《高等數(shù)學(xué)》電子課件（同濟(jì)第六版）：02-1第十章第2節(jié)二重積分的計(jì)算（1)

1、2 在直角坐標(biāo)系下用平在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分區(qū)域分區(qū)域D， DDdxdyyxfdyxf),(),(d故二重積分可寫(xiě)為故二重積分可寫(xiě)為xyo則面積元素為則面積元素為一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分.),(lim),(iiniiDfdyxf 10直角坐標(biāo)系下的計(jì)算公式2xyoxdxxydyyddxdy3如果積分區(qū)域?yàn)椋喝绻e分區(qū)域?yàn)椋? bxa ).()(21xyx 其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù).)(1x )(2x ,ba直角坐標(biāo)系下的計(jì)算公式X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 4為曲頂柱體的體積為曲頂柱體的

2、體積為底，以曲面為底，以曲面的值等于以的值等于以),(),(yxfzDdyxfD 應(yīng)用計(jì)算應(yīng)用計(jì)算“平行截平行截面面積為已知的立面面積為已知的立體求體積體求體積”的方法的方法,zyx)(xA),( yxfz)(1xy)(2xydxxAdyxfDba)(),(得得xab5zyx)(xA),( yxfz)(1xy)(2xydyyxfdxxxba)()(),(21 dxxAdyxfDba)(),()()(21),()(xxdyyxfxAdxxAdyxfDba)(),(dxdyyxfbaxx ),()()(21axb6.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果積分區(qū)域?yàn)椋喝绻e

3、分區(qū)域?yàn)椋?dyc ).()(21yxy Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D7 X型區(qū)域的特點(diǎn)型區(qū)域的特點(diǎn)： 穿過(guò)區(qū)域且平行于穿過(guò)區(qū)域且平行于y軸的直軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn). Y型區(qū)域的特點(diǎn)型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).若區(qū)域如圖，若區(qū)域如圖，3D2D1D在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式使用積分公式.321 DDDD則必須分割則必須分割.821 ydy10 1 2 xxy 例例1 1. 計(jì)算,Ddyx

4、I 其中D是直線 , 及 所圍的閉區(qū)域. x解法解法1 1. 將D看作X型區(qū)域, 則:DI21dxdyyx21 dx2132121xdxx89xyx1221解法解法2 2. 將D看作Y型區(qū)域, 則:DIdxyx21dy2221yyx213212ydyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y21xy,xy 9xy 1例例 2 2 改改變變積積分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序. 原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖10822 yx2D22例例3 3. 交換下列積分順序22802222020 xxydyxfxdydyxfxdI),(),(解解

5、: : 積分域由兩部分組成:,:2002211xxyDyxo21D221xy 22228022xxyD :21DDD:D視為Y型區(qū)域 , 則將282yxy20 yDdxdyyxfI),(xdyxf),(20yd28 yy211xy 222xxy 例例 4 4 改改變變積積分分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的的次次序序. 原原式式 102112),(yydxyxfdy.解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖12例例 5 5 改變積分改變積分)0(),(20222 adyyxfdxaaxxax 的次序的次序. axy2 解解= ayaaaydxyxfdy02222),(原

6、式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a13例例 6 6 求求 Ddxdyyx)(2，其中，其中D是由拋物線是由拋物線2xy 和和2yx 所圍平面閉區(qū)域所圍平面閉區(qū)域. 解解兩兩曲曲線線的的交交點(diǎn)點(diǎn)),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 14例例7 求求 Dydxdyex22，其其中中 D 是是以以),1 , 1(),0 , 0( )1 , 0(為為頂頂點(diǎn)點(diǎn)的的三三

7、角角形形. dyey2無(wú)法用初等函數(shù)表示無(wú)法用初等函數(shù)表示解解 積積分分時(shí)時(shí)必必須須考考慮慮次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 15例例 8 8 計(jì)計(jì)算算積積分分 yxydxedyI212141 yyxydxedy121. 解解 dxexy不不能能用用初初等等函函數(shù)數(shù)表表示示先先改改變變積積分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 169例例dxdyxyyxID)(2222.,:00122yxyxDdxdyyxIDDdxdy22422 Ddxdy

8、dxdyyxD1D2DdxdyyxD1)(dxdyxyD2)(dydxyxyy22012)(dxdyxyxx22012)()(123221232 )(I17二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算公式二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算公式（在積分中要正確選擇（在積分中要正確選擇積分次序積分次序）二、小結(jié).),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y型型X型型18153210P習(xí)題習(xí)題9765463143422431,)()(),)(,),)(),)(19設(shè)設(shè))(xf在在1 , 0上上連連續(xù)續(xù)，并并設(shè)設(shè)Adxxf 10)(， 求求 110

9、)()(xdyyfxfdx.思考題思考題20 1)(xdyyf不能直接積出不能直接積出,改改變變積積分分次次序序. 令令 110)()(xdyyfxfdxI,思考題解答思考題解答則原式則原式 ydxyfxfdy010)()(.,)()(010 xdyyfdxxf21故故 110)()(2xdyyfdxxfI xdyyfdxxf010)()()()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf 22一、一、 填空題填空題: : 1 1、 Ddyyxx )3(323_._.其中其中 . 10 , 10: yxD 2 2、 Ddyxx )cos(_._.其中其中D是頂是頂

10、 點(diǎn)分別為點(diǎn)分別為 )0 , 0(，)0 ,( ，),( 的三角形閉區(qū)域的三角形閉區(qū)域 . . 3 3、將二重積分、將二重積分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由是由x軸及半圓周軸及半圓周)0(222 yryx所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域, ,化為先對(duì)化為先對(duì)y后對(duì)后對(duì)x的二次積分的二次積分, ,應(yīng)為應(yīng)為_(kāi)._.練練 習(xí)習(xí) 題題23 4 4、將二重積分、將二重積分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由直線是由直線 2, xxy及雙曲線及雙曲線)0(1 xxy所圍成的閉區(qū)所圍成的閉區(qū) 域域, ,化為先對(duì)化為先對(duì)x后對(duì)后對(duì)y的二次積分的二次積分, ,應(yīng)為應(yīng)為 _. _. 5 5、將將二二次次

11、積積分分 22221),(xxxdyyxfdx改改換換積積分分次次序序, , 應(yīng)應(yīng)為為_(kāi) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 6 6、將將二二次次積積分分 xxdyyxfdxsin2sin0),( 改改換換積積分分次次序序, , 應(yīng)應(yīng)為為_(kāi) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .24 7 7、將將二二次次積積分分 2ln1),(2yedxyxfdy 2)1(2112),(ydxyxfdy改改換換積積分分次次序序, , 應(yīng)應(yīng)為為_(kāi) _ _ _ _ _ _ _ _

12、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二、畫(huà)出積分區(qū)域二、畫(huà)出積分區(qū)域, ,并計(jì)算下列二重積分并計(jì)算下列二重積分: : 1 1、 Dyxde , ,其中其中D是由是由1 yx所確定的閉區(qū)域所確定的閉區(qū)域. . 2 2、 Ddxyx )(22其中其中D是由直線是由直線 xyxyy2, 2 及及所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. . 3 3、 xDdyyxxydxdyxf020)(2(cos),( 。254 4、,2 Ddxdyxy其中其中D: : 20 , 11 yx. .三、設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域三、設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D由直線由直線, 2 yxxy 和和x軸所圍成軸所圍成, ,它的面密度它的面密度22),(yxyx , ,求該求該薄片的質(zhì)量薄片的質(zhì)量 . .四、四、 求由曲面求由曲面222yxz 及及2226yxz , ,所圍成的所圍成的立體的體積立體的體積 . .26一、一、1 1、1 1； 2 2、23 ；3 3、 220),(xrrrdyyxfdx；4 4、 22121121