理論力學(xué)11—動(dòng)量矩定理

1、11 動(dòng)量矩定理由靜力學(xué)力系簡(jiǎn)化理論知： 由剛體平面運(yùn)動(dòng)理論知：若將簡(jiǎn)化中心和基點(diǎn)取在質(zhì)心上，則動(dòng)量定理(質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理)描述了剛體隨同質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)的變化和外力系主矢的關(guān)系。剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)變化與外力系對(duì)質(zhì)心的主矩的關(guān)系將由本章的動(dòng)量矩定理給出。引言平面任意力系向任一簡(jiǎn)化中心簡(jiǎn)化可得一力和一力偶，此力等于平面力系的主矢，此力偶等于平面力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以分解為隨基點(diǎn)的平動(dòng)和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。它揭示了物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)規(guī)律的另一個(gè)側(cè)面。1 1 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩()Omm Mvrv質(zhì)點(diǎn)Q的動(dòng)量對(duì)于點(diǎn)O的矩，定義為質(zhì)點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)O的動(dòng)量矩AQMz(mv)QAxyzOmvrqMO(mv)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量m

2、v在oxy平面內(nèi)的投影(mv)xy對(duì)于點(diǎn)O的矩11.1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定義為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量對(duì)于z軸的矩簡(jiǎn)稱(chēng)對(duì)于z軸的動(dòng)量矩，是代數(shù)量。是矢量。類(lèi)似于力對(duì)點(diǎn)之矩和力對(duì)軸之矩的關(guān)系，質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩矢在z軸上的投影，等于對(duì)z的動(dòng)量矩。在國(guó)際單位制中，動(dòng)量矩的單位是kgm2/s。MO(mv)zMz(mv)11.1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩11.1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某點(diǎn)O的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一點(diǎn)O的動(dòng)量矩的矢量和。2 2 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩LO=MO(mv)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某軸z的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一軸z的動(dòng)量矩的代數(shù)和。Lz=Mz(mv)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某點(diǎn)O的動(dòng)量矩矢在通過(guò)該點(diǎn)的z軸上的投影，等于質(zhì)點(diǎn)系

3、對(duì)該軸z的動(dòng)量矩。LOz= Lz11.1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩3 平動(dòng)剛體的動(dòng)量矩剛體平動(dòng)時(shí)，可將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心，作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)計(jì)算其動(dòng)量矩。4 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩2()zziiii ii iLMmmv rmr v令Jzmiri2稱(chēng)為剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, 于是得zzJL 即：繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)其轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的乘積。ziMiriivm11.1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩注意：對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩是矢量，對(duì)軸的動(dòng)量矩是代數(shù)量。計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩時(shí)，無(wú)論是用絕對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量，還是用相對(duì)于以質(zhì)心為基點(diǎn)的平動(dòng)坐標(biāo)系的相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量，其計(jì)算結(jié)果是相同的。對(duì)質(zhì)心之外的其它點(diǎn)

4、，用上述兩種方法計(jì)算的動(dòng)量矩是不同的，必須用絕對(duì)運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)量來(lái)計(jì)算動(dòng)量矩。rOAvm例1 均質(zhì)圓盤(pán)可繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，其上纏有一繩，繩下端吊一重物A。若圓盤(pán)對(duì)轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，半徑為r，角速度為，重物A的質(zhì)量為m，并設(shè)繩與圓盤(pán)間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，求系統(tǒng)對(duì)軸O的動(dòng)量矩。解：)(22JmrJmrJmvrLLLO盤(pán)塊LO的轉(zhuǎn)向沿逆時(shí)針?lè)较颉?1.1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩)(22JmrJmrJmvrLLLO盤(pán)塊1 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理設(shè)質(zhì)點(diǎn)Q對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩為MO(mv)dd()()dddd()ddOmmttmmttMvrvrvrvMO(mv)mvxyzOQrMO(F)F將動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間取一次導(dǎo)數(shù)，得dd()()

5、dddd()ddOmmttmmttMvrvrvrv11.2 動(dòng)量矩定理作用力F F對(duì)同一點(diǎn)的矩為MO(F)如圖所示0,()Om vvrFMFd()()dOOmt MvMFdd()ddmtt rvF,vd()dOmmt MvvvrF因?yàn)樗杂忠驗(yàn)樗詘yzOMO(mv)QmvrMO(F)F質(zhì)點(diǎn)對(duì)某定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用力對(duì)同一點(diǎn)的矩。11.2 動(dòng)量矩定理將上式投影在直角坐標(biāo)軸上，并將對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩與對(duì)軸的動(dòng)量矩的關(guān)系代入，得d()()dd()()dd()()dxxyyzzMmMtMmMtMmMtvFvFvF質(zhì)點(diǎn)對(duì)某固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于質(zhì)點(diǎn)所受的力對(duì)同一軸的矩。11.2

6、 動(dòng)量矩定理d()()dd()()dd()()dxxyyzzMmMtMmMtMmMtvFvFvFd()()dd()()dd()()dxxyyzzMmMtMmMtMmMtvFvFvF例2 圖示為一單擺（數(shù)學(xué)擺），擺錘質(zhì)量為m，擺線(xiàn)長(zhǎng)為l，如給擺錘以初位移或初速度（統(tǒng)稱(chēng)初擾動(dòng)），它就在經(jīng)過(guò)O點(diǎn)的鉛垂平面內(nèi)擺動(dòng)。求此單擺在微小擺動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：以擺錘為研究對(duì)象，建立如圖坐標(biāo)，受力如圖。2()zMmmvlmlv()sinzMmgl F式中負(fù)號(hào)表示力矩的正負(fù)號(hào)恒與角坐標(biāo) 的正負(fù)號(hào)相反。OlMyxNvmg11.2 動(dòng)量矩定理它表明力矩總是有使擺錘回到平衡位置的趨勢(shì)。在任一瞬時(shí)，擺錘的速度為v v擺的偏

7、角為 ，則 11.2 動(dòng)量矩定理由d()()dzzMmMtvF2d()sindmlmglt 即0sinlg 這就是單擺的運(yùn)動(dòng)微分方程。0lg 此微分方程的解為)sin(tlgA其中A和為積分常數(shù)，取決于初始條件。glT2顯然，周期只與l有關(guān)，而與初始條件無(wú)關(guān)。得可見(jiàn)單擺的微幅擺動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。擺動(dòng)的周期為當(dāng) 很小時(shí)，sin，擺作微擺動(dòng)于是上式變?yōu)樵O(shè)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，作用于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的力分為外力F Fi(e) 和內(nèi)力F Fi(i) 。(e)(i)d()()()dOiiOiOimtMvMFMF這樣的方程共有n個(gè)，相加后得由于內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)，因此上式右端的第二項(xiàng)(e)(i)111d()()()dnn

8、nOiiOiOiiiimtMvMFMF(i)1()0nOiiMF11.2 動(dòng)量矩定理(e)(i)d()()()dOiiOiOimtMvMFMF(e)(i)111d()()()dnnnOiiOiOiiiimtMvMFMF由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理有2 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理上式左端為于是得11ddd()()dddnnOiiOiiOiimmtttMvMvL(e)1d()dnOOiitLMF質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)于同一點(diǎn)之矩的矢量和。11.2 動(dòng)量矩定理11ddd()()dddnnOiiOiiOiimmtttMvMvL11.2 動(dòng)量矩定理在應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理時(shí)，取投

9、影式(e)(e)(e)d()dd()dd()dxxiyyizziLMtLMtLMt FFF質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)于同一軸之矩的代數(shù)和。(e)(e)(e)d()dd()dd()dxxiyyizziLMtLMtLMt FFF(e)(e)(e)d()dd()dd()dxxiyyizziLMtLMtLMt FFF11.2 動(dòng)量矩定理3 動(dòng)量矩守恒定律如果作用在質(zhì)點(diǎn)系上的力對(duì)某定點(diǎn)之矩恒等于零，則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)的動(dòng)量矩保持不變。則當(dāng)外力對(duì)于某定點(diǎn)(或某定軸)的主矩等于零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于該點(diǎn)(或該軸)的動(dòng)量矩守恒。由上式可知，質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩。恒矢量)

10、( vmMO如果作用在質(zhì)點(diǎn)系上的力對(duì)某定軸之矩恒等于零，則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該軸的動(dòng)量矩保持不變。則恒矢量)( vmMz這就是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒定律。11.2 動(dòng)量矩定理注意：(1)內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系對(duì)定點(diǎn)或?qū)|(zhì)心的動(dòng)量矩，只有外力矩才能使之改變。(2)動(dòng)量矩定理僅僅對(duì)定點(diǎn)(或定軸)及質(zhì)心(或質(zhì)心軸)成立，對(duì)一般的動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)軸通常是不成立的。在應(yīng)用動(dòng)量矩定理時(shí)一定要注意這一點(diǎn)。(3)這里所稱(chēng)的質(zhì)心軸Cx、Cy、Cz，均是指以質(zhì)心為基點(diǎn)的平動(dòng)坐標(biāo)軸。11.2 動(dòng)量矩定理例3 高爐運(yùn)送礦石的卷?yè)P(yáng)機(jī)如圖。已知鼓輪的半徑為R，質(zhì)量為m1，繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。小車(chē)和礦石的總質(zhì)量為m2。作用在鼓輪上的力偶矩為M，鼓輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)

11、動(dòng)慣量為J，軌道傾角為。設(shè)繩質(zhì)量和各處摩擦不計(jì)，求小車(chē)的加速度a a。解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖。以順時(shí)針為正，則vRmJLO2(e)2()sinOMMm gRFMOm2gNvm1gFOxFOy分析：小車(chē)的速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于加速度，利用動(dòng)量矩定理可求出小車(chē)速度的表達(dá)式。11.2 動(dòng)量矩定理因 ,于是解得d,dvvaRt2222sinRmJgRmMRa若Mm2gRsin，則a0，小車(chē)的加速度沿軌道向上。必須強(qiáng)調(diào)的是：為使動(dòng)量矩定理中各物理量的正負(fù)號(hào)保持協(xié)為使動(dòng)量矩定理中各物理量的正負(fù)號(hào)保持協(xié)調(diào)，動(dòng)量矩和力矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定必須完全一致。調(diào)，動(dòng)量矩和力矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定必須完全一致。22d()s

12、indJm vRMm gRt由 ，有(e)d()dOOiLmt F11.2 動(dòng)量矩定理ABCDz0aall例4 水平桿AB長(zhǎng)2a，可繞鉛垂軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，其兩端各用鉸鏈與長(zhǎng)為l的桿AC及BD相連，桿端各聯(lián)結(jié)質(zhì)量為m的小球C和D。起初兩小球用細(xì)線(xiàn)相連，使桿AC與BD均為鉛垂，系統(tǒng)繞z軸的角速度為0。如某時(shí)此細(xì)線(xiàn)拉斷，桿AC和BD各與鉛垂線(xiàn)成角。不計(jì)各桿的質(zhì)量，求這時(shí)系統(tǒng)的角速度 。分析：系統(tǒng)所受外力對(duì)z軸之矩均為零故不能使用動(dòng)量矩定理但正因?yàn)橄到y(tǒng)所受外力對(duì)z軸之矩均為零故應(yīng)使用動(dòng)量矩守恒定理。所以動(dòng)量矩守恒11.2 動(dòng)量矩定理CABDzaall21zzLL21002()2zLmaama222 (sin

13、)zLm al22022 (sin)mam al022)sin(laa顯然，此時(shí)的角速度 0。解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象系統(tǒng)所受的外力有小球的重力和軸承處的反力這些力對(duì)轉(zhuǎn)軸之矩都等于零。所以系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩守恒，即11.2 動(dòng)量矩定理解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩為：例5 均質(zhì)圓輪半徑為R、質(zhì)量為m，圓輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO。圓輪在重物P帶動(dòng)下繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，已知重物重量為W。求重物下落的加速度。vRgWJLOOP分析：重物下落的加速度等于速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)Rv因?yàn)椋褐匚飳?duì)O點(diǎn)有力矩，也有動(dòng)量矩，圓輪的動(dòng)量矩可求，所以可用動(dòng)量矩定理求解。11.2 動(dòng)量矩定理)(eOMtdLd)(22

14、RgWJWRaOWRdtdvRgWRJO)(WRMe)(系統(tǒng)外力對(duì)O點(diǎn)之矩為：將系統(tǒng)的動(dòng)量矩表達(dá)式和外力對(duì)O點(diǎn)之矩表達(dá)式代入動(dòng)量矩定理得：P所以：vRgWRJLOO)(所以：11.2 動(dòng)量矩定理例6 一繩跨過(guò)定滑輪，其一端吊有質(zhì)量為 m的重物A，另一端有一質(zhì)量為m的人以速度u相對(duì)細(xì)繩向上爬。若滑輪半徑為r，質(zhì)量不計(jì)，并且開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)靜止，求人的速度。解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖。設(shè)重物A上升的速度為v，則人的絕對(duì)速度va的大小為由于MO(F (e)0，且系統(tǒng)初始靜止。uvavevmg所以L(fǎng)O0。uOAvuva0mvrrmvLaOmgFOxFOy11.2 動(dòng)量矩定理0)(mvrrvumLO2uv

15、 2uva由上可知，人與重物A具有相同的的速度uvavev如果開(kāi)始時(shí)，人與重物A位于同一高度此速度等于人相對(duì)繩的速度的一半則不論人以多大的相對(duì)速度爬繩，人與重物A將始終保持相同的高度。11.3 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程設(shè)剛體繞定軸 z 以角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)d()()dzzJMt Fd()dzzJMt F22d()dzzJMt FFN1FN2剛體受有主動(dòng)力和軸承約束反力()zzJM F或xyzF1FnF2則 Lz Jz如不計(jì)摩擦，則由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理得11.3 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，等于作用于剛體上的主動(dòng)力對(duì)該軸之矩的代數(shù)和。第一類(lèi)基本問(wèn)題：已知質(zhì)點(diǎn)系的

16、運(yùn)動(dòng)，求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力矩。第二類(lèi)基本問(wèn)題：已知作用在質(zhì)點(diǎn)系上的力矩，求質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)。以上各式均稱(chēng)為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程。應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程可以解決動(dòng)力學(xué)兩類(lèi)問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題其實(shí)質(zhì)可歸結(jié)為數(shù)學(xué)上的求導(dǎo)問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題其實(shí)質(zhì)可歸結(jié)為數(shù)學(xué)上的解微分方程或求積分問(wèn)題。11.3 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程例8 如圖所示，已知滑輪半徑為R，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，帶動(dòng)滑輪的皮帶拉力為F1和F2。求滑輪的角加速度。解：由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程12()JR FF于是得12()FF RJ由上式可見(jiàn)F1F2OR只有當(dāng)定滑輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)（包括靜止）或雖非勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，但可忽略滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)跨過(guò)定滑輪的皮帶拉力才是相等的

17、。例9 圖示物理擺的質(zhì)量為m，C為其質(zhì)心，擺對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO。求微小擺動(dòng)的周期。分析：OCamg要求擺動(dòng)周期，需要求出此物理擺的運(yùn)動(dòng)方程解：設(shè)角以逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎inmgaJO 當(dāng)微擺動(dòng)時(shí)，有 sin ，故方程寫(xiě)為0OJmga 11.3 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程而運(yùn)動(dòng)方程，要通過(guò)求解其定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程得到。當(dāng)角為正時(shí)，重力對(duì)O點(diǎn)之矩為負(fù)。由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程，有這就表明:此方程通解為)sin(0tJmgaO 0為角振幅mgaJTO2224mgaTJO則：11.3 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程擺動(dòng)周期為為初相位它們均由初始條件確定。如已知某物體的質(zhì)量和質(zhì)心位置并將物體懸掛于

18、O點(diǎn)作微幅擺動(dòng)測(cè)出擺動(dòng)周期后即可計(jì)算出此物體對(duì)于O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。例10 如圖，飛輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，以初角速度0繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其阻力矩 M (為常數(shù))。求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，角速度降至初角速度的一半，在此時(shí)間內(nèi)共轉(zhuǎn)多少轉(zhuǎn)?解：以飛輪為研究對(duì)象，由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程，有d(1)dJt M0將（1）式變換，有ddJt 將上式求定積分，得0020ddtJt 11.3 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程11.3 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程2ln2ln00JJt將(1)式改寫(xiě)為ddddJtt 即ddJ 將上式求定積分，得0002ddJ 轉(zhuǎn)過(guò)的角度為002J因此轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù)4200Jn11.3 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

19、的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程例11 如圖所示，嚙合齒輪各繞定軸O1、O2轉(zhuǎn)動(dòng)，其半徑分別為r1、r2，質(zhì)量分別為m1、m2，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1、J2，今在輪O1上作用一力矩M，求其角加速度。解：分別以?xún)奢啚檠芯繉?duì)象，受力如圖111222,JMF rJF r由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，得1 12 2rrMFO1yFO1xFFnm1gFO2yFO2xm2gO1O2FFnO1r1r2O2M111222,JMF rJF r注意到，聯(lián)立求解以上三式得FF221221 22 1MrJ rJ r由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程，有11.3 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程O(píng)FOxFOW=mgOFOyFOxW=mg解除約束前：FOx=？,FOy=？

20、例題12 關(guān)于突然解除約束問(wèn)題突然解除約束瞬時(shí)：11.3 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程突然解除約束瞬時(shí)解：應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程lglmgml23,2312應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得：OyOxFmglmFlm2022420mglmmgFFOyOx(e)Cm aF分析：桿繞O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：231mlJo桿OA將繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，不再是靜力學(xué)問(wèn)題。這時(shí)，0，0需要先求出 ，再確定約束力。420mglmmgFFOyOxOyOxFmglmFlm2022lglmgml23,23122iizrmJ由前知，剛體對(duì)軸 z 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義為：對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，上式可寫(xiě)成積分形式2dzJrm由定義可知，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不僅與質(zhì)量

21、有關(guān)，而且與質(zhì)量的分布有關(guān)。在國(guó)際單位制中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位是: kgm2。同一剛體對(duì)不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不同的11.4 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體上所有質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與該質(zhì)點(diǎn)到軸 z 的垂直距離的平方乘積的算術(shù)和。即而它對(duì)某定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量卻是常數(shù)因此在談及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，必須指明它是對(duì)哪一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。（1） 均質(zhì)細(xì)桿ddmmxl222121d12llzmJx xmll2201d3lzmJx xmll2lz1xCzxOl設(shè)均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)l，質(zhì)量為m11.4 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1 簡(jiǎn)單形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量取微段dx,則dxxdxx（2） 均質(zhì)薄圓環(huán)對(duì)于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量zR設(shè)細(xì)圓環(huán)的質(zhì)量為m，半徑為R。222zi i

22、iJmrRmmR xyR（3）均質(zhì)圓板對(duì)于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)圓板的質(zhì)量為m，半徑為R。22201d2d2RzJrmrrrmR將圓板分為無(wú)數(shù)同心的薄圓環(huán)。任一圓環(huán)的質(zhì)量為dm2rdr11.4 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量m/R 222201d2d2RzJrmrrrmR22201d2d2RzJrmrrrmR則xrdr于是圓板轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為11.4 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在工程上常用回轉(zhuǎn)半徑來(lái)計(jì)算剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，其定義為mJzz如果已知回轉(zhuǎn)半徑，則物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2zzmJ回轉(zhuǎn)半徑的幾何意義是：對(duì)于幾何形狀相同的均質(zhì)物體，其回轉(zhuǎn)半徑相同。2 回轉(zhuǎn)半徑(慣性半徑)假想地將物體的質(zhì)量集中到一點(diǎn)處并保持物體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不

23、變則該點(diǎn)到軸的距離就等于回轉(zhuǎn)半徑的長(zhǎng)度。11.4 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)于任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)于通過(guò)質(zhì)心、并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積。2zzCJJmd證明：212211()zCiiJmrm xy 222()ziiJmrm xy 因11,xxyydy, y1z1zdxmCOzz1xx1r1ryy1x13 平行軸定理即212211()zCiiJmrm xy 222()ziiJmrm xy 11,xxyyd由質(zhì)心坐標(biāo)公式1iCm yym2zzCJJmd由定理可知：2211222111() ()2ziiiiJm xydm xydm ydm 當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)取在

24、質(zhì)心 C 時(shí)11.4 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2211222111() ()2ziiiiJm xydm xydm ydm yC0于是得又有SmimSmiyi0剛體對(duì)于所有平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。例13 如圖所示，已知均質(zhì)桿的質(zhì)量為m，對(duì) z1 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1，求桿對(duì)z2 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J2 。解：由 ，得2zzCJJmd21(1)zCJJma22(2)zCJJmb2221()JJm ba(1)(2)得zz1z2abC11.4 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量11.4 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量OABll 2OABll 2例14 均質(zhì)直角折桿尺寸如圖，其質(zhì)量為3m，求其對(duì)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：ABOAOJJ

25、Jl 2OABll 2思考：22225)2)(2()2)(2(12131mllmlmmlL、mR=l/2、moz12R22Rl例15 如圖所示，質(zhì)量為m的均質(zhì)空心圓柱體外徑為R1，內(nèi)徑為R2，求對(duì)中心軸 z 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：空心圓柱可看成由兩個(gè)實(shí)心圓柱體組成內(nèi)外JJJz設(shè)m1、m2分別為外、內(nèi)圓柱體的質(zhì)量，則21121RmJ外22221RmJ內(nèi)于是2222112121RmRmJz11.4 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量外圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J外內(nèi)圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J內(nèi)取負(fù)值即設(shè)單位體積的質(zhì)量為221122,mR lmR l代入前式得)(214241RRlJz注意到 l (R21R22)m)(212221RR

26、mJz11.4 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量221122,mR lmR l)(2122212221RRRRl則則得如圖所示，O為固定點(diǎn)，C為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心()OOiiiiimm LMvrv對(duì)于任一質(zhì)點(diǎn)miiiC rrr于是()iiOCiiCiiiimmm Lrrvrvrv由于iiCmm vvririrCmiyyxzCOxzvi11.5 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理()iiOCiiCiiiimmm Lrrvrvrv質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩為ririrCmiyyxzCOxzvi它是質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩。OCCCm LrvL即：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一點(diǎn)O的動(dòng)量矩等于集中于質(zhì)心的系統(tǒng)動(dòng)量mvC對(duì)于O點(diǎn)的動(dòng)量矩與此系統(tǒng)

27、對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩LC的 矢量和。(e)dd()ddiiOCCCmtt LrvLrF質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩定理可寫(xiě)成iCiim Lrv令11.5 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理于是得展開(kāi)上式(e)(e)ddddddCCCCCCiiimmttt rLvrvrFrF(e)dd,0,ddCCCCCCCimmtt rvvavvaF(e)ddCiit LrF因?yàn)橛谑巧鲜匠蔀?e)dd()ddOCCCiimtt LrvLrF11.5 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理注意右端項(xiàng)中rirC+ri于是上式化為(e)dd,0,ddCCCCCCCimmtt rvvavvaF(e)dd,0,ddCCCCCCCimmtt

28、rvvavvaF所以(e)dd,0,ddCCCCCCCimmtt rvvavvaF質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)質(zhì)心的主矩。(e)d()dCCit LMF上式右端是外力對(duì)質(zhì)心的主矩，于是得(e)ddCiit LrF11.5 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理ririrCmiyyxzCOxzviOArc)(rb)(例16 均質(zhì)圓盤(pán)質(zhì)量為2m，半徑為r。細(xì)桿OA質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l3r，繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為、求下列三種情況下系統(tǒng)對(duì)軸O的動(dòng)量矩：(a)圓盤(pán)與桿固結(jié)；(b) 圓盤(pán)繞軸A相對(duì)桿OA以角速度逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)；(c)圓盤(pán)繞軸A相對(duì)桿OA以角速度 順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)。（習(xí)題11

29、-2）OA解：(a)222)3(2)2(2131rmrmmlJo222mrJLOO11.5 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理222222183mrmrmrmr(b) 圓盤(pán)繞軸A相對(duì)桿OA以角速度 逆 時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)OArb)(0A盤(pán)桿LLLO11.5 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理)2()(AOAmvmLJ桿rrmJmrAA3)3)(2(32222183mrmrmrA221mrOArc)(2A盤(pán)桿LLLO (c) 圓盤(pán)繞軸A相對(duì)桿OA以角速度 順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)。11.5 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理)2()(AOAmvmLJ桿rrmJmrAA3)3)(2(32222183mrmrmrA223mr2221

30、8)2(3mrmrmr由剛體平面運(yùn)動(dòng)理論知：平面運(yùn)動(dòng)剛體的位置可由基點(diǎn)的位置與剛體繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)角確定。CCJL JC為剛體過(guò)質(zhì)心且垂直于圖示平面軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。yxxyOCD取質(zhì)心為基點(diǎn)，如圖所示，則剛體的位置可由質(zhì)心坐標(biāo)和角確定。剛體的運(yùn)動(dòng)可分解為隨同質(zhì)心的平動(dòng)和相對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分。取如圖動(dòng)坐標(biāo)系，則剛體繞質(zhì)心的動(dòng)量矩為11.6 剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程設(shè)作用在剛體上的外力可向質(zhì)心所在的運(yùn)動(dòng)平面簡(jiǎn)化為一平面力系，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理得(e)Cm aF(e)d()J()dCCCJMt F上式也可寫(xiě)成2(e)2ddCmt rF2(e)2d()dCCJMt FyxxyOCD11.6 剛

31、體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程11.6 剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程以上兩式稱(chēng)為剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程。應(yīng)用時(shí)，前一式取其投影式。即(e)(e)(e)()CxCyCCmxFmyFJM F(e)(e)(e)()CxCyCCmxFmyFJM F(e)(e)(e)()CxCyCCmxFmyFJM F11.6 剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程例17 一均質(zhì)圓柱，質(zhì)量為m，半徑為r，無(wú)初速地放在傾角為q 的斜面上，不計(jì)滾動(dòng)阻力，求其質(zhì)心的加速度。解：以圓柱體為研究對(duì)象。(1) 設(shè)接觸處完全光滑此時(shí)圓柱作平動(dòng)，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理即得圓柱質(zhì)心的加速度sinCagqqCxyO(e)CxxmaF sinCmamgqCqaCFNmg圓柱體在斜面

32、上的運(yùn)動(dòng)形式，取決于接觸處的光滑程度，下面分三種情況進(jìn)行討論：(2) 設(shè)接觸處足夠粗糙 此時(shí)圓柱作純滾動(dòng)，受力如圖。2sin0cos12CNmamgFFmgmrFrqq2sin3Cagq解得11sin23CFmamgq由于圓柱作純滾動(dòng)，故maxcosNFFf Ff mgq由純滾動(dòng)條件有Car所以1cossin3f mgmgqq，可得1tan3fq這就是圓柱體在斜面上作純滾動(dòng)的條件。FqCxyOFNmg11.6 剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程2sin0cos12CNmamgFFmgmrFrqq2sin0cos12CNmamgFFmgmrFrqq列出平面運(yùn)動(dòng)微分方程aC(3) 設(shè)不滿(mǎn)足圓柱體在斜面上作純滾

33、動(dòng)的條件1tan3fq設(shè)圓柱體沿斜面滑動(dòng)的動(dòng)摩擦系數(shù)為f ，則滑動(dòng)摩擦力cosNFf Ff mgq由于2cosgfrq(sincos )Cagfqq圓柱體在斜面上既滾動(dòng)又滑動(dòng), 在這種情況下，aCr于是Frmr22111.6 剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程11.6 剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程例18 均質(zhì)圓柱體A和B質(zhì)量均為m，半徑均為r。圓柱A可繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。一繩繞在圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱B上。求B下落時(shí)，質(zhì)心C點(diǎn)的加速度。摩擦不計(jì)。（習(xí)題11-28第一問(wèn)）解：取A為研究對(duì)象，受力如圖。AATJF rCTmamgFCBTJF r其中22ACJJmrOABCAFTmgFOxFOyOAFTmgBCDB

34、aC取B為研究對(duì)象，受力如圖。由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系aDrA,，而由加速度合成定理有()CDBABaarrgaC54A作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程有B作平面運(yùn)動(dòng)。應(yīng)用平面運(yùn)動(dòng)的微分方程有例19 均質(zhì)桿質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l，在鉛直平面內(nèi)一端沿著水平地面，另一端沿著鉛垂墻壁，從圖示位置無(wú)初速地滑下。不計(jì)摩擦，求開(kāi)始滑動(dòng)的瞬時(shí)，地面和墻壁對(duì)桿的約束反力。解：以桿AB為研究對(duì)象，分析受力。yBqCAmgxBqCAFAFB桿作平面運(yùn)動(dòng)，設(shè)質(zhì)心C的加速度為a aCx、a aCy，角加速度為。aCxaCy由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程mgsincos(3)22CABllJFFqq(2)CyAmaFmg(1)CxBmaF11

35、.6 剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程BqCAxy以C點(diǎn)為基點(diǎn)，則A點(diǎn)的加速度為tnACACACaaaat0sinCyACaaq再以C點(diǎn)為基點(diǎn)，則B點(diǎn)的加速度為tnBCBCBCaaaat0cosCxCBaaqtsinsin(4)2CyAClaaqq tcoscos(5)2CxCBlaaqqaAaBaCxaCyatBCatAC在運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí), 0, 故 , 將上式投影到x 軸上，得an 0AC同理， ，將上式投影到 y軸上，得an 0BC11.6 剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程聯(lián)立求解(1) (5)式，并注意到2121mlJC可得3sin2glq23(1sin)4AFmgq3sincos4BFmgqq注：亦可由坐標(biāo)法求出(4)、(5)式：sin ,cos22CCllxyqqcos,sin22CCllxyq qq q 22sincos,cossin2222CCllllxyq qq qq qq q 運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)， ，故0qcos ,sin22CxCCyCllaxayqq BqCAxy11.6 剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程AxCB例20 如圖質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB用細(xì)繩吊住，已知兩繩與水平方向的夾角為 。求B端繩斷開(kāi)瞬時(shí)，A端繩的張力。解：取桿分析，建立如圖坐標(biāo)。AB作平面運(yùn)動(dòng)，以A為基點(diǎn)，則tntnCAACACAaaaaasinCxTmaFmg ABFTttCACAaaa因?yàn)?/p>