xué)，教師往往采用告訴的方法直接拋出其定義內(nèi)容，讓學(xué)生死記硬背，學(xué)生也能找出給定直線的傾斜角，但由此就能說明學(xué)生理解傾斜角了嗎？筆者認為這遠遠不夠，因為對于在直線的學(xué)習(xí)中為什么要引入“傾斜角”這個概念？又有幾個教師深入思

6、考過這個問題？為什么對于學(xué)生熟悉的“兩點確定一條直線”不加重視？卻轉(zhuǎn)而考慮利用“一點與直線的方向”去確定直線？如果教師不將這些問題不搞清楚，就只能是見樹木不見森林，學(xué)生缺乏對教材的整體把握，況且學(xué)生也不清楚為何要學(xué)習(xí)這個概念？于是學(xué)生對概念學(xué)習(xí)的必要性與重要性認識不足，學(xué)習(xí)的動力與興趣從何而來？學(xué)生到頭來學(xué)生學(xué)到的僅僅是孤零零的一個個概念而已，數(shù)學(xué)素養(yǎng)怎能得到有效提升？筆者認為，要想解決為什么教材要介紹傾斜角這個概念？并非易事，對此筆者思考一段時間，終于有了清晰的認識，現(xiàn)與大家分享： 問題1：幾何學(xué)是研究什么的一門學(xué)科？（圖形的位置、大小、形狀） 問題2：直線是平面幾何中最基本最簡單的圖形，其

7、位置、大小、形狀如何確定？ 教師引導(dǎo)學(xué)生分析：位置確定-兩點確定或一點和方向；大小是不可度量的，但可以沿著一個確定的方向無限地延展下去；形狀是直的，這個“直”該如何描述呢？“直”的含義是方向不變，即任意兩點確定的直線方向是同一方向，不轉(zhuǎn)彎的。 問題3：綜合上述分析知，刻畫“直線”所需要的哪個要素出現(xiàn)頻率最高？（“方向”不言自明，于是尋找刻畫“直線方向”的量便提到日程上來了。） 問題4：結(jié)合生活經(jīng)驗知，如何確定一個物體的“方向”？（確定參照物，如東西方向、南北方向等） 問題5：參照直線該如何確定？（以“大家熟知的、方便判斷、不需要再確定”為原則，引導(dǎo)學(xué)生想到將直線放在直角坐標系中研究，是最佳選擇

8、?。?問題:6：在直角坐標系中，直線方向的確定，優(yōu)先選擇哪條直線作為參照物呢？（若以軸為參照物，怎么樣？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其弊端，然后以軸為參照物呢？于是“傾斜角”的概念便呼之欲出了。） 通過“傾斜角”這個概念教學(xué)的案例展示，學(xué)生可真正感受到“傾斜角”看似簡單，實則不平凡，引入它是為了更好地體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)，同時也說明了數(shù)學(xué)家發(fā)明每一個數(shù)學(xué)概念的來之不易，彰顯了數(shù)學(xué)家的獨具匠心，從而也使學(xué)生認識到數(shù)學(xué)概念不是數(shù)學(xué)家憑空臆造的，而是富有生活情趣，滿接地氣的，不僅是清楚的，而且是自然的，如果在教學(xué)中對于概念教學(xué)就像上述“傾斜角”的教學(xué)一樣，揭示其產(chǎn)生的來龍去脈，這將必極大地調(diào)動學(xué)生參與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極

9、性與主動性，教學(xué)效果好是情理之中的事。 二、讀懂“公式”由來 數(shù)學(xué)公式是數(shù)學(xué)運算的依據(jù)，是提升學(xué)生運算求解能力的重要抓手，公式掌握得是否牢靠將直接影響著學(xué)生運算的速度與準確度，故掌握公式的由來、形式特點、適用范圍及作用顯得尤為重要。有些教師可能會認為數(shù)學(xué)公式是用來解決問題的，解決問題時，直接套用就可以了，沒有必要過多重視公式的由來，正是基于此錯誤認識，很多教師在時間緊、任務(wù)繁重的情況下，對于數(shù)學(xué)公式的學(xué)習(xí)只是輕描淡寫地處理一下，充其量用一種學(xué)生不易想到的技巧性方法給予推導(dǎo)一下，就了事了，接著大談其應(yīng)用。但是這樣的教學(xué)，由于學(xué)生沒有積極參與構(gòu)建公式由來的過程，心理上就不容易接納一個不了解的新面孔

10、，怎能談得上欣然接受并主動運用呢？哪來的興趣呢？其實，更為重要的是，公式的探究過程就是求解這類問題求解的思維過程，有多少種推導(dǎo)方法，就有多少種求解思路。試想：如果學(xué)生腦子里裝的都是一些不清楚如何而來的數(shù)學(xué)公式，那么處理問題的思維能力就無從談起了。 案例2：對于點到直線的距離公式的教學(xué)。針對此公式的獲得，由于三角函數(shù)在必修4中，暫時未學(xué)，我就按照學(xué)生的認知水平設(shè)計如下：設(shè)直線（、不全為零），求點到直線的距離。 首先，引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)的思想求解之，即設(shè)為上任一點，且，則點到直線的距離就是，課堂上我給學(xué)生留20分鐘讓學(xué)生自主處理，結(jié)果沒有一個學(xué)生求解出來，其實，對于這種思路對于我們教師而言也是燙手山

11、芋，主要原因是式子繁瑣，眼花繚亂的，很難做下去，學(xué)生也是這樣認為，于是學(xué)生一致要求老師給他們來做一做，此時此景，我只好該出手時就出手，解答如下： 因為點在直線上，所以 所以因為,所以,故。容易驗證，直線斜率不存在時，上式也成立。 當(dāng)我展示出上述的推導(dǎo)過程時，教室里立即響起了雷鳴般的掌聲，這掌聲意味著什么，我認為至少一下幾點可以予以肯定：（1）老師不怕困難，敢于迎難而上的精神感染了學(xué)生，為學(xué)生樹立了榜樣，以后在遇到繁雜的運算，學(xué)生就有了堅定的信念；（2）正因為此方法不是最優(yōu)的，才促使我們有必要繼續(xù)尋找更加合理的解決辦法（課后，請學(xué)生按照教材介紹的思路推證：先求過點與定直線的直線方程，并與定直線的

12、方程聯(lián)立，求出交點坐標，再求兩點間的距離，即可。課后反饋知，學(xué)生解決得很好!印證了教師榜樣的力量是無窮的道理）；（3）利用函數(shù)思想處理，也是對剛學(xué)過的必修1函數(shù)知識的鞏固與運用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的應(yīng)用意識；（4）此法雖然看來笨拙，但是以學(xué)生的認知能力為解題的起點，符合學(xué)生的認知規(guī)律，無疑是有效教學(xué)的必然選擇。 由此看出，讀懂公式之義不是教會學(xué)生會套用公式就達到目的的，而是通過對公式推導(dǎo)過程的探究過程，使學(xué)生明白了處理此類問題的求解方法，這遠遠比只會讓學(xué)生熟練套用公式求解問題的教學(xué)意義深遠。 三、讀懂“定理”地位 教材中之所以將有些數(shù)學(xué)事實確定為定理，是經(jīng)過教材編寫者經(jīng)過反復(fù)斟酌的結(jié)果，為什么將

13、這個結(jié)論確定為定理，而不將那個結(jié)論確定為定理？這些問題都是值得我們教師在備課時必須思考的問題，然而事實上，我們教師在定理教學(xué)時卻很少思考這些問題，把主要精力用在定理推證與應(yīng)用上，雖然課堂上也講了不少例題，課后學(xué)生運用定理分析問題與解決問題的思路依然不清晰，究其原因，筆者認為學(xué)生雖然記住了課堂上教師講的定理，但沒有將定理融入與“定理”有關(guān)的性質(zhì)體系中，不清楚“定理”是一類事物性質(zhì)的核心，起著橋梁與樞紐的作用。 案例3：立體幾何中，為何將“如果一條直線與一個平面平行，那么過這條直線的平面與已知平面相交，則這條直線與交線平行?！贝_定為線面平行的性質(zhì)定理，而不將諸如“如果一條直線與一個平面平行，則這條

14、直線上任一點到這個平面的距離都相等。”“如果一條直線與一個平面平行，且直線與這個平面垂直，那么則”等等。教師在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生探究這些結(jié)論的證明時，往往離不開“性質(zhì)定理”，于是就感受到孰輕孰重，自然分明，將哪個結(jié)論作為“定理”不是編者說了算，而是經(jīng)過層層選拔的結(jié)果，決勝的結(jié)果，看誰的本事大，能力強，能勝任“定理”，能做到名副其實，大家口服心服，今后工作就能得以順利開展。 因此在教學(xué)中，如果教師不遺余力地引導(dǎo)學(xué)生探究“定理”之所以能成為“定理”的緣由，那么學(xué)生心里上就產(chǎn)生有一種“敬畏之心”，原來如此，“定理”的桂冠并不是隨便戴上的，其肩負著責(zé)任與使命，讓學(xué)生深深感受到“定理”的魅力四射，既然如此

15、重要，學(xué)生就會打心眼里將它們記住，掌握好，這是一種發(fā)自內(nèi)心的自覺行動，學(xué)習(xí)效果事半功倍，教學(xué)時看似低效，但從學(xué)生思維能力與興趣培養(yǎng)上，實則高效。四、 讀懂“例題”價值 例題教學(xué)是一線教師的拿手好戲，但老師在講解例題時，大都講操作過程的多，思路形成分析的少，就題論題的多，教想法的少。既然教材將這些題作為例題對待，編者肯定有其用意，作為教師要認真鉆研教材，揣摩編者意圖，弄清楚本節(jié)例題旨在著重培養(yǎng)學(xué)生哪方面的能力，有針對性地進行例題教學(xué)，教學(xué)效果就會談得上有效。 案例4：解題教學(xué)不僅僅是教師展示解法的教學(xué)，最為重要的是揭示解法成因的教學(xué)，即為什么想到要這樣做？不少教師卻認識不到這一點，就題講題現(xiàn)象比

16、較普遍，筆者認為之所以出現(xiàn)這種現(xiàn)象，主要是因為有些題目的解法成因比較隱蔽，難以釋疑，不易講清楚，故教師干脆避而不談，一滑而過，讓學(xué)生記住解題的套路即可，然而由于這種“知其然而不知所以然”的教學(xué)缺少思維的展示，學(xué)生得到的只是解題的操作步驟而已，并沒有從根本上弄懂為什么這樣解答的緣由，故這樣的教學(xué)不是真正的數(shù)學(xué)教學(xué)。為了改變這種不良現(xiàn)狀，教師必須對解題教學(xué)中遇到感到困惑的“解法成因”搞清楚，否則怎么談上高質(zhì)量的解題教學(xué)？例如， 在學(xué)習(xí)“圓”時，不少教輔資料上都會出現(xiàn)形如“若滿足則的最大值與最小值分別是”的題目，對于這類問題我們常常使用“法”處理，即設(shè)，則將此式代入整理得（），因為方程（）有實數(shù)解，

17、所以解得，故的最大值為10，最小值是0。對于此解法，善于思考的師生卻心存疑慮，認為上述解答只利用得出的最值，理由不夠充分？因為對圓而言，其方程中隱含著，由此可知方程（）不僅有實數(shù)解，而且在區(qū)間上有實數(shù)解，然而只是一元二次方程在實數(shù)集的一個真子集上有實數(shù)解的必要條件，并非充要條件，故上述解答不一定是正確，但為何解答的結(jié)果正確呢?是巧合，還是必然？這一困惑問題引起筆者的深思，經(jīng)過一番研究，我終于發(fā)現(xiàn)了玄機所在，就將這一研究成果撰寫成文是解答疏忽還是不必要考慮，很快就被中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考錄用，于2012年10月發(fā)表在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考上。五、讀懂“文化”內(nèi)涵我國數(shù)學(xué)權(quán)威葉中豪先生認為：“數(shù)學(xué)是一種文化，

18、而文化就是要被繼承的東西。”因此“讓數(shù)學(xué)走文化之路，還數(shù)學(xué)之文化面目”應(yīng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的追求目標。然而，當(dāng)前我們只是把數(shù)學(xué)當(dāng)作一種工具，數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容就是解題技術(shù)與題型研究，把生動活潑的數(shù)學(xué)變成了一種程序化的東西，變成了應(yīng)試教育的產(chǎn)物。只知道數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)知識的“倉庫”，而不清楚該“倉庫”里蘊藏著相當(dāng)豐富而深刻的文化內(nèi)涵，可以說教學(xué)中的文化缺失是當(dāng)今高中數(shù)學(xué)教學(xué)的軟肋，從而導(dǎo)致高中數(shù)學(xué)教學(xué)的教和學(xué)喪失了數(shù)學(xué)的靈魂-數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵，在這種模式下的教學(xué)，學(xué)生得到的往往是數(shù)學(xué)的“殼”，丟掉的卻是數(shù)學(xué)的“核”，可數(shù)學(xué)大師就不一樣了，大家知道，學(xué)生非常喜歡數(shù)學(xué)大師的課，數(shù)學(xué)大師的高明之處在于沒有枯燥的、簡單的說教

19、，而是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程中悄然領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想、人生哲學(xué)、數(shù)學(xué)精神、理性育人、理性解決問題等，感受數(shù)學(xué)的魅力，數(shù)學(xué)大師之所以把數(shù)學(xué)教活，是因為有較高的數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)，因此挖掘數(shù)學(xué)文化成為教師的職責(zé)。 但是，由于“數(shù)學(xué)文化”的價值并未直接顯現(xiàn)在教材中，有其“含蓄性”，它蘊含在數(shù)學(xué)知識中，通過數(shù)學(xué)教師的教學(xué)才能體現(xiàn)出來。不過，一提到數(shù)學(xué)文化，不少教師一頭霧水，無所適從，誤認為數(shù)學(xué)文化就是數(shù)學(xué)史知識，甚至有的認為就是指中國古代問題，這種將數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史混為一談的教育存在片面理解的現(xiàn)象比較普遍。事實上，挖掘教材從文化的角度審視數(shù)學(xué)，讓學(xué)生跨越數(shù)學(xué)文化時空，感知數(shù)學(xué)文化的淵源和數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新理念，這種

20、與數(shù)學(xué)內(nèi)容的自然融合，引導(dǎo)學(xué)生逐漸認清數(shù)學(xué)文化之價值的真諦，慢慢掌握事物的本質(zhì)，努力摸清數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，才是真正意義上的數(shù)學(xué)文化，不僅會激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，更能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得融入社會生活的寶貴經(jīng)驗。例如，在“數(shù)系的擴充”的教學(xué)中，關(guān)于虛數(shù)單位的引入，我們教師往往是直接告訴的多，先哲究竟怎么想到引入它的，教師分析得少，學(xué)生被動接受得多，結(jié)果學(xué)生感到莫名其妙，知其然不知所以然，這種教學(xué)純粹是數(shù)學(xué)知識的灌輸，教材內(nèi)容體現(xiàn)的數(shù)學(xué)文化蕩然無存，數(shù)學(xué)教學(xué)育人就成為一句空話。 筆者認為教學(xué)中要講清楚虛數(shù)單位的引入的背景與意義，充分地讓學(xué)生體會到的真正價值。 對此，筆者教學(xué)時，可采取如下設(shè)計：先讓學(xué)生寫出幾個在實數(shù)范圍內(nèi)無解的一元二次方程，如等，然后讓學(xué)生找一找在實數(shù)集中算不下去的原因：在實數(shù)范圍內(nèi)，負數(shù)不能開平方。接著教師追問學(xué)生：怎么解決這個共性問題呢？學(xué)生自然想到：只要負數(shù)有平方根就可以了。師追問：負數(shù)有無數(shù)多個，我們有兩種策略，一種是“各自為政”，這顯然不便我們解決問題；另一種是“統(tǒng)一標準”，于是我們想到了基本的負數(shù)“”，因為任何一個負數(shù)都可以寫成的形式，因為正數(shù)的平方根學(xué)過，故只要處理好“”的平方根就“任意負數(shù)的平方根”問題就迎刃而解了，這樣一來，針對上述三個方程中，不管右邊是什么負數(shù)，只要把它的絕對值除到等號左邊去，然后再放到括號里去，上