[研究生入學(xué)考試]第二章 1 導(dǎo)數(shù)的概念ppt課件

1、第三章第三章微積分學(xué)的開創(chuàng)人微積分學(xué)的開創(chuàng)人: 德國(guó)數(shù)學(xué)家德國(guó)數(shù)學(xué)家 Leibniz 微分學(xué)微分學(xué)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)描畫函數(shù)變化快慢描畫函數(shù)變化快慢微分微分描畫函數(shù)變化程度描畫函數(shù)變化程度都是描畫物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具都是描畫物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具 (從微觀上研討函數(shù)從微觀上研討函數(shù))導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)思想最早由法國(guó)導(dǎo)數(shù)思想最早由法國(guó) 數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)家 Ferma 在研討在研討 極值問題中提出極值問題中提出. 英國(guó)數(shù)學(xué)家英國(guó)數(shù)學(xué)家 Newton一、引例一、引例二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、函數(shù)的可導(dǎo)性與延續(xù)性的關(guān)系四、函數(shù)的可導(dǎo)性與延續(xù)性的關(guān)系五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)第一部分第一

2、部分導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 第三章第三章 一、一、 引例引例1. 變速直線運(yùn)動(dòng)的速度變速直線運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)描畫質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為設(shè)描畫質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為)(tfs 0t那么那么 到到 的平均速度為的平均速度為0tt v)()(0tftf0tt 而在而在 時(shí)辰的瞬時(shí)速度為時(shí)辰的瞬時(shí)速度為0t lim0ttv)()(0tftf0tt 221tgs so)(0tf)(tft自在落體運(yùn)動(dòng)自在落體運(yùn)動(dòng) xyo)(xfy C2. 曲線的切線斜率曲線的切線斜率曲線曲線)(:xfyCNT0 xM在在 M 點(diǎn)處的切線點(diǎn)處的切線x割線割線 M N 的極限位置的極限位置 M T(當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí))割線割線 M N 的斜率

3、的斜率tan)()(0 xfxf0 xx 切線切線 MT 的斜率的斜率tanktanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 兩個(gè)問題的共性兩個(gè)問題的共性:so0t)(0tf)(tft瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切線斜率切線斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限 .類似問題還有類似問題還有:加速度加速度角速度角速度線密度線密度電流強(qiáng)度電流強(qiáng)度是速度增量與時(shí)間增量之比的極限是速度增量與時(shí)間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限是

4、轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長(zhǎng)度增量之比的極限是質(zhì)量增量與長(zhǎng)度增量之比的極限是電量增量與時(shí)間增量之比的極限是電量增量與時(shí)間增量之比的極限變化率問題變化率問題 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義 , 當(dāng)當(dāng) 函數(shù)函數(shù) y=f (x) 的自變量的改動(dòng)量和函數(shù)值的改動(dòng)的自變量的改動(dòng)量和函數(shù)值的改動(dòng) 量的含義：量的含義：自變量由自變量由 變化到變化到 時(shí)，稱時(shí)，稱0 xx0 xxx在在 處的改動(dòng)量處的改動(dòng)量. 0 x為自變量為自變量 x 相應(yīng)的函數(shù)值的的改動(dòng)量為相應(yīng)的函數(shù)值的的改動(dòng)量為)()()()(000 xfxxfxfxfy.0 xxx即即定義定義3.

5、1 . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)有定義有定義 , 二二 (3.2 )導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念假設(shè)極限假設(shè)極限0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim存在存在,)(xf并稱此極限為函數(shù)并稱此極限為函數(shù))(xfy 記作記作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000那么稱函那么稱函數(shù)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處可導(dǎo)處可導(dǎo), 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處的導(dǎo)數(shù)或微商處的導(dǎo)數(shù)或微商. 假設(shè)上述極限不存在假設(shè)上述極限不存在 ,在點(diǎn)在點(diǎn) 不可導(dǎo)不可導(dǎo).

6、0 x就說函數(shù)就說函數(shù)假設(shè)函數(shù)在開區(qū)間假設(shè)函數(shù)在開區(qū)間 I 內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo)內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù)此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù).就稱函數(shù)在就稱函數(shù)在 I 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo). 記作記作:;y; )(xf ;ddxy.d)(dxxf運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù))(tfs so0t)(0tf)(tft在在 時(shí)辰的瞬時(shí)速度時(shí)辰的瞬時(shí)速度0t lim0ttv)()(0tftf0tt 曲線曲線)(:xfyC在在 M 點(diǎn)處的切線斜率導(dǎo)數(shù)的幾何點(diǎn)處的切線斜率導(dǎo)數(shù)的幾何意義意義xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx)(0tf )(0 xf 闡

7、明闡明: 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中在經(jīng)濟(jì)學(xué)中, 邊沿本錢邊沿本錢 ,邊沿勞動(dòng)消費(fèi)率和邊沿稅率等從數(shù)學(xué)角度看就是導(dǎo)數(shù)邊沿勞動(dòng)消費(fèi)率和邊沿稅率等從數(shù)學(xué)角度看就是導(dǎo)數(shù).例例1. 求函數(shù)求函數(shù)Cxf)(C 為常數(shù)為常數(shù)) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解解:yxCCx0lim0即即0)(C例例2. 求函數(shù)求函數(shù))N()(nxxfn.處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)在在ax 解解:axafxf)()(ax lim)(af axaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1na1nanxxfxxf)()(0limx對(duì)普通冪函數(shù)對(duì)普通冪函數(shù)xy ( 為常數(shù)為常數(shù)) 1)(xx以后將證明以后將證明例如，例如，)(x)(21 x2121xx2

8、1x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743xhxhxhsin)sin(lim0例例3. 求函數(shù)求函數(shù)xxfsin)(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解解:,xh令那那么么)(xf hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx 2sinh)2cos(lim0hxh22sinhhxcos即即xxcos)(sin類似可證得類似可證得xxsin)(cosh例例4. 求函數(shù)求函數(shù)xxfln)(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解解:,xh令那那么么)(xf hxfhxfh)()(lim0hxhxhln)ln(lim0hxhh)1ln(lim0hh1lim0 xhx1即即xx1)(ln例例5. 證明函數(shù)證明函數(shù)x

9、xf)(在在 x = 0 不可導(dǎo)不可導(dǎo). 證證:hfhf)0()0(hh0h,10h,1hfhfh)0()0(lim0不存在不存在 , .0不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在即即xx例例6. 設(shè)設(shè))(0 xf 存在存在, 求極限求極限.2)()(lim000hhxfhxfh解解: 原式原式0limhhhxf2)(0)(0 xf)( 2 )(0hhxf)(0 xf)(210 xf )(210 xf )(0 xf hxfhxfh)()(lim21000hxfhxfh)()(lim21000能否可以按下面這樣做呢？能否可以按下面這樣做呢？ 則則令令,0hxt原式原式htfhtfh2)()2(lim0)(lim0tfh

10、)(0 xf )(0 xf 存在存在, ,求求.)()(lim0200 xxfxxxfx例例7 設(shè)設(shè)解解: : 原式原式= =xxfxxxfx )()(lim02002)( xx2)( xx)(0 xf 例例2 2 假設(shè)假設(shè)0) 1 (f且且) 1 (f 存在存在 , 求求.tan) 1()cos(sinlim20 xexxfxx解解: 1)cos(sinlim20 xxx原式原式 =220)cos(sinlimxxxfx且且0) 1 (f聯(lián)想到湊導(dǎo)數(shù)的定義式聯(lián)想到湊導(dǎo)數(shù)的定義式 220) 1cossin1 (limxxxfx1cossin2xx1cossin2xx) 1 (f) 1 (f )

11、211 ( ) 1 (21f 例例3 3 設(shè)設(shè))(xf在在2x處延續(xù)處延續(xù), ,且且,32)(lim2xxfx求求. )2(f 解解:)2(f)(lim2xfx)2()()2(lim2xxfxx02)2()(lim)2(2xfxffx. 32)(lim2xxfx1lim)()1()1(2xnxnnebaxexxf試確定常數(shù)試確定常數(shù) a , b a , b 使使 f (x) f (x) 處處可導(dǎo)處處可導(dǎo), ,并求并求. )(xf 解解)(xf1x,bxa 1x, ) 1(21ba1x,2x,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x;)(axf時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)1x.2)(xxf) 1 ()01 ()01 (fff) 1 ()

12、 1 (ff得得處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，在在利用利用1)(xxf即即ba1) 1(21ba2a例例4 設(shè)設(shè), 1,2ba2) 1 ( f1,21,2)(xxxxf,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)x,)(axf時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)1xxxf2)()(xf1x,bxa 1x, ) 1(21ba1x,2x例例5 設(shè)設(shè))(xf0,1sin2xxx0,0 x0)(,xxf在在討討論論處的延續(xù)性及可導(dǎo)性處的延續(xù)性及可導(dǎo)性. 解解:)(lim0 xfx又又xfxfx)0()(lim0所以所以 )(xf0 x在在處延續(xù)處延續(xù). 即即)(xf0 x在在處可導(dǎo)處可導(dǎo) .xxx1sinlim20)0(0fxxx1sinlim00 xxxx1sinli

13、m20. 0)0( fxyo)(xfy CT0 xM曲線曲線)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的切線斜率為的切線斜率為)(tan0 xf 假假設(shè)設(shè),0)(0 xf曲線過曲線過上升上升;假假設(shè)設(shè),0)(0 xf曲線過曲線過下降下降;xyo0 x),(00yx假假設(shè)設(shè),0)(0 xf切線與切線與 x 軸平行軸平行,稱為駐點(diǎn)稱為駐點(diǎn);),(00yx),(00yx0 x假假設(shè)設(shè),)(0 xf切線與切線與 x 軸垂直軸垂直 .曲線在點(diǎn)曲線在點(diǎn)處的處的),(00yx切線方程切線方程:)(000 xxxfyyxyo0 x,)(0時(shí) xf三、三、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義處可導(dǎo)在點(diǎn)xxf)(定理定理1.處

14、連續(xù)在點(diǎn)xxf)(證證: 設(shè)設(shè))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) x 處可導(dǎo)處可導(dǎo),)(lim0 xfxyx存在存在 , 因此必有因此必有,)(xfxy其中其中0lim0 x故故xxxfy)(0 x0所以函數(shù)所以函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) x 延續(xù)延續(xù) .留意留意: 函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn) x 延續(xù)未必可導(dǎo)延續(xù)未必可導(dǎo).反例反例:xy xyoxy 在在 x = 0 處延續(xù)處延續(xù) , 但不可導(dǎo)但不可導(dǎo).即即四、四、 函數(shù)的可導(dǎo)性與延續(xù)性的關(guān)系函數(shù)的可導(dǎo)性與延續(xù)性的關(guān)系 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的某個(gè)右的某個(gè)右)(xfy 假設(shè)極限假設(shè)極限xxfxxfxyxx)()(limlim0000那么稱此極限值那么稱此極限值為為)(xf在在

15、 處的右處的右 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù),0 x記作記作)0(0 xf即即)0(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左左)(左左)0( x)0( x)0(0 xf0 x定義定義2 . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)鄰域內(nèi)有定義鄰域內(nèi)有定義,存在存在,五、五、 單側(cè)導(dǎo)數(shù)左、右導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)左、右導(dǎo)數(shù)xxf)(在在 x = 0 處有處有,1)00( f1)00( f例如例如,xyoxy ,)0()0(00存存在在與與xfxf且且)0(0 xf. )0(0 xf定理定理2. 函數(shù)函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)0 x)(xfy 可導(dǎo)的充分必要條件可導(dǎo)的充分必要條件是是)(0 xf 存在存在)0(0 xf)0(0 xf簡(jiǎn)寫為簡(jiǎn)寫為在點(diǎn)在點(diǎn)處右處右

16、導(dǎo)數(shù)存在導(dǎo)數(shù)存在0 x定理定理3. 函數(shù)函數(shù))(xf)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x必必 右右 延續(xù)延續(xù).(左左)(左左)假設(shè)函假設(shè)函數(shù)數(shù))(xf)0( af)0( bf與與都存在都存在 ,顯然顯然:)(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a , b 上可導(dǎo)上可導(dǎo)那么那么稱稱)(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上可導(dǎo)上可導(dǎo).,ba在開區(qū)間在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),),(ba且且,)(baCxf思索與練習(xí)思索與練習(xí)1. 函數(shù)函數(shù) 在某點(diǎn)在某點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù))(xf0 x)(0 xf )(xf 區(qū)別區(qū)別:)(xf 是函數(shù)是函數(shù) ,)(0 xf 是數(shù)值是數(shù)值;聯(lián)絡(luò)聯(lián)絡(luò):0)(xxxf)(0 xf 留意留意:有什么區(qū)別與聯(lián)絡(luò)有什么區(qū)

17、別與聯(lián)絡(luò) ? )()(00 xfxf？與導(dǎo)函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)2. 設(shè)設(shè))(0 xf 存在存在 , 那么那么._)()(lim000hxfhxfh3. 知知,)0(,0)0(0kff那那么么._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k4. 假設(shè)假設(shè)),(x時(shí)時(shí), 恒有恒有,)(2xxf問問)(xf能否在能否在0 x可導(dǎo)可導(dǎo)?解解: :由題設(shè)由題設(shè))0(f00)0()(xfxfx0由兩邊夾準(zhǔn)那由兩邊夾準(zhǔn)那么么0)0()(lim0 xfxfx0故故)(xf在在0 x可導(dǎo)可導(dǎo), 且且0)0( f5. 5. 設(shè)設(shè)0,0,sin)(xxaxxxf, 問問 a 取何值時(shí)取何值時(shí),)(xf 在在),(都存在都存在

18、, 并求出并求出. )(xf 解解:)00(f00sinlim0 xxx1)00(f00lim0 xxaxa故故1a時(shí)時(shí),1)0( f此時(shí)此時(shí))(xf 在在),(都存在都存在, )(xf0,cosxx0,1x顯然該函數(shù)在顯然該函數(shù)在 x = 0 延續(xù)延續(xù) .解解: 由于由于1. 設(shè)設(shè))(xf 存在存在, 且且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以所以. 2) 1 ( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()(1 (lim210 xfxfx1) 1 (21f補(bǔ)充題補(bǔ)充題)(xf在在 0 x處延續(xù)處延續(xù), 且且xxfx)(lim0存在，存在，證明證明:)(xf在在0 x處可導(dǎo)處可導(dǎo).證：由于證：由于xxfx)(lim0存在，存在，那么那么有有0)(lim0 xfx又又)(xf在在0 x處延續(xù)處延續(xù),0)0(f所以所以xxfx)(lim0即即)(xf在在0 x處可導(dǎo)處可導(dǎo).2. 設(shè)設(shè)xfxfx)0()(lim0)0(f 故故牛頓牛頓(1642 1727)偉大的英國(guó)數(shù)學(xué)家偉大的英國(guó)數(shù)學(xué)家 , 物理學(xué)家物理學(xué)家, 天文天文學(xué)家和自然科學(xué)家學(xué)家和自然科學(xué)家.