1981年~2019年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題分類匯編(2)函數(shù)與方程(Word版,含答案)

1、1981年2019年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題分類匯編函數(shù)與方程部分2019AK己知正實數(shù)，滿足/=（9廣，則log“（3）的值為答案:看1 Ia解析:由條件知9a =8 ,故3 = J9xa =小,所以log。(3a)= 。162019A二、（本題滿分40分）設整數(shù)6滿足1= <a2 <-<«2（）19 =99 .t己/=（； +4；+ +。；019）-（4必+。2。4+%45+ ”2017a2019），求/ 的最小值/；）.并 確定使/ =人成立的數(shù)組（“外,M刈9）的個數(shù).2017解析：由條件知2f = "； + a + a短+&9） + E（4+

2、2 -4 ）， r-l由于4M2及+2-% （i = 1,2,2016）均為非負整數(shù)，故有4：2,嬉沁且 （4+2一q24.2-0 .于是2016）2016（；+ 婚）+ Z （q+2 - 4 ）-2 4 + Z（4+2 - 4 ） 2017 + “2018r-lr-l10分由 kjD、2 f 2。2017 +。208 +(“2019 。2017 ) +。：018 +“：019 '名口 口 "2019 = 2()192。18之。2。17 >°，可矢口f > 1 22017 + (99-«2017)2 + 4.7 + 992 = (2017 -4

3、9)： + 7400> 7400 20分另一方面，令/ =/ =“1920+2氏-I = "220+2 上(% =12 ,49),“2019=99此時驗證知上述所有不等式均取到等號，從而f的最小值 f0 = 7400 . 30 分以下考慮的取等條件.此時如&刈7 =49,且中的不等式均取等,即。1=。2=1，ai+2 ai e0(，= 1,2,2016 ) oBlltl = a<<.<«2018 =49,且對每個k (1<A:<49)， 4,4，,旬由中至 少有兩項等于k.易驗證知這也是取等的充分條件.對每個次 (1KZW49),

4、設,小，。2018中等于2的項數(shù)為a+1，則既為 正整數(shù)，且(l+J+(l + 2)+(1+49)= 2018 ,即 +e+ %9 =1969, 該方程的正整數(shù)解(小 2,，心)的組數(shù)為G黑，且每組解唯一對應一個使 取等的數(shù)組"2019)，故使/ =工> 成立的數(shù)組M刈9)有。；68 個40分2019B 10.（本題滿分20分）設也c均大于1,滿足心7?' = ：, lg/? + lognc = 4求1 g a 1 g c的最大值。解析：設x = lga, y = lgb, z = lgc,由也 c>l,可知 x,y,z>0。由條件及換底公式得x +三=3

5、, y + - = 4 , HJ + z = 3y = 4x ,由此令x = 3t,y = 4r （ r >0 ）,則 z = 4x-xy = 12f 12/ >0 ,得Ovfvl。所.以lg.lgc = 3/（1T）= 18J（2t）«18，+'T：_2" =-,當且僅當 / = 2-2/ ,即f = |時取得等號，相應的a = 100, = c = 10,，所以lga.lgc的 最大值為學。2018A 5、設/(x)是定義在R上的以2為周期的偶函數(shù)，在區(qū)間0,1上嚴格遞減，且滿足琥=1, f(2)= 2,則不等式組I：""2的解集

6、為 U « fM < 2答案：3-2,8-2乃解析：由/為偶函數(shù)及在區(qū)間0,1上嚴格遞減知，/*)在-10上遞 增，結合周期性知，/*)在2上遞增，又/(*2) = /=1 , /(8 -2 4)=/(一2%)=/(2萬)=2，所以不等式等價于/(-2)</(x)</(8-24)，又Iv/r-2V8-21<2所以*2<%<8-24，即不等式的解集為3-2,8-2同2018A, B9、(本題滿分16分)己知定義在R+上的函數(shù)f(x)為 X)=叱g 3 X 1|。U 9 ,設d b, c是 4-y/x,x>9三個互不相同的實數(shù)，滿足f(a) =

7、f(b) = f(c),求abc的取值范圍。解析：不妨設由于/(X)在(0,3上遞減，在3,9上遞增，在9”) 上遞減,且/=0, 9) = 1,結合圖像如：ae(0,3), b e(3,9), c e(9,-ko), 且/= /S) = /(c)e(0,l)。Etl /() = f(b)得 log3 a + log3 b = 2 ,即 ab = 9 ,小匕時 abc = 9c f又/(c) = 4-6'由 0<4-人<1 得 c£(9,16), 所以 aZ?c = 9c £(81,144)。2018B7、設/a)是定義在R上的以2為周期的偶函數(shù)，在區(qū)間

8、12上嚴 格遞減，且滿足幻=1, /(2乃)=0,則不等式組的解集為一 0 < f(x) < 1答案：2* 6,4-句解析：由/為偶函數(shù)及在區(qū)間12上嚴格遞減知，/*)在上 遞增，結合周期性知，/3)在01上遞增，又/(4-4)=/=1, /(24一6) = /(20=0 ,所以不等式等彳介于/(2萬一6)«/&)</(4 萬)，又 0< 2-6<4-7F< 1,即不等式的解集為2乃一6,4-司.2017A1、設f(x)是定義在R上函數(shù)，對任意的實數(shù)x有 x + 3)-/(x 4)=1,又當 04xv7 時，/(x) = tog2(9-x)

9、,則/(100)的值 為答案：2解析：由條件知，f(x + 7)f(x) = -l ,即/* + 7)/* + 14) = -1,故 /(x) = /(x+14),即函數(shù)f(x)的周期為14 , 所以/(-100) = /(-2) = -f(5)2017B3、設/(x)是定義在R上的函數(shù)，若/(幻+ /是奇函數(shù)，/(x) + 2。是 偶函數(shù)，則/的值為答案：:4解析：由條件知，/(I) +1 = -(/(-I) + (-D2) = -/(-I)-1 » /(1) + 2 = /(-1) + 1, 兩式相加消去可知：2/(1) + 3 = -1,即/=.2016A 3、正實數(shù)，v ,

10、w均不等于1 ,若log卬+ log1,卬=5 , log v w + log M. V = 3 , 貝|J 10gH. u 的 值 為答案：:解析：令log="， logv w = b ,則logv m = > logH. v = , logM vw = log” v + log” v logv w = a+ ab ab條件化為4 + 4 + = 5 , + - = 3 ,由此可得= 因此 a b44 logh w = logH, v log, u =-.2016A 10.(本題滿分20分)已知/(x)是R上的奇函數(shù)，/(I) = 1,且對任 意 XV。 ， 均 有 /(&#

11、39;) = xf(x) 0 求X-1yw(高)+心磕)+心舄)+舄)嗚)的值。解析：設勺=/()( = 1, 2, 3,)，則 ="1) = 1. n在/'(二一) = M'(x)中取x =-(AeN*),注意到 KX-I1 1 k + 1 k，及一(X)為奇函數(shù).可知即上=；,從而4“ =4 aL k-11in=n-= "% ik (-1)!5分110分因此50502?四。1 i-l=E /-I1(z-l)!(100-/)!49 =E J-01 i!(99i)!20分2015Al、設、為兩不相等的實數(shù)，若二次函數(shù)/(x) = /+4x +滿足 f3) =

12、 f(b),則 /(2)的值為答案：4解析：由己知條件及二次函數(shù)圖像的軸對稱性，可得亨=，即 2a+0 = 0,所以/(2) = 4+2a+ = 4.2015A9、(本題滿分16分)若實數(shù)滿足2"+4 =2" 4 求c的最小值。解析：將2。,23分別記為y 則x,y,z>0.由條件知，x+V =z, + y = z)故z?-'一/二仁一卡了二？?一2y2z + yl 8分因此，結合平均值不等式可簟Z = V V = -(2y2 4- +- 3sky2 - = -2 . 12 分2y-4 y y 4 Y ' y y 4當2=l即),=w時，z的最小值為m

13、返(此時相應的工值為之五， yV244符合要求).由于C = k)g2Z，故C的最小值logzg顯) = 10g2 3-g . 16分2016B 4>己知/(x), g均為定義在R上的函數(shù)，的圖像關于直線 x = l對稱，g(x)的圖像關于點(1,-2)中心對稱，ELf(x) + g(x) = 9x+xi + , 則/(2)g(2)的值為答案： 2016解析：由條件知 0) +4(0) = 2,2)+ 田2)= 81 + 8 + 1=90.由f(x),g(x)圖像的對稱性,可得0)= /(2),g(0)+ g=-4.結合知，2)-g -4 = /(O)+ g(O)= 2.由、解得&quo

14、t;2) = 48,g= 42,從而2)g(2)= 48x42 = 2016.另解：因為月+雇工)=9,+/+1,所以2)+ g(2)= 90.因為的圖像關于直線戶1對稱，所以/(x) = /(2r).又因為g(x)的圖像關于點(1,-2)中心對稱，所以函數(shù)Mx) = g(x + l) + 2是奇函數(shù)，/?(-x) = -/z(a) , g(f + l) + 2 = -g(x + l) + 2,從而 g(x) = -g(2-x)-4.將、代入，再移項，得27)(27)= 9，+/+5.在式中令x = 0，得“2)-g=6.由、解得"2) = 48,g=46.于是2)g= 2016.2

15、014A1、若正數(shù)“、Z? 2 + log, « = 2 + log, b = log6(t/ + b),貝lj1+ ?的值 a b為答案：1。8解析：設2 + bg?6/ = 3 + log3Z? = log6(a + b) = k ，則 a = 2"： b = 3，= 22 x33 = 108 o.11 不？ 11 u + h 6Aa + b = 6，/AlIIJ - + - = a b ab 2k x 32015B1.己知函數(shù)，可產、，其中為常數(shù)，如果alog 2 x e (3,+qc)/(2) < /(4),則。的取值范圍為答案：(-2,-ko)解析：/(2)

16、 = a 2J(4) = 2a,所以a 2V解得：a>2.2015B2、已知y = /(x) + Y為偶函數(shù)，且八10)= 15,則/(-10)的值為答案： 2015解析：由己知得 -10) + (-10)3 = /(10) + 103, BP /(-10) = /(10) + 2000 =2015.2014A 3、若函數(shù)/*)=爐+3_1|在。+s)上單調遞增，則實數(shù)的取 值范圍為答案：-2,0解析：在口什)上，/1) = /單調遞增，等價于一,1, BP « >-2 o 在0,1上，/(x) = /以+ 單調遞增，等價于即<0,因此實數(shù)。 的取值范圍是-2,。2

17、014BK若函數(shù)/")的圖像是由依次連接點(0,0), (U), (2,3)的折線，則尸= 答案：|2 解析：可求得直線y = 2與函數(shù)圖像的交點為信即/=2,根 據(jù)反函數(shù)的性質知尸(2) = ；。2014B 8、設g(x) = "(1 -x),是定義在區(qū)間0,1上的函數(shù)，則函數(shù) y = Xg(X)的圖像與工軸所圍成圖形的面積為 答案：裔 解析：顯然g的圖像與x軸圍成一個半圓，我們用A表示xg(x)與x 軸圍成的圖形。直線2x = l是半圓的對稱軸，它將A分成左右兩個部分。 我們知道：xg(x) + (l-x)g(l-x) = xg(x) + (l-x)g(x) = g(x

18、) ( 0<x< 1 ),這個式子的幾何 意義如下圖所示：根據(jù)祖唯原理的二維形式，A的左半部分與右半部分的面積之和恰好是四分之一圓的面積。即我們要求的面積是=2。4 2）162014B二、（本題滿分40分）在同一直角坐標系中，函數(shù)/"）=瘋” （。0）與其反函數(shù)y =的圖像恰有三個不同的交點.求實數(shù)的取值范圍，并證明你的結論。解析：由題意可得其反函數(shù)r'（A）= l（x2-4）,記/（X）與其反函數(shù)尸（X） a的交點坐標為（力，則卜>'" + 4,兩式子相減得（-" + "。） = 0,得 v = an + 4“=口 或

19、 + U + 4 = 0，若00,顯然兩個函數(shù)的圖像都在第一象限，所以+ >0,聯(lián)立=>， 和2=，+ 4,得到一個交點（另一個是負數(shù)），與題目要求三個交點不相 符，故"0當4<0時，聯(lián)立“=和2= + 4,得交點（"叵三運、"2乜二生|；聯(lián)立 + u + a = 0和if2 =av + 4， 得父點 :或-1丁“6 1+16 ,考慮這兩個交點不重合，且坐標非 22 /負，故解得一勺1<h_2,即所求的范圍為，拽2 o-«-V16-3«2 >03I 32013A 5、設泊為實數(shù)，函數(shù)/（x） = ax + b滿足：

20、對任意xe0,l,都有 |/W| < 1，則ab的最大值為答案：）4解析：由題意得。=/（1）-/（0）,。= /（0）當且僅= /(O) . (/(I)- /(o)=y(o)-1 y(i)j +1/2(1)<1/2(1)<1,當"(。)=，即±；時，加;，故所求最大值為 2013A 7、若實數(shù)匹丁滿足穴-44 = 2萬？，則實數(shù)x的取值范圍為答案：0U4,206解析：令后=a , y/x-y =b ,顯然之0，b>0f 且x = a2 +b2 , x-4后=2Jx-y 即為a，+b，-4a = 2b ,/； 亦為("-2)2=5 (a&g

21、t;0, Z?>0),以(a,»為坐標;二一才 作圖如圖示，在平面水乃內，(的軌跡為如圖所示)的實線部分含原點O,因此77萬e0u2,2括, 才'二 RPx = f/2+/?2 e0U4,20o2013A 11、(本題滿分20分)設函數(shù)/(、)=改2+，求所有的正實數(shù)對 (a, b)，使得對任意的實數(shù) x, y 均有 f(xy) + f(x + y) > f(x) f(y)。解析：已知即可變?yōu)?(ax2y2 + b)+ (a(x + y)+ b) > (ax2 + bay? + b) 先尋找a.b所滿足的必要條件。式中，令y = 0,的對任意的x都有(1-匹

22、+(2-)之0,由于a>0, 故.2可以取到任意大的正值，因此必有1-。之0, EJ0</7<1o式中，令丁 = 7,得(/+" + /注(加+戌，即對任意實數(shù)X,有 a-a2)x4- 2abx2 +(2b - 之 0 記g(x) = (a-a2)x4 - labx2 +(2b-b2),即g(x = (a-a2 x2- ! d(2-2a-b)A -a)-a一a-a2 >0要 g(x)N。恒成立，則 上(2 2a)>0'即 0<<l, 0</?<l, 2a+b<2 .1 -a'下面證明對滿足的任意實數(shù)對(“及任

23、意實數(shù)x,y,總有成立，令人(x,y) = (a -a2 )x2y2 +a(-bx' + y2) + 2axy + (2b-b2) 2 0'怛成立，事實上，在成立時，有a(l-)之0, a-a2 > 0 , (2 -2a-b)>0 t又1-6/x2 + y2 > -2xy , 可得 h(x, y) = (a-a2 )x2y2 + a(-h)(x2 + y2) + 2axy + (2b-b)> (a -a2)x2y2 +“(1 -b)(-2xy) + 2axy + (2b -b2)=(a-a2)x2y2 +2abxy + (2b-b2) /> 2,=

24、(a-a2) x>? + ' 4- (2-2a-b)>I .-a)-a綜上所述，滿足條件的(",)為(a,“0 <Z? < 1,0 < « < 1,2 + /? < 2)o2013B2、設i = Q為虛數(shù)單位，則i + 2尸+3/+. + 2013產3=答案： 1006+1007/解析：因為i + 2尸+ 3/+ 2013產3 =(-2 + 4 6 + 82010+2012)+(1-3 + 5-7+ - -2011 + 2013> = 1006+1007/JJ JJ1005項1006項2013B5、在區(qū)間0,町中，方程

25、sinl2x = x的解的個數(shù)為.答案：4解析：因為當x>l時,卜inl2,v|<l vx ,方程無解；當x£01時， 3萬<12<4萬，做出y = |sin2x|及y = x的圖像即可得至!J。2013B 6、定義在實數(shù)上的函數(shù)/3 =粵鼻(心式)的最小值 J + X + X是.答案：-當解析：因為/+X + 1 = (x + g) +>|->知,V4又當x = L時，_1)= _空，所以所求最小值為空。 2'2332013B 7、設，為實數(shù)，函數(shù)力= or+b滿足：對任意xe0,l “/<1, 則油的最大值為.答案：!4解析：由題

26、意得。=/(1)-/(0), b = f(0)/2所以皿=/(0).(/(1)一/(0)=1/(0)一“1) +1/2(1)<1/2(1)<1,當且僅V 2 J 444當 2/(0) =/=±1, B|J a = b = ±- H;t, ab = y 故所求最大值為2442012A 3、設x,y,z w。，則 M = Jlx-y I + y-z I +I z-xl 的最大值為答案：V2 + 1解析：不妨設OKA- < y < < 1,則 M =+Jz-y + lz-x.因為 yjy-x + yjz-y < J2(y-x)+(z-y) =

27、J2(z-x).所以 M W J2(z-x) + Jz-X = (V2 + )y/z-X <y/2-.當且僅當y-x = z-丁,1=0,2 = 1,、=；時上式等號同時成立.故Ma =0+1.2012A 6、設函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當GO時，/0) = /. 若對任意的xe4M+ 2,不等式/(x + a»2/(x)恒成立，則實數(shù)0的取值 范圍是 答案：點,+8).解析：由題設知,則2/(x) = /("v) .因此原不等式等 一廠(x<0).價于/(x +“注/(無。因為f(x)在R上是增函數(shù)，所以X +，d企工即。之(0一 1)X.又X e

28、a, a + 2,所 以當x = + 2時，取得最大值(點-1)(4 + 2).因此，aN(四-1)(a + 2), 解得a之V2.故"的取值范圍是&, +S).2012A 9.(本題滿分16分)1 O 1已知函數(shù) f(x) =asinxcos2x + t/- - 4- ， a e R,a W 0.2 a 2若對任意x e R,都有fM < 0，求實數(shù)，的取值范圍；若此2,且存在xe七使得x)K。，求實數(shù)”的取值范圍；解析：令 f = sinx,則-1WY1,函數(shù)/(x)即為 g(f) = +4/ +。-上,31±17。)4 0即8。)40對任意-1±

29、;41恒成立,即<g(-l) = l-<0工 ，解得(1) = 1 + 2«-<0 a0 < « < 1 >故所求實數(shù)”的取值范圍為(0J因為此2,所以g的對稱軸x = -1,有g在-1,1上遞增，所以go的最小值為g(-1)=1-m,即/“)的最小值為a, sii-<o, aaa解得Ova 43,又aN2,故所求實數(shù)，的取值范圍為(2,32012B4、若關于x的不等式組卜：+3/7一3>°,(穌。)的整數(shù)解有 x- -2ax-<0且只有一個，貝心的取值范圍為答案： 解析：由1+3/_工_3>0解得-3V

30、XV-1或x>l,所以不等式組的唯一 整數(shù)解只可能為-2或2 0記函數(shù)/(力=/一加1 ,由于對稱軸x = a>0, 所以整數(shù)解只能是2,因此有7(-2) = 3 + 46/>0,"2) = 3-4叱。，解得故所求范圍為±3 °,4314 3;/(3) = 8-6。>02012B 7、設函數(shù)/是定義在R上的奇函數(shù)，且當xNO時，f(x) = x2. 若對任意的xe,4 + 2,不等式/(x + a)2 2/(x)恒成立，則實數(shù)”的取值 范圍是答案：在+吩解析：由題設知/0)=卜"："°)，則2/(x) = /(

31、"。因此原不等式等 -x2(x<0)價于f(x + a)> /(0A).因為f(x)在R上是增函數(shù)，所以x + a之5,即a > (>/2-l)x.又xea,a + 2,所以當 x = a+2時,(>/7-1)，取得最大值_ l)(a + 2).因此4 2 (y/2-)(a + 2),解得4 2 "故”的取值范圍是I瓶,+03).2012B 9.(本題滿分16分)一31己知函數(shù)/(X)= asinx cos2x + a - - + -， a w R,a H 0 .2a 2若對任意X e R,都有f(x) < 0 ,求實數(shù)4的取值范圍；若心

32、2,且存在xe乩使得求實數(shù)的取值范圍；解析：令f = sinx,則1W1,函數(shù)/(x)即為g(f)=3+R+ °一3 , a3g(_1) = 1 _ W 0由/(x)K0即g(f)4。對任意IMF恒成立，即。，解得g(l) = l + 2«-<0.a0 v a 4 1,故所求實數(shù)a的取值范圍為1因為心2,所以g«)的對稱軸x =1,有g«)在-川上遞增，所以g的最小值為g(-l) = l-j即/(X)的最小值為1-上，由1一10, aaa解得0<a<3,又.22,故所求實數(shù)"的取值范圍為(2,32011A 2、函數(shù)/(x) =

33、 S_=的值域為X-1答案：(-co,-lU (1,4-00)解析：提示：設 = 121e,-£<6<工，且6工工，則2241/(X)= cos6> =1=1.設=、歷sin(e_2),貝Ijtan -1 sin8-cos6 血 sin(6乃) 4-y/2 <u < f 旦“工0,所以 /(a) = - e (o,-U(1,-h).2011A3、設 為正實數(shù)，- + -<2a/2 , (a - b)2 = 4(ab)3 f 則 logf=a b 答案：-1 解析：由!«2、歷，得 a + b42、&b. a b又(a+Z?)* =

34、 4ab + (a-by = 4ab + 4(ab)y >4-2yjab. (ab) = 8(aZ?)2，即a + b> 2y2ab .于是 a + b = 2/2ab.再由不等式中等號成立的條件，得出,=1.與聯(lián)立解得卜=T或 b = y/2+l,a = V2+ 1,1)=尬-1：故 log. b = - .2011A9.(本題滿分16分)已知函數(shù)/(x)=llg(x + l)l ,實數(shù) ( a<b )滿足/() = /(匕L), b + 2/(10a + 6 + 21) = 41g2.求實數(shù)a,b的值。 解析：因為/() = /(-簿)，所以b + 2+】七）曰聯(lián)&quo

35、t;功,所以 a + l= + 2 或( + 1)(。+ 2) = 1,又因為 av，所以 a + lW + 2,所以 ( + 1)。+ 2) = 1 .又由 /(0=llg(a + l)| 有意義知 Ova + 1,從而 Ova+lvb+lvb+2, 于是0 va + 1 v 1 <。+ 2 .所以(10。+ 6 + 21) +l = 10(a + l) + 6(Z? + 2) = 6( + 2) + ->1 .b + 2從而/(10</ + 6/? + 21) =llg6(Z? + 2) + -l=lg6(Z? + 2) + -.b+2b+2又/(1616 + 21) =

36、 41g2,所以lg6g + 2) + - = 41g2,b + 2故6(Z? + 2) +-= 16 .解得=或/? = -1 (舍去). b + 23把=-，代入(a+ 1)(3+ 2) = 1 解得=一2 .所以 a = - f b = -.532011B3、若正實數(shù)滿足，則.答案：解析：由，得.又，即.于是.再由不等式中等號成立的條件，得.與聯(lián)立解得或,故.2011B9、（本題滿分16分）己知實數(shù)滿足：，.求實數(shù)的取值范圍.解析：令，由得，代入得由方程有實根，得，解得。由方程及可得，又，所以，即，解得，綜上可得,即，所以實數(shù)的取值范圍為。2011B三、（本題滿分50分）設實數(shù)，且滿足,

37、求的最大值.解析：由己知等式可得，令，則，則式等價于易知.令,則。設，則O當時，由平均不等式得所以，從而，整理得，即，所以。式中等號成立的條件是，即，代入得，因此，的最大值即的最大 值為。2010ABK函數(shù)的值域為答案：解析：易知的定義域是，旦在上是增函數(shù)，從而可知的值域為.2010AB 2.已知函數(shù)的最小值為，則實數(shù)的取值范圍為答案：解析：令，則原函數(shù)化為，即.由，及知即.（1）當時（1）總成立；對；對.從而可知2010AB 5、函數(shù)（,且）在區(qū)間上的最大值為，則它在這個區(qū)間上的最小值為答案：解析：令則原函數(shù)化為，在上是遞增的.當時，所以；當時，所以.綜上在上的最小值為.2010AB 9&g

38、t; （本題滿分16分）己知函數(shù)，（），當時，求實數(shù)的最大值。解析：解法一：由得*所以，所以.又易知當（為常數(shù)）滿足題設條件，所以最大值為.解法二：.設，則當時，.設，則.*容易知道當時，.從而當時，即，從而,由知.又易知當（為常數(shù)）滿足題設條件，所以最大值為.2010A 11、（本題滿分20分）證明：方程恰有一個實根，且存在唯一 嚴格遞增的正整數(shù)數(shù)列，使得。證明：令，貝h所以是嚴格遞增的.又，故有唯一實數(shù)根.所以，即.故數(shù)列是滿足題設要求的數(shù)列.若存在兩個不同的正整數(shù)數(shù)列和滿足,去掉上面等式兩邊相同的項，有這里，所有的與都是不同的.不妨設，則，矛盾.故滿足題設的數(shù)列是唯一的.2009*1、函

39、數(shù)，且，則答案：解析：由題意得，.故 2009*6、若關于的方程僅有一個實根，則實數(shù)的取值范圍為答案：或解析：由題意，方程等價于，當且僅當（1）； （2）；（3）對（3）由求根公式得（4）又或當時，由（3）得，所以同為負根。又由（4）知，所以原方程有一個解。當時，原方程有一個解當時，由（3）得，所以同為正根，且，不合題意。綜上可得或為所求。2009*11、（本題滿分15分）求函數(shù)的最大和最小值。解析：函數(shù)的定義域為。因為當時等號成立。故的最小值為又由柯西不等式得所以10分由柯西不等式等號成立的條件，得解得.故當時等號成立。因此的最大值為11.15分2008ABK函數(shù)在上的最小值為（C.D.A.

40、B.答案：C解析：當時，因此,當且僅當時取等號.而此方程有解，因此在上的最小值為2.2008A7、設，其中為實數(shù)，若，則答案：解析：由題意知，由得，因此，.2008B7、設，其中為實數(shù)，若，則答案：解析：由題意知，由得，因此，. 因此, 2008AB8、設的最小值為,則實數(shù)答案：解析：，(1)時，當時取最小值；(2)時，當時取最小值1；(3)時，當時取最小值.又或時，的c不能為，故，解得，（舍去）.2008A 11、設是定義在上的函數(shù)，若，且對任意，滿足，則 答案：解析：方法一：由題設條件知因此有，故方法二：令，則即，故，得是周期為2的周期函數(shù)，所以.2008B 11、設是定義在上的函數(shù)，若，

41、且對任意，滿足，則答案：解析：解法一由題設條件知因此有，故解法二令，則即，故，得是周期為2的周期函數(shù)，所以.2008AB14.解不等式解析：方法一;由，且在上為增函數(shù)，故原不等式等價于.即.分組分解得所以，即。解得.故原不等式解集為.方法二：由，且在上為增函數(shù)，故原不等式等價于即，,令，則不等式為，顯然在上為增函數(shù)，由此上面不等式等價于， 即，解得，故原不等式解集為.2008A二、（本題滿分50分）設是周期函數(shù)，和是的周期且，證明： 若為有理數(shù)，則存在素數(shù)，使是的周期；若為無理數(shù)，則存在各項均為無理數(shù)的數(shù)列滿足，（），且每個（）都 是的周期。證明：（1）若是有理數(shù)，則存在正整數(shù)使得且，從而存在

42、整數(shù)，使 得.于是是的周期.又因，從而.設是的素因子，貝h ,從而是的 周期.（2）若是無理數(shù)，令，則，且是無理數(shù)，令，由數(shù)學歸納法易知均為無理數(shù)且,又，故，即.因此是遞減數(shù)列.最后證：每個是的周期.事實上，因1和是的周期，故亦是的周期.假 設是的周期，則也是的周期.由數(shù)學歸納法，己證得均是的周期.2006*2、設，則實數(shù)的取值范圍為A.B.,且C.D.答案：B解析：因為，解得.由，解得；或 解得，所以的取值范圍為.2006*5、設函數(shù)，則對于任意實數(shù)，是的A.充分必要條件B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件答案：a解析：顯然為奇函數(shù)，且單調遞增。于是若,貝IJ,有

43、，即，從而有.反之，若，則，推出，即。2006*15、（本題滿分20分）設.記，集合對所有正整數(shù)，。證明:證明：（1 ）如果，則，。（2 ）如果，由題意，.則 當時，（）.事實上，當時，設時成立（為某整數(shù)），則對，.當時，（）.事實上，當時，設時成立（為某整數(shù)），則對，有. 注意到當時,總有，即.從而有.由歸納法， 推出。（3）當時，記，則對于任意，且。對于任意，貝人所以，。當時,即。因此。綜合（1 ） （ 2 ） （ 3 ）,我們有。2005*8、已知是定義在上的減函數(shù)，若成立，則實數(shù)的取值范圍為答案： 解析：不等式等價為，解得或。2005*二、（本題滿分50分）設正數(shù)滿足，求函數(shù)的最小值。

44、解析：由條件得，即2,即，同理，由于均為正數(shù)，由上式知，故以為邊長可以構造一個銳角三角形，其中。則問題等價于：銳角三角形中，求函數(shù)二的最小值.令則且同理,（取等號當且僅當，此時,綜上可知 2004*1、設銳角使關于的方程有重根，則的弧度數(shù)為A.B.或C.或D.答案：B解析：由方程有重根，故，;，得，得或.2004*2、已知，若對所有的，均有，則實數(shù)的取值范圍是A.B.C. D.答案：A解析：點在橢圓內或橢圓上，得.2004*3、不等式的解集為A.B.C.D.答案：c解析;令，則不等式轉化為，得2004*8、設函數(shù)，滿足，且對任意，都有，則答案：解析：令，得；令得交換位置后，令，得 比較、得，.

45、2004*15、（本題滿分20分）已知是方程（）的兩個不等實根，函數(shù)的定義域為。求；證明：對于（），若，則解析：（1）由題意得，.故.當時，由于，知時，于是，即在上單調遞增。所以，把，代入得注意到所以因為, 所以又等號不可能同時成立，故2003*5、已知都在區(qū)間內，且，則函數(shù)的最小值是A.B.C.D.答案：d解析：由，知，將代入函數(shù)解析式整理得.因為，所以，知當即時，取得最小值為，故選2003*10、己知均為正整數(shù)，且，若，則答案：解析：由題意得，設，則，即.因為均為正整數(shù)，則也是 整數(shù)，所以，解得，.所以.2002*1、函數(shù)的單調遞增區(qū)間是A.B. C.D.答案：a解析：由解得或，由復合函數(shù)

46、的單調性可得選A2002*3、函數(shù)A.是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)B.是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)C.既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)D.既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)答案：a解析：計算出的表達式整理到最簡后對比即可發(fā)現(xiàn)，2002*10、己知是定義在上的函數(shù)，旦對任意都有，。若，則答案：解析：由得，已知不等式即為， ，又所以，即的周期為，所以2002*11、若,則的最小值是答案：解析：由己知方程等價于，即由對稱性只考慮，因為，所以只須求的最小值。令代入中有，由于 所以，解得當，時，故的最小值是2002*15、（本題滿分20分）設二次函數(shù)（,）滿足條件:（1）當時,，且；（2）當時，；（3）在上的最小值為.求最大的0,使得存在，

47、只要，就有。解析：因為，知函數(shù)的圖象關于對稱即解得；由知當時，即；由得，由得，所以，即聯(lián)立以上三個式子解得，所以。假設存在，只要，就有。取時，有，即解得，下面對固定的，取，有，即，即，解得，注意到當時，對任意的，恒有所以的最大值為。2001*11、函數(shù)的值域為 答案： 解析：，則.兩邊平方得，從而且.由，或.任取，令，易知，于是且.任取，同樣令，易知，于是且.因此，所求函數(shù)的值域為.2000*14、（本題滿分20分）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為， 求. 解析：若，則的最大值為.最小值為.即是方程的兩個根，而此 方程兩根異號.故不可能.若，當時，取最大值，故，得.當或時取最小值，時.，但，

48、故取.此時，從而是最小值.，顯然.與矛盾.故舍.此時，最大值為，最小值為.兩式相減得.解得.符合條件的有或.1999*3、若，則（）D.A. B.C.答案：B解析：記，則在上單調遞增，則原不等式等價于，即，即。1998*1、若且，則 的值（）A.等于B.等于C.等于D.不是與答案：C無關的常數(shù)解析：由己知得1998*7、若是以為周期的偶函數(shù)，當時,由小至IJ大的排列是答案:解析：因為上遞增，旦于是1998*14、（本題滿分20分）設函數(shù)）,對于給定的負數(shù),有一個最大的正數(shù)，使得在整個區(qū)間上，不等式都成立。問:為何值時最大?求出這個最大的,證明你的結論。解析:當時,是方程的較小根,當時,是方程的

49、較大根,綜合以上,時,上遞增,所以當時,時,所以 時，取得最大值1997*7、設為實數(shù)，且滿足答案:解析：原方程組即,令 ，則這是一個奇函數(shù)，且增函數(shù)，即1996*5、如果在區(qū)間上，函數(shù)在同一點取相同的最小值,那么在該區(qū)間上的最大值是A.B.C.D.以上答案都不對答案：B解析：由于 .當且僅當 即 時 取得最小值,解得由于 .故在 上 的最大值為 .故選B.1995*4、若方程在區(qū)間上有兩個不相等的實根，則的取值范圍是 ()A. B. C. D.以上都不是答案：b解析：由，故，若,可知在所給區(qū)間上只有解.故.由圖象可得，時，.即.故選員又解：與線段（）有兩個公共點.即方程 在上有兩個不等實根.

50、故.且，且，且.解得.1995*9、用表示不大于實數(shù)的最大整數(shù)，方程的實根個數(shù)是答案：解析：令，則得.作出及的圖象可知交點落在及內.當時，代入解得.故得：，即共有3個實根.1995*二、（本題滿分25分）求一切實數(shù)，使得三次方程的三個根均為 正整數(shù)。解析：顯然是方程的一個根.于是只要考慮二次方程的兩個根為正 整數(shù)即可.設此方程的兩個正整數(shù)根為.則由韋達定理知， 消去，得.同乘以5： .由于均為整數(shù)，故、為整數(shù).即或或或其中使為正整數(shù)的，只有這一組值.此時.1994*8、已知，且，則.答案：解析：，令，知在上單調增即.1993*2、已知（為實數(shù)），則的值是（）A.B.C.D.隨取不同值而取不同值

51、答案：c解析：設，則，貝即.所以.選C1993*8、實數(shù)滿足，設，則.答案：解析：令，則且.1993*10、整數(shù)的末兩位數(shù)是.答案：解析：令，則得.由于，故所求末兩位數(shù)字為.1992*6、設是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，且滿足下列關系，則是（）A.偶函數(shù)，又是周期函數(shù)B.偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)C.奇函數(shù)，又是周期函數(shù)D.奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)答案：C解析：.是周期函數(shù)； 是奇函數(shù).選C1992*12、函數(shù)的最大值是 答案: 解析:0.11表示點與點的距離及距離差的最大值.由于此二點在拋物線兩側，故過此二點的直線必與拋物線交 于兩點.對于拋物線上任意一點，到此二點距離之差大于.即所求最小值為.1992*15、（本題滿分20分）設是自然數(shù)，（），令。1 .求證：，（）2 .用數(shù)學歸納法證明：解析：由.故證.，.故命題對成立.設對于（，為正整數(shù)），命題成立，現(xiàn)證命題對于成立.1.若為偶數(shù)，則為奇數(shù).由歸納假設知，對于及，有 即命題對成立.2.若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，由歸納假設知，對于及，有用乘減去，同上合并，并注意最后一項常數(shù)項為于是得到，即仍有對于，命題成立綜上所述，知對于一切正整數(shù)，命題成立.1991*2.設均為非零復數(shù)，且，則的值為（）A.B.C.D.答案：c解析：令，則.由得.且.故.選C1991*4.設函數(shù)對于一切實數(shù)滿足.且方