萬有引力雙星與三星問題

1、專題：“雙星”及“三星”問題【前置性學(xué)習(xí)】圖11. 甲、乙兩名溜冰運動員 m甲=70kg, m乙=36 kg，面對面拉著彈簧秤做 圓周運動的溜冰表演（如圖1）,兩人相距0.9 m,彈簧秤的示數(shù)為21 N,F列判斷正確的是（）A.B.C.D.1 m/srad/s0.45 m0.6 m,乙為 0.3 m兩人的線速度相同，約為 兩人的角速度相同，為 兩人的運動半徑相同，為 兩人的運動半徑不同，甲為學(xué)習(xí)目標(biāo)1.新知探究一、“雙星”問題：兩顆質(zhì)量可以相比的恒星相互繞著旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象，叫雙星。雙星問題是萬有引力定律在 天文學(xué)上的應(yīng)用的一個重要內(nèi)容，現(xiàn)就這類問題的處理作簡要分析。1. 要明確雙星中兩顆子星做勻速

2、圓周運動的向心力來源雙星中兩顆子星相互繞著旋轉(zhuǎn)可看作勻速圓周運動，其向心力由兩恒星間的萬有引力提供。由于力的作用是相互的，所以兩子星做圓周運動的向心力大小是相等的，利用萬有引力定律可以求得其大小。2. 要明確雙星中兩顆子星勻速圓周運動的運動參量的關(guān)系兩子星繞著連線上的一點做圓周運動，所以它們的運動周期是相等的，角速度也是相等 的，所以線速度與兩子星的軌道半徑成正比。3. 要明確兩子星圓周運動的動力學(xué)關(guān)系。設(shè)雙星的兩子星的質(zhì)量分別為M和M,相距L, M和M的線速度分別為 V1和V2,角速度分別為3 1和3 2,由萬有引力定律和牛頓第二定律得:M：M1M 2v22G甘M汙2M：GM1M2L2=M

3、2V2r2在這里要特別注意的是在求兩子星間的萬有引力時兩子星 間的距離不能代成了兩子星做圓周運動的軌道半徑。32M24. “雙星”問題的分析思路質(zhì)量m, m；球心間距離L;軌道半徑r 1 , a ；周期干，T2 ；角速度3 1, 3 2線速度V V2； 周期相同：| （參考同軸轉(zhuǎn)動問題）角速度相同：（參考同軸轉(zhuǎn)動問題）3 1 = 3 2向心力相同：Fn 1=Frt（由于在雙星運動問題中，忽略其他星體引力的情況下向心力由雙星彼此間萬有引力提供， 可理解為一對作用力與反作用力）r1: r2=m： m軌道半徑之比與雙星質(zhì)量之比相反：| （由向心力相同推導(dǎo)）2 2m 3 r 1=m>3 r2mr

4、 1=m2r 2 r 1：r 2=m:m1線速度之比與質(zhì)量比相反:（由半徑之比推導(dǎo)）S:V2=m:m12= 3 r 2Vi = 3 r 1V:V2=ri：r 2=m>:mi、"三星”問題有兩種情況：第一種三顆星連在同一直線上，兩顆星圍繞中央的星（靜止不動）在同一半徑為R的圓軌道上運行，周期相同；第二種三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的外接圓軌道 運行，三星運行周期相同。&例題精析二，質(zhì)【例題1】在天體運動中，將兩顆彼此相距較近的行星稱為雙星。它們在相互的萬有引力作 用下間距保持不變，并沿半徑不同的同心圓軌道做勻速圓周運動。如果雙星間距為 量分別為：

5、和二，試計算：（1）雙星的軌道半徑；（2）雙星的運行周期；（3 ）雙星的線速度。分析：雙星系統(tǒng)中，兩顆星球繞同一點做勻速圓周運動，且兩者始終與圓心共線，相同 時間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度，即角速度相等，則周期也相等。但兩者做勻速圓周運動的半徑 不相等。解：設(shè)行星轉(zhuǎn)動的角速度為，周期為1（1）如圖，對星球*由向心力公式可得:同理對星球有:兩式相除得：，f.（即軌道半徑與質(zhì)量成反比）又因為'1 f所一，'7"2"T = f 上(2)因為 ：.，所以 -（3）因為丁二計，所以2)說明：處理雙星問題必須注意兩點（1）兩顆星球運行的角速度、周期相等；（ 軌道半徑不等于引力距離

6、（這一點務(wù)必理解）。弄清每個表達(dá)式中各字母的含義，在示意 圖中相應(yīng)位置標(biāo)出相關(guān)量，可以最大限度減少錯誤。【例題2】（01北京.08寧夏卷）兩個星球組成雙星，它們在相互之間的萬有引力作用下,繞連線上某點做周期相同的勻速圓周運動?，F(xiàn)測得兩星中心距離為R其運動周期為T,求種設(shè)三兩星的總質(zhì)量。（引力常量為G解；設(shè)商岸炳耳分別為都繞連線卜.。點作周期為丁的圈周承動星球】和星球7到0的距離分別為.和由 萬有引力定律和牛頓第二定律廉幾何務(wù)件可得【例題3】宇宙中存在一些離其它恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用。已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式:種是三顆

7、星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；另形式是三顆星位于等邊三角形的三個項點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行。顆星質(zhì)量相等，每個星體的質(zhì)量均為 m（1）試求第一種情況下，星體運動的線速度和周期假設(shè)第二種情況下星體之間的距離為R,求星體運動的線速度和周期(1)第一；MJ&兀下.廂伸n受星暉R列宦用匚原的萬巾丐1力，富們時汁力 擾滄當(dāng)14山力+紐竦也U 卅剃趙方超;dm Cijutrj衲sgZ在Stt二神情昭下星袒IH曲和禺外R,那么屬昨卅2包尹希.星低的合力加仏“啤.側(cè)棄啤“蘭N-H' 榊"磨亠自我測評1.兩顆靠得很近的天體稱為雙星，它們

8、都繞兩者連線上某點做勻速圓周運動，因而不至于由于萬有引力而吸引到一起，以下說法中正確的是：A、它們做圓周運動的角速度之比與其質(zhì)量成反比。B它們做圓周運動的線速度之比與其質(zhì)量成反比。C它們做圓周運動的半徑與其質(zhì)量成正比。D、它們做圓周運動的半徑與其質(zhì)量成反比。解析：兩子星繞連線上的某點做圓周運動的周期相等，角速度也相等。由v=r 3得線速度與兩子星圓周運動的半徑是成正比的。因為兩子星圓周運動的向心力由兩子星間的萬有引力提供，向心力大小相等，由GM' Mi，GM；M2 W2 2可知:Mm2 WO2 , 所以它們的軌道半徑與它們的質(zhì)量是成反比的。而線速度又與軌道半徑成正比，所以線速度與它們的

9、質(zhì)量也是成反比的。正確答案為：BDb2. (2010 全國卷I )如圖，質(zhì)量分別為 m和M的兩個星球A和B 在引力作用下都繞 0點做勻速圓周運動，星球A和B兩者中心之間的距離為L.已知A、B的中心和0三點始終共線，A和B分別在0的 兩側(cè)引力常數(shù)為 G(1) 求兩星球做圓周運動的周期；(2) 在地月系統(tǒng)中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球 A和B,月球繞其軌道中心運行的周期記為Ti.但在近似處理問題時，常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運動的，這樣算得的運行周期記為 Ta.已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.98 X 1024 kg和7.35 X 1022 kg.求T2與Ti兩者平方之比.(

10、結(jié)果保留3位小數(shù))解析：(1)設(shè)兩個星球 A和B做勻速圓周運動的軌道半徑分別為r和R,相互作用的引2力大小為f,運行周期為T.根據(jù)萬有引力定律有MmR+ r由勻速圓周運動的規(guī)律得 f = %罕)2r2 n 2 f = M）2R由題意有L= R+ rL3 G M+ m(2)在地月系統(tǒng)中，由于地月系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)所圍繞的中心聯(lián)立式得 T= 2 n0不在地心，月球做圓周運動的周期可Ti = 2 n式中，ML' 3G M + m和m分別是地球與月球的質(zhì)量,在地球的引力作用下繞地心做勻速圓L'是地心與月心之間的距離若認(rèn)為月球周 運動，貝y= m( 2Tn)電，式中，T2為月球繞地心運動的周期.由

11、式得T2= 2 n由式得(T2)2=i+m代入題給數(shù)據(jù)得(亓)2= 1.0123. 用天文望遠(yuǎn)鏡長期觀測，人們在宇宙中發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過對它們的研究，使我 們對宇宙中物質(zhì)存在的形式和分布有了較深刻的認(rèn)識，雙星系統(tǒng)是由兩個星體構(gòu)成，其中每個星體的線度都小于兩星體間的距離，一般雙星系統(tǒng)距離其它星體很遠(yuǎn)，可以當(dāng)做孤立系統(tǒng)處理，現(xiàn)根據(jù)對某一雙星系統(tǒng)的光度學(xué)測量確定，該雙星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量都是M兩者相距L,它們正圍繞兩者連線的中點做圓周運動。(1) 計算該雙星系統(tǒng)的運動周期T計算。(2) 若實驗上觀測到的運動周期為T觀測，且 T觀測：T計算 =1: N (N>1)，為了解釋 T 觀測與T

12、計算的不同，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在一種望遠(yuǎn)鏡觀測不到的暗物質(zhì)，作為一種簡化模型，我們假定在這兩個星體邊線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著暗物質(zhì)， 而不考慮其它暗物質(zhì)的影響，試根據(jù)這一模型和上述觀測結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密 度。解析：(1)雙星繞它們的連線中點做圓周運動，由萬有引力提供向心力，根據(jù)萬有引力和牛頓第二定律得：gm2 m .2L ,而，Y：-2：。解得：T 計算一二 L.2L / . GM 。G L2 _ 2T(2)因為T觀測二1T計算<T計算，這個差異是以雙星連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著 . N的暗物質(zhì)引起的，設(shè)這種暗物質(zhì)質(zhì)量為 M ,位于兩星連線中點處的質(zhì)

13、點對雙星的影響相同,這時雙星做圓周運動的向心力由雙星的萬有引力和M'對雙星的萬有引力提供，所以有：2兀2 / 2G M , G MM _ M 觀測L，又觀測l/2 2 二2T觀測解得暗物質(zhì)的質(zhì)量為：M】（N 1） M /4而暗物質(zhì)的體積為：V = 4 - ）332所以暗物質(zhì)的密度為：；=3（N -1）M /（2二L3）4. （2006天津理綜卷第25題）神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體， 探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統(tǒng)的運動規(guī)律。天文學(xué)家觀測河外星系大麥哲倫云時，發(fā)現(xiàn)了 LMC 3雙星系統(tǒng)，它由可見星A和不可見的暗星 B構(gòu)成。兩星視為質(zhì)點，不考慮其它 天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的 0點做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變，女口 圖所示。引力常量為 G由觀測能夠得到可見星A的速率v和運行周期To（1）可見星a所受暗星b的引力fa可等效為位于 o點處質(zhì)量為 m的星體（視為質(zhì)點） 對它的引力，設(shè) A和B的質(zhì)量分別為 m、冊，試求m 的表達(dá)式（用 m、m表示）；（2）求暗星B的質(zhì)量m與可見星A的速率v、運行周期T和質(zhì)量m之間的關(guān)系式；（3） 恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽質(zhì)量m的2倍，它將有可能成為黑洞。若54可見星A的速率v= 2.7 X 10 m/s，運行周期 T= 4.7 n X 10 s，質(zhì)量m= 6m,試通過估算來 判斷暗星 B有可能是黑洞