多變量函數(shù)問題解題策略研究

1、    多變量函數(shù)問題解題策略研究    李建華摘要：高考中對(duì)函數(shù)問題的綜合考查常以壓軸題出現(xiàn)，綜合考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)能力，但又不外乎考查函數(shù)單調(diào)性、極值、函數(shù)零點(diǎn)和最值、不等式恒成立及證明函數(shù)不等式問題等常見題型，在這些題型中卻又經(jīng)常會(huì)涉及雙變量或多變量函數(shù)問題，對(duì)于這類問題，考生往往不知如何入手，有些考生做過相關(guān)練習(xí)，但只要條件一變，又會(huì)無從下手，針對(duì)此，特精心挑選了幾個(gè)典型例題進(jìn)行講解、歸納、對(duì)比，從中歸納出兩種有效的常用解題策略及途徑。關(guān)鍵詞：輪換;同構(gòu);非同構(gòu);構(gòu)造：g4 ：a  ：1003-9082（2020）07-00-01

2、函數(shù)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的核心，貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)教材，也是高考重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)之一，既有主觀題，也有客觀題，客觀題更是以壓軸題的形式出現(xiàn)，通過對(duì)函數(shù)知識(shí)的考查來考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)能力。但主要題型還是函數(shù)單調(diào)性、極值、零點(diǎn)和最值，不等式恒成立和證明不等式問題，對(duì)于這些問題中的常見題型，學(xué)生一般都掌握得不錯(cuò)，但對(duì)于雙變量或多變量問題，學(xué)生大都能聽懂但不能掌握，特挑選以下例題做一分析對(duì)比總結(jié)，希望對(duì)考生有所幫助。題型一、同構(gòu)式變形構(gòu)造新函數(shù).就是將不同的變量放入了同一個(gè)關(guān)系式，但可將這個(gè)關(guān)系式視為一個(gè)函數(shù)，關(guān)系式與變量大小之間的關(guān)系靠函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行聯(lián)結(jié)，實(shí)現(xiàn)了將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性問題。例

3、1;已知函數(shù)，x（0，+），當(dāng)x1< p>a.（-，e） b.（-，e c. d.分析：此題顯然是常見的不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問題，一般是要分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，或利用不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性問題。由所給條件結(jié)構(gòu)形式，很明顯含有雙變量，且屬于輪換對(duì)稱式，只需將其進(jìn)行同構(gòu)變形，轉(zhuǎn)化為單調(diào)性問題來解決，我們會(huì)看到，其最終目的是轉(zhuǎn)化為單變量（常見）函數(shù)問題。由0<x1<x2及得，令，則當(dāng)0<x1<x2時(shí)，有g(shù)（x1）< p>反饋練習(xí);已知。（1）討論的單調(diào)性;（2）設(shè)，求證：x1x2（0，+），。留給讀者解決，提示：觀察所證不等式為雙變量且

4、為輪換對(duì)稱式，又x1，x2任取，進(jìn)而可定序x2>x1，再由第（1）問單調(diào)性可去掉絕對(duì)值符號(hào)，實(shí)現(xiàn)同構(gòu)變形。但有些雙變量、甚至更多變量問題，其所給條件或結(jié)論表面上是否屬于輪換對(duì)稱式就非常不明顯，這就給學(xué)生解決問題帶來了障礙，事實(shí)上，高考對(duì)函數(shù)的綜合考查，無論是雙變量或更多變量問題最終還是要轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)問題來解決，轉(zhuǎn)化的手段基本就是同構(gòu)變形構(gòu)造新函數(shù)，或者是利用條件和結(jié)論變形消元構(gòu)造新函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)問題來達(dá)到解題目的。例2;已知函數(shù)。（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程;（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2且x1e2。（同構(gòu)變形構(gòu)造新函數(shù)）分析：（1）省略;（2）該題含有雙變量

5、及一個(gè)參數(shù)，但所證結(jié)論結(jié)構(gòu)上顯然不是輪換對(duì)稱式，故不能直接進(jìn)行同構(gòu)變形，這就使許多學(xué)生看似似曾相識(shí)，卻又無從下手。若從條件式結(jié)構(gòu)看，就知道要對(duì)所證結(jié)論先進(jìn)行變形，從而找到解題突破口，具體如下：x1，x2是得兩個(gè)極值點(diǎn)，且x1< p>有，從而，再往后就有了解題思路了，要證x1x2>e2，兩邊取自然對(duì)數(shù)，即證，亦即證明即可，此式結(jié)構(gòu)顯然是雙變量輪換對(duì)稱式，可進(jìn)行同構(gòu)變形構(gòu)造新函數(shù)來解決，即不等式左邊分子分母同除以x1得，令，則有，亦即，令，則在t>1時(shí)恒成立，即g（t）在（1，+）上單調(diào)遞增，g（t）>g（1）=0恒成立，從而原命題x1x2>e2成立。題型二、非同構(gòu)消元變形構(gòu)造新函數(shù)。例3;已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的最大值為0。（1）求實(shí)數(shù)的值;（2）若，證明：x1+x2>2。分析：對(duì)于問題（2），無論從條件還是結(jié)論的結(jié)構(gòu)形式，雖然涉及雙變量，但顯然無法進(jìn)行同構(gòu)變形，那么對(duì)于多變量函數(shù)問題，那就必須消元構(gòu)造新的函數(shù)，這就是在這里要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的對(duì)于這類問題的另一種解題途徑。特別地，若是雙變量不等式問題，可充分利用函數(shù)單調(diào)性來消元。反饋練習(xí) 讀者可自行練習(xí)2016年新課標(biāo)卷、2018年新課標(biāo)卷第21題，體會(huì)雙變量消元構(gòu)造新函數(shù)的思想方法。至此，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，對(duì)于復(fù)雜的多