《連續(xù)體力學(xué)》解答1

1、1 歐氏矢量空間 正交 變換 張量(一) 概念、理論和公式提要1-1 歐氏矢量空間 基和基矢 (1) 歐氏矢量空間 滿足下列條件的矢量集合稱為實(shí)的矢量空間，記作中的每一個(gè)矢量，例如的一個(gè)元素： (a) (b) ，存在一個(gè)反元素，使得 (c) 對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有 滿足下列條件的實(shí)矢量空間稱為歐氏矢量空間(Euclidean vector space)，記作： (a) 對(duì)，它具有下列性質(zhì)： (1-1-1) (1-1-2)等號(hào)只當(dāng)時(shí)成立。 (b) 對(duì)任意實(shí)數(shù)等，有 (1-1-3)(c) ，并定義為 （1-1-4）的正方根。如果為單位矢量。 如果正交。 (2) 基 正交基 (a) 空間內(nèi)線性無(wú)關(guān)矢量的最

2、大個(gè)數(shù)記為。由于連續(xù)體占有三維物理空間，所以我們一般地是在三維物理空間內(nèi)討論問(wèn)題。 (6) 在內(nèi)，定義 (1-1-5) (1-1-6)式中的方向；通常采用右手螺旋法則確定符合右手法則，且所在平面；所以的矢量，其指向由右手法則確定。稱的叉積。由式(1-1-6)可得 (1-1-7) (1-1-8) (c) 當(dāng)三個(gè)相互正交的單位矢形成右手三元系時(shí)，有 (1-1-9)其中左側(cè)三式的角標(biāo)按順序1、2、3排列，稱為順循環(huán)；右側(cè)三式的角標(biāo)為逆1、2、3順序排列，稱為逆順環(huán)。 (d) ，構(gòu)成一個(gè)基(或基矢系)，記作都可表示成的唯一的線性組合 (1-1-10)內(nèi)可以選取無(wú)限多個(gè)基，各個(gè)基之間有一定的變換關(guān)系，因

3、此只有一個(gè)基是獨(dú)立的。 (e) 在應(yīng)用中，選用的基總是同選定的坐標(biāo)系相關(guān)連的，不同的坐標(biāo)系有不同的基。在中，最簡(jiǎn)單的基是與笛卡爾坐標(biāo)系相關(guān)連的，它由三個(gè)相互正交的單位基矢構(gòu)成，而且是固定不變的。今后我們用表示笛卡爾坐標(biāo)系的基。1-2 字母指標(biāo)法 (1) 在力學(xué)中有很多量要用一組標(biāo)量才能描述，這組量中的每一個(gè)稱為該力學(xué)量的分量。這些分量都與所選用的空間的基密切相關(guān)，亦即與所選用的坐標(biāo)系密切相關(guān)。在張量表述中，將力學(xué)量的所有分量用同一個(gè)符號(hào)或字母表示，而用指標(biāo)區(qū)分各個(gè)分量。例如，在內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)用表示，簡(jiǎn)記為等，此處是用字母表示的指標(biāo)，稱為字母指標(biāo)；這種表示力學(xué)量的方法稱為字母指標(biāo)法。 (2) 啞指標(biāo)

4、 求和約定 同項(xiàng)中重復(fù)出現(xiàn)二次的字母指標(biāo)稱為啞指標(biāo)，它表示將該指標(biāo)依次取值1、2、3(設(shè)在內(nèi))時(shí)所得各項(xiàng)之和，而省去求和記號(hào)這就是求和約定。啞指標(biāo)簡(jiǎn)稱為啞標(biāo)，又可稱為求和指標(biāo)或偽標(biāo)；啞標(biāo)可任意改變字母，例如可以寫(xiě)作等。 (3) 自由指標(biāo) 同項(xiàng)中只出現(xiàn)一次的指標(biāo)稱為自由指標(biāo)。自由指標(biāo)表示一般的項(xiàng)，該指標(biāo)可取1、2、3中的任何一個(gè)。同一方程中各項(xiàng)的自由指標(biāo)必須相同。1-3 Kronecker    置換符號(hào) (1) Kronecker    符號(hào)表示九個(gè)數(shù)，并且規(guī)定 (1-3-1)如上規(guī)定的稱為Kronecker

5、60; 。同另一帶字母指標(biāo)的量(包括自身)相乘，且有啞標(biāo)時(shí)，則將中的自由指標(biāo)代換被乘量中的啞標(biāo)。例如 (1-3-2) (1-3-3) (1-3-4)點(diǎn)的坐標(biāo)彼此獨(dú)立，所以有 (1-3-5)為9個(gè)量，則有 (1-3-6)當(dāng)時(shí)，上式變?yōu)?(1-3-7)對(duì)于笛卡爾坐標(biāo)系的基，按式(1-1-5)，有 (1-3-8)上式也可作為的定義。 (2) 置換符號(hào) 置換(或排列)符號(hào)用表示，它共有27個(gè)量，并規(guī)定 (1-3-9)在指標(biāo)中，每相鄰2個(gè)互換一次位置，改變一次正負(fù)號(hào)。由于相鄰指標(biāo)互換偶次位置不改變指標(biāo)的循環(huán)性質(zhì)，所以不改變的值；反之，相鄰指標(biāo)互換奇次位置，將改變正負(fù)號(hào)。例如 (1-3-10)

6、設(shè)是笛卡爾坐標(biāo)系(右手)的基，則按式(1-1-9)，并結(jié)合式(1-1-8)及(1-3-9)，可按基矢的叉積縮寫(xiě)成 (1-3-11)上式是式(1-1-9)的縮寫(xiě)式，式(1-1-9)則是上式的展開(kāi)式。 應(yīng)用置換符號(hào)，可以得到以下各式二矢量的叉積： (1-3-12)或 (1-3-13)三矢量的混合積： (1-3-14) (1-3-15)矩陣： (1-3-16) (1-3-17) 關(guān)系 (1-3-18) (1-3-19) (1-3-20)以及 (1-3-21)1-4 余弦變換矩陣 設(shè)是兩個(gè)笛卡爾坐標(biāo)系的基，且設(shè) (1-4-1)式中 (1-4-2)夾角的余弦。式(1-4-1)可寫(xiě)成矩陣形式 (1-4-3

7、) (1-4-4)稱為余弦變換矩陣。又設(shè) (1-4-5)或 (1-4-6) (1-4-7)由于逆，由式(1-4-3)可解出 (1-4-8)比較式(1-4-6)、(1-4-8)，并結(jié)合式(1-4-7)，可得 (1-4-9)為單位矩陣。上式表明為正交矩陣，即余弦變換矩陣是正交矩陣。由式(1-4-9)可得 (1-4-10)時(shí)，稱為正常正交變換矩陣，它對(duì)應(yīng)于基同為右手(或左手)系；時(shí)，稱為非正常正交變換矩陣，它對(duì)應(yīng)于分別是右(左)和左(右)手系。 由，易得 (1-4-11)1-5 張量及其坐標(biāo)變換 (1) 階基 笛卡爾坐標(biāo)系的基為，稱為一階基。記、分別為二階基、三階基，。設(shè)有雙指標(biāo)量，如果它們與二階基

8、矢的線性組合是坐標(biāo)系無(wú)關(guān)的，即有 (1-5-1)則稱的分量。照上類(lèi)推，設(shè) (1-5-2) (1-5-3)則分別稱為三階、四階、階張量；為張量的直接記法，或抽象記法或坐標(biāo)系不變性記法，而其分量與基矢的線性組合稱為張量的分量記法。 (2) 張量的坐標(biāo)變換公式 設(shè)，則張量相對(duì)于不同基的分量之間存在的關(guān)系為 (1-5-5)上式稱為張量分量的坐標(biāo)變換式。矢量(一階張量)、二階張量的坐標(biāo)變換式可寫(xiě)成矩陣形式 (1-5-6)式中的分量所構(gòu)成的矩陣，稱為相對(duì)于基的分量矩陣。 滿足式(1-5-5)坐標(biāo)變換式的張量稱為卡氏張量，。實(shí)際上，卡氏張量只是一種界定或約定的名稱，就張量本身來(lái)說(shuō)，它們是坐標(biāo)系不變性的。與卡

9、氏張量相對(duì)應(yīng)的是普遍張量，這是指在非笛卡爾基上張量的分量表示以及有關(guān)的運(yùn)算法則。(二) 習(xí)題和解答 1-1 已知 (a)試用指標(biāo)表示法證明由上式可解出 (b) 解 由題給關(guān)系式(a)，令，可得由上式可得將上式代入式(a)，得到由上式可解出證畢。 1-2 試寫(xiě)出下式的展開(kāi)式 解 上式的展開(kāi)式為 1-3 試寫(xiě)出下列各式的縮寫(xiě)(指標(biāo))式 (a) (b) (c)(d) 解 上列四式的縮寫(xiě)式分別為 (a) (b) (c) (d) 1-4 設(shè)是直角坐標(biāo)，說(shuō)明下列方程的幾意義 (a) ，  (b)  ，(c)   解 (a) ，這是一個(gè)平面 (b)

10、 的展開(kāi)式是式中，所以上式是一個(gè)半軸為的橢球，中心位在坐標(biāo)原點(diǎn)。 (c) 的展開(kāi)式是這是半徑為的球，球心在坐標(biāo)原點(diǎn)。 1-5 。試證在證明時(shí)可應(yīng)用下列兩個(gè)公式 (a) (b)式中的分量。 解 令矢量，則按式(b)有 (c)又由式(a)，有 (d)由式(c)和(d)，得到又，由此可證 1-6 試證 解 已知?，F(xiàn)在將的列作任意的調(diào)動(dòng)，從行列式理論可知，這不會(huì)改變的絕對(duì)值，只可能改變其正負(fù)號(hào)。只要改變后的列的順序?yàn)?、2、3的順循環(huán)，則符號(hào)不變，反之符號(hào)改變；或者說(shuō)，相鄰列調(diào)換偶次，符號(hào)不變，調(diào)換奇次，符號(hào)改變；因此可用符號(hào)的改變，從而有用，即得 1-7 若矩陣，試用上題結(jié)果證明 解 ；于是 1-8

11、 證明 解 由習(xí)題1-5式(b)及，可得式中，得到利用上題結(jié)果，可得證畢。在上式中令，易得有用公式在上式中令，得到最后可得 利用以上結(jié)果，可證 如果是二維空間，則可將置換符號(hào)寫(xiě)作，。 1-9 試推導(dǎo)矩陣的計(jì)算公式，并證明式中的元素。 解 記矩陣，則有 (a)又由為單位矩陣，可得 (b)比較式(a)與(b)可見(jiàn)，如果令 (c)則式(b)恒能滿足，因此式(c)就是求矩陣之逆的公式。式中的可表示成如下的代數(shù)余因子式所在的行和列后的行列式。又于是證畢。 1-10 寫(xiě)出下列三種情況所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)變換矩陣 (a) 坐標(biāo)系繞角(逆時(shí)針為正，下同)； (b) 坐標(biāo)系繞角； (c) 先按(b)變換，再按(a)變換 解 圖1-1 圖1-2 (a)