[數(shù)學]函數(shù)的極限ppt課件

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第一章 一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限第三節(jié), )(xfy 對0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自變量變化過程的六種方式:二、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限二、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 :函數(shù)的極限 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限1. 0 xx 時函數(shù)極限的定義時函數(shù)極限的定義引例引例. 丈量正方形面積丈量正方形面積.面積為A )邊長為(真值:;0 x邊長面積2x直接觀測值間接觀測值任給精度 ,要求 Ax2確定直接觀測值精

2、度 :0 xx0 xAx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.000的過程表示xxxx;)()(任意小表示AxfAxf定義定義1 . 設函數(shù)設函數(shù))(xf在點的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,0 x假設在0 xx 確定的數(shù)值A，的過程中對應的函數(shù)值)(xf無限接近于那么就說A是函數(shù))(xf當0 xx 時的極限.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義1 . 設函數(shù)設函數(shù))(xf在點0 x的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,0,0當00 xx時, 有 Axf)(那么稱常數(shù) A 為函數(shù))(xf當0 xx 時的極限,Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf當即,0,0當),(0 x

3、Ux時, 有假設記作 Axf)(Axfxx)(lim0極限存在函數(shù)部分有界(P36定理2) 這闡明: AA幾何解釋幾何解釋:OAx0 xy)(xfy 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 證明證明)(lim0為常數(shù)CCCxx證證:Axf)(CC 0故,0對恣意的,0當00 xx時 , 0CC因此CCxx0lim總有目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.lim00 xxxx 證證明明證證,)(0 xxAxf , 0 任給任給, 取取,00時時當當 xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習練習. 證明證明1)12(lim1xx證證:Axf)(1

4、) 12(x12x欲使,0取,2那么當10 x時, 必有1) 12()(xAxf因此,)( Axf只需,21x1)12(lim1xx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 證明證明211lim21xxx證證:Axf)(2112xx21 x故,0取,當10 x時, 必有2112xx因此211lim21xxx1 x目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 證明證明: 當當00 x證證:Axf)(0 xx 001xxx欲使,0且. 0 x而0 x可用0 xx因此,)( Axf只需,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx時00 xxxx故取,min00 xx那么當00 xx時,00 xxx

5、保證 .必有Ox0 xx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7 7).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求設設yox1xy 112 xy解解兩個單側(cè)極限為兩個單側(cè)極限為是函數(shù)的分段點是函數(shù)的分段點,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右極限存在且相等左右極限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故3.單側(cè)極限單側(cè)極限:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 左極限與右極限左極限與右極限左極限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0當),(00 xxx時, 有.)( Axf右極限 :)(0 xfAxfxx)

6、(lim0,0,0當),(00 xxx時, 有.)( Axf定理定理 3 .Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00( P39 題*11 )目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 給定函數(shù)給定函數(shù)0,10,00, 1)(xxxxxxf討論 0 x時)(xf的極限能否存在 . 解解: 利用定理利用定理 3 .由于)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1顯然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .xyO11 xy11 xy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .lim0是否存在xxxyx11 oxxxxxx00liml

7、im左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx練習練習證證1) 1(lim0 xxxxxxxlimlim011lim0 x目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .sin時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx播放播放二、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限二、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .的的過過程程表表示示 xXx. 0sin)(,無無限限接接近近于于無無限限增增大大時時當當xxxfx 經(jīng)過上面演示實驗的察看經(jīng)過上面演示實驗的察看:問題問題: 如何用數(shù)學言語刻劃函數(shù)如何用數(shù)學言語刻劃函數(shù)“無

8、限接近無限接近.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 XXAAOxy)(xfy A定義定義2 . 設函數(shù)設函數(shù)xxf當)(大于某一正數(shù)時有定義,假設,0X,)(,AxfXx有時當那么稱常數(shù)時的極限,Axfx)(lim)()(xAxf當或幾何解釋幾何解釋:AxfA)(XxXx或記作直線 y = A 為曲線)(xfy 的程度漸近線 .,0 xxf當)(A 為函數(shù)二、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限二、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7. 證明證明. 01limxx證證:01xx1取,1X,時當Xx 01x因此01limxx注注:就有故,0欲使,01x只需,1x.10的水平漸近線為

9、xyyOxyxy1目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時時使使當當 Axfx)(lim.)(,)(lim:的的圖圖形形的的水水平平漸漸近近線線是是函函數(shù)數(shù)則則直直線線如如果果定定義義xfycycxfx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Oxyx1x11xxgxxf11)(,1)(直線 y = A 仍是曲線 y = f (x) 的漸近線 .兩種特殊情況兩種特殊情況 :Axfx)(lim,0,0X當Xx 時, 有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X當Xx時, 有 Axf)(幾何意義幾何意義 :例如，都有程度漸近線;0yxxxgxf21)(,21)(都有

10、程度漸近線. 1y又如，Oxyx21x21目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、函數(shù)極限的性質(zhì)2.函數(shù)極限的部分有界性函數(shù)極限的部分有界性1.函數(shù)極限的獨一性函數(shù)極限的獨一性MxfxxMAxfxx)(,0, 00)(lim 200有時使得當和，那么存在常數(shù)如果定理目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 函數(shù)極限的部分保號性函數(shù)極限的部分保號性定理定理3 . 假設假設,)(lim0Axfxx且 A 0 ,),(0時使當xUx. 0)(xf)0)(xf證證: 知知,)(lim0Axfxx即,0, ),(0 xU當時, 有.)(AxfA當 A 0 時, 取正數(shù),A那么在對應的鄰域上. 0)(xf( 0)(A

11、那么存在( A 0 ),(0 xU),(0 xUx),(0 xU(P37定理3)0(AA0 x0 xAx0 xy)(xfy O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 AxfA)(:0A:0A假設取,2A那么在對應的鄰域上 假設,0)(lim0Axfxx那么存在使當時, 有.2)(Axf定理定理 :23)(2AxfA2)(23AxfA),(0 xU, ),(0 xU),(0 xUx(P37定理3)分析分析:AA0 x0 xAx0 xy)(xfy O3目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 推論推論 . 假設在假設在0 x的某去心鄰域內(nèi)0)(xf)0)(xf, 且 ,)(lim0Axfxx那么. 0A)0(A證證:

12、用反證法用反證法.那么由定理 1,0 x的某去心鄰域 , 使在該鄰域內(nèi),0)(xf與知所以假設不真, .0A(同樣可證0)(xf的情形)思索: 假設推論 中的條件改為, 0)(xf能否必有?0A不能不能! 0lim20 xx存在如 假設 A 0 , 條件矛盾,故時,當0)(xf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4.子列收斂性子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系) .)(lim)( )( )(,)(lim000AxfxfNnxxxxfxAxfnnnnnxx必收斂，且數(shù)列那么函數(shù)值的數(shù)列，且滿足：于的定義域內(nèi)任意收斂為函數(shù)若定理定理目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證.)(,0,

13、 0, 00 Axfxx恒恒有有時時使使當當Axfxx )(lim0.0, 0, 00 xxNnNn恒恒有有時時使使當當對對上上述述,)( Axfn從而有從而有.)(limAxfnn 故故,lim00 xxxxnnn 且且又又目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如,xxysin 1sinlim0 xxx, 11sinlim nnn, 11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在的極限都存在, ,且相等且相等. .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xy1

14、sin 例例7.1sinlim0不不存存在在證證明明xx證證 ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 ,221nxn取, 0lim nnx; 0 nx且且目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 nxnnnsinlim1sinlim 而而, 1 )22sin(lim1sinlimnxnnn而1lim n二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx, 0 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思索與練習思索與練習1. 假設極限)(lim0 xfxx存在,)()(lim00 xfxfxx2. 設函數(shù))(xf且)(lim1xfx存在, 那么. a3能否一定有第四節(jié) 1, 121,2xxxx

15、a？目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、小結(jié)函數(shù)極限的一致定義函數(shù)極限的一致定義;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有從此時刻以后從此時刻以后時刻時刻(見下表見下表)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 過過 程程時時 刻刻從此時辰以后從此時辰以后 n x x xNNn Xx Xx Xx)(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx過過 程程時時 刻刻從此時辰以后從此時辰以后 )(xf Axf)(0

16、X目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思索題思索題試試問問函函數(shù)數(shù) 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x處處的的左左、右右極極限限是是否否存存在在？當當0 x時時，)(xf的的極極限限是是否否存存在在？目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思索題解答思索題解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左極限存在左極限存在, )(lim0 xfx, 01sinlim0 xxx右極限存在右極限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在不存在.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .01. 01_131222 yzxzxxyx，必有，必有時，只要時，只要取取，問當，問當時，時，、當、當.001. 0420_4212 yxxyx，必必有有只只要要時時，取取，問問當當時時，、當當 證明：證明：二、用函數(shù)極限的定義二、用函數(shù)極限的定義一、填空題一、填空題:0sinlim221241lim1221 xx