彈性矩陣學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1彈性彈性(tnxng)矩陣矩陣第一頁，共116頁。2第1頁/共115頁第二頁，共116頁。3第2頁/共115頁第三頁，共116頁。4第3頁/共115頁第四頁，共116頁。5x3），由于形變這一點(diǎn)的位移可以用位置矢衣來表示：r r 第4頁/共115頁第五頁，共116頁。631kkkiidxxd第5頁/共115頁第六頁，共116頁。7 233322222111223332322222221112131k2kk2dddx2dddx2dddx2)dl(dddx2dxdddx2dxdddx2dx)ddx() dl( 第6頁/共115頁第七頁，共116頁。833322311333322221122

2、3312211111dxxdxxdxxddxxdxxdxxddxxdxxdxxd 第7頁/共115頁第八頁，共116頁。9于是(ysh)有: 23332231133332231133233222211233222211222331221111331221111122dxxdxxdxxdxxdxxdxxdx2dxxdxxdxxdxxdxxdxxdx2dxxdxxdxxdxxdxxdxxdx2)dl() dl( 第8頁/共115頁第九頁，共116頁。10其中(qzhng)張量eik由下式給出:31k , ikiik231k2kk2dxdxe2)dl()ddx() dl()xxxx(21e31jij

3、kjikkiik第9頁/共115頁第十頁，共116頁。11第10頁/共115頁第十一頁，共116頁。12) 3 , 2 , 1k, i (),xx(21eikkiik第11頁/共115頁第十二頁，共116頁。13332313232212131211eeeeeeeeee二級(jí)對(duì)稱(duchn)的張量，有六個(gè)獨(dú)立元素 第12頁/共115頁第十三頁，共116頁。14zz3333yy2222xx1111ezwxeeyvxeexuxe xy211212zz133131yz322323e)yuxv(21)xx(21ee)xwzu(21)xx(21ee)zvyw(21)xx(21e 第13頁/共115頁第十四

4、頁，共116頁。15zz zeyy yexx xezzyyxx正應(yīng)變(yngbin)第14頁/共115頁第十五頁，共116頁。16體積(tj)元的體積(tj)改變量： V)eee (VV)e1)(e1)(e1 (VVzzyyxxzzyyxx由形變(xngbin)引起的體積相對(duì)增量稱為體膨脹為：zzyyxxeeeVVV第15頁/共115頁第十六頁，共116頁。17切應(yīng)變exy=(v/x+u/y)/2的幾何(j h)意義 第16頁/共115頁第十七頁，共116頁。182211yu)tan(;xv)tan( 所以(suy)exy=(v/x+u/y)/2=(1+2)/2 第17頁/共115頁第十八頁，

5、共116頁。19S1S2S3S4S5S6exxeyyezz2eyz2ezx2exy第18頁/共115頁第十九頁，共116頁。20第19頁/共115頁第二十頁，共116頁。21(dibio)(dibio)法線方向。法線方向。第20頁/共115頁第二十一頁，共116頁。22第21頁/共115頁第二十二頁，共116頁。23第22頁/共115頁第二十三頁，共116頁。24yxxyzxxzzyyz,333231232221131211T應(yīng)力(yngl)張量：第23頁/共115頁第二十四頁，共116頁。25 單、雙腳標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)(duyng)關(guān)系第24頁/共115頁第二十五頁，共116頁。26應(yīng)力張量也是

6、對(duì)稱的二級(jí)張量，它只有六個(gè)獨(dú)立的張量元素。所以(suy)對(duì)于晶體，也常常把應(yīng)力張量寫成一個(gè)縱列矩陣，以T（=1、2、6）來表示，其對(duì)應(yīng)關(guān)系為： T1T2T3T4T5T6 xx yy zz yz zx xy應(yīng)力張量和應(yīng)變張量的情況(qngkung)有一點(diǎn)不同，當(dāng)=4、5、6時(shí)，T=ij，而S=2cij（ij）。第25頁/共115頁第二十六頁，共116頁。27第26頁/共115頁第二十七頁，共116頁。28所以作用在體積(tj)元xyz上力的x分量為：xy zzxy)z() zz(zxyyzx)y()yy(zyxxzy)x()xx(xzxzxzxyxyxyxxxxxxzyxzyxxzxyxx第27

7、頁/共115頁第二十八頁，共116頁。29zyxfxzxyxxx同理： zyxyfyzyyyxyzyxfzzzyzxz以上公式在建立描述固體(gt)中彈性波傳播的方程時(shí)將會(huì)用到。 第28頁/共115頁第二十九頁，共116頁。30654321665646362616565545352515464544342414363534332313262524232212161514131211654321TTTTTTssssssssssssssssssssssssssssssssssssSSSSSS第29頁/共115頁第三十頁，共116頁。31關(guān)。第30頁/共115頁第三十一頁，共116頁。32第31頁/

8、共115頁第三十二頁，共116頁。33第32頁/共115頁第三十三頁，共116頁。34其它彈性常數(shù)所代表的意義與s11、s12、s14和s44類似。第33頁/共115頁第三十四頁，共116頁。356 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1i,TsS61jjiji由于應(yīng)力、應(yīng)變都是二級(jí)張量，所以(suy)彈性柔順常數(shù)sij共有36個(gè)，其中獨(dú)立的彈性柔順常數(shù)共21個(gè)（如果應(yīng)力、應(yīng)變都是9個(gè)獨(dú)立分量，則彈性柔順常數(shù)將為81個(gè)）。彈性柔順常數(shù)是一個(gè)四級(jí)張量。 第34頁/共115頁第三十五頁，共116頁。366 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1i ,ScTj61jiji其中(qzhng)cij為彈

9、性剛度常數(shù)，共有36個(gè)，獨(dú)立的彈性剛度常數(shù)共21個(gè)，彈性剛度常數(shù)也是一個(gè)四級(jí)張量。第35頁/共115頁第三十六頁，共116頁。37654321665646362616565545352515464544342414363534332313262524232212161514131211654321SSSSSSccccccccccccccccccccccccccccccccccccTTTTTT第36頁/共115頁第三十七頁，共116頁。38654321444444111212121112121211654321TTTTTTs000000s000000s000000sss000sss000sssS

10、SSSSS式中s44=2（s11-s12），有兩個(gè)(lin )獨(dú)立的彈性常數(shù)； 第37頁/共115頁第三十八頁，共116頁。39612116446512115445412114444311212112331221111223122121111T)ss (2TsST)ss (2TsST)ss (2TsSTsTsTsSTsTsTsSTsTsTsS從胡克定律看出，各向同性物體的的應(yīng)力T1、T2、T3只對(duì)伸縮形變有貢獻(xiàn)，而與切應(yīng)變無關(guān)(wgun)；切應(yīng)力T4、T5、T6只對(duì)切應(yīng)變有貢獻(xiàn)，而與伸縮形變無關(guān)(wgun)。并且切應(yīng)力T4只對(duì)切應(yīng)變S4有貢獻(xiàn)，與切應(yīng)變S5 、S6無關(guān)(wgun)；T5 、T6

11、情況與此相同。 第38頁/共115頁第三十九頁，共116頁。4011s1Y 1211ss )1 (2Y)ss (21s1G121144Yangs modulusPoission ratioShear modulus第39頁/共115頁第四十頁，共116頁。41666555444123331223211TY)1 (2TG1STY)1 (2TG1STY)1 (2TG1S)TT(TY1S)TT(TY1S)TT(TY1S用楊氏模量Y，泊松比及切變模量表示(biosh)的各向同性介質(zhì)的虎克定律：第40頁/共115頁第四十一頁，共116頁。42第41頁/共115頁第四十二頁，共116頁。43和介電常數(shù)一樣

12、，材料的彈性(tnxng)常數(shù)也與對(duì)稱性有關(guān)。描寫各向同性彈性(tnxng)介質(zhì)的獨(dú)立彈性(tnxng)常數(shù)只有兩個(gè)；描寫完全各向異性介質(zhì)彈性(tnxng)介質(zhì)的獨(dú)立彈性(tnxng)常數(shù)共有21個(gè)；而介于各向同性與完全各向異性之間的介質(zhì)，它們的獨(dú)立彈性(tnxng)常數(shù)個(gè)數(shù)則介于221之間。第42頁/共115頁第四十三頁，共116頁。44例如，屬于三斜晶系1點(diǎn)群的壓電晶體是完全各向異性的，獨(dú)立的彈性常數(shù)共有21個(gè)。屬于立方晶系的23點(diǎn)群和3m點(diǎn)群的壓電晶體，是對(duì)稱性最高的晶體，它接近于完全各向同性。獨(dú)立的彈性常數(shù)只有(zhyu)三個(gè)。屬于四方晶系4mm點(diǎn)群的BaTiO3晶體，獨(dú)立彈性常數(shù)共有

13、六個(gè)。屬于六角晶系32點(diǎn)群的-石英晶體和點(diǎn)群的LiNbO3，獨(dú)立彈性常數(shù)都是六個(gè)。屬于正交晶系mm2點(diǎn)群的鈮酸鋇鈉（B a 2 N a N b 5 O 1 5 ） 晶 體 和 2 2 2 點(diǎn) 群 的 酒 石 酸 鉀 鈉 （NaKC4H4O64H2O）晶體，獨(dú)立彈性常數(shù)有9個(gè)。第43頁/共115頁第四十四頁，共116頁。45根據(jù)Neumann原則，晶體的對(duì)稱性不僅表現(xiàn)在結(jié)構(gòu)上，也表現(xiàn)在它的物理特性上，因此晶體的彈性常數(shù)必然(brn)和晶體的對(duì)稱性密切相關(guān)。通常是晶體的對(duì)稱性愈高，其獨(dú)立的彈性常數(shù)分量數(shù)目愈少。第44頁/共115頁第四十五頁，共116頁。46為了確定晶體具有的獨(dú)立彈性常數(shù)，通常有兩

14、種方法：一種是腳標(biāo)代換法；另一種是坐標(biāo)變換法。由于坐標(biāo)變換法具有普適性因此我們首先(shuxin)討論彈性常數(shù)張量的坐標(biāo)變換。此外對(duì)于各向異性晶體，其彈性常數(shù)的數(shù)值都是對(duì)于正常晶體坐標(biāo)系給出的，而實(shí)際使用的晶片往往是旋轉(zhuǎn)切割的，其坐標(biāo)選取與正常的晶體坐標(biāo)系不同，為此必須將彈性常數(shù)張量從晶體坐標(biāo)系變換到實(shí)際采用的坐標(biāo)系中下面首先(shuxin)討論應(yīng)力和應(yīng)變張量的坐標(biāo)變換。第45頁/共115頁第四十六頁，共116頁。47第46頁/共115頁第四十七頁，共116頁。48上述新舊坐標(biāo)系的方向余弦的9個(gè)數(shù)構(gòu)成(guchng)一個(gè)正交矩陣333231232221131211aaaaaaaaaA第47頁/

15、共115頁第四十八頁，共116頁。49因?yàn)閼?yīng)力T和應(yīng)變S是二階張量，所以它們的坐標(biāo)變換遵從二階張量的變換規(guī)則。首先考慮應(yīng)力張量的坐標(biāo)變換，設(shè)T和T分別為坐標(biāo)變換前后(qinhu)的應(yīng)力張量，則根據(jù)二階張量的變換法則有 T=AA 1 或 T=ATA-1采用愛因斯坦腳標(biāo)重復(fù)自動(dòng)求和規(guī)則，變換前后(qinhu)應(yīng)力的分量可寫成 ：Tij=aimajnTmn。第48頁/共115頁第四十九頁，共116頁。5033311111111122133111mnmnmmmmmnmTa a Taa Ta Ta T將上式展開，首先(shuxin)考慮到i=j=1時(shí)應(yīng)力分量T11，有:111111 1112 1213

16、131211 21122213 233111 3112 3213 33Taa Ta Ta Taa Ta Ta Taa Ta Ta T將上式完全(wnqun)展開，得第49頁/共115頁第五十頁，共116頁。512221111 11122213 3312132311 13 3111 12 12222Ta Ta Ta Ta a Ta a Ta a T222111 112213 31213411 13 511 126222Ta Ta Ta Ta a Ta a Ta a T應(yīng)力(yngl)矩陣元采用縮寫下標(biāo)，上式可寫為:第50頁/共115頁第五十一頁，共116頁。52同理可以(ky)得出變換后應(yīng)力張量

17、的其余五個(gè)分量 222221122223322234212352122622233113223333233431335313264213112232223333223332234233133215213231226531111Ta Ta Ta T2a a T2a a T2a a TTa Ta Ta T2a a T2a a T2a a TTa a Ta a Ta a Ta aa aTa aa aTa aa aTTa a Ta 32122331333213123343311133153112113266112112212213233122322134132123115112221126a Ta a

18、 Ta aa aTa aa aTa aa aTTa a Ta a Ta a Ta aa aTa aa aTa aa aT第51頁/共115頁第五十二頁，共116頁。53上面六組聯(lián)立代數(shù)方程組的矩陣(jzhn)形式 TMT 112233445566,TTTTTTTTTTTTTT應(yīng)力(yngl)張量的坐標(biāo)變換關(guān)系第52頁/共115頁第五十三頁，共116頁。54 22212 1311 1311 1211121322222 2321 2321 2221222322232 3331 3331 3231323322 3332 2323 3133 2112 32321 3122 3223 3331 1132

19、 1233 1311 2112 2213 23222222222a aa aa aaaaa aa aa aaaaa aa aa aaaaMa aa aa aa aa aaa aa aa aa aa aa aa aa aa a 1 2232 1312 3333 1113 3131 1211 3212 2322 1313 2123 1111 2221 12aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa a矩陣M叫做(jiozu)應(yīng)力張量的變換矩陣第53頁/共115頁第五十四頁，共116頁。55按照完全相同的方法(fngf)可以得出 112233445566,ssssssSS

20、ssssss SNS式中：應(yīng)變(yngbin)張量S的坐標(biāo)變換關(guān)系第54頁/共115頁第五十五頁，共116頁。56 22212 1311 1311 1211121322222 2321 2321 2221222322232 3331 3331 3231323322 3332 2323 3133 2112 32321 3122 3223 3331 1132 1233 1311 2112 2213 23222222222a aa aa aaaaa aa aa aaaaa aa aa aaaaNa aa aa aa aa aaa aa aa aa aa aa aa aa aa a 1 2232 13

21、12 3333 1113 3131 1211 3212 2322 1313 2123 1111 2221 12aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa a矩陣N稱為應(yīng)變(yngbin)張量的變換矩陣注意注意(zh y)(zh y)矩陣矩陣M M、N N的不同！的不同！第55頁/共115頁第五十六頁，共116頁。57使用完全類似的方法,還可以求出應(yīng)力張量的逆變換矩陣(j zhn)M-1和應(yīng)變張量的逆變換矩陣(j zhn)N-1,即T=M-1T, S=N-1S并得出如下關(guān)系式:M-1=Nt, N-1=Mt式中, Mt為M轉(zhuǎn)置矩陣(j zhn),Nt為N的轉(zhuǎn)置矩陣(j

22、zhn).第56頁/共115頁第五十七頁，共116頁。58設(shè)胡克定律(h k dn l)在原是坐標(biāo)中表示為S=cT, T=sS 在坐標(biāo)變換后新坐標(biāo)系中表示為S=cT, T=sS 根據(jù)新舊坐標(biāo)變換關(guān)系式有S=MS, T=N-1T 故有S=McT=McN-1T第57頁/共115頁第五十八頁，共116頁。59將上式和(1)比較得出彈性剛度常數(shù)在新舊坐標(biāo)系中的變換關(guān)系為c=McMt (2)同理,可得到彈性柔順常數(shù)在新舊坐標(biāo)系中的變換關(guān)系s=NsNt (3)由式(2)和(3)可知,只要知道了應(yīng)力(yngl)和應(yīng)變張量的坐標(biāo)變換矩陣M和N,就可以求出彈性常數(shù)張量的坐標(biāo)變換。第58頁/共115頁第五十九頁，

23、共116頁。60為了確定晶體獨(dú)立彈性常數(shù),必須根據(jù)晶體的對(duì)稱性,并應(yīng)用Neumann原則來完成,現(xiàn)在以三角系3m點(diǎn)群晶體為例子來進(jìn)行討論。對(duì)于三角晶系3m點(diǎn)群的晶系,x=0的面是對(duì)稱面,z軸為三階轉(zhuǎn)軸,根據(jù)Neumann原則,晶體的彈性常數(shù)張量經(jīng)上述對(duì)稱性操作(cozu),其值不應(yīng)改變。第59頁/共115頁第六十頁，共116頁。61111213212223313233100 010001aaaAaaaaaa對(duì)于x1=0的對(duì)稱面,新舊坐標(biāo)選取(xunq)如下圖,新舊坐標(biāo)系之間的方向余弦矩陣為:第60頁/共115頁第六十一頁，共116頁。621000000100000010000001000000

24、10000001N第61頁/共115頁第六十二頁，共116頁。63 111213141516122223242526132333343536142434444546152535455556162636465666sssssssssssssssssssssssssssssssssssss第62頁/共115頁第六十三頁，共116頁。64由于x=0面為對(duì)稱面,新舊坐標(biāo)系的彈性柔順常數(shù)矩陣應(yīng)該相等,即sij=sij,為此只有(zhyu)下式成立時(shí)才能滿足s15=s16=s25=s26=s35=s36=s45=s46=0所以彈性柔順常數(shù)矩陣變成如下:第63頁/共115頁第六十四頁，共116頁。65665

25、65655443424143433231324232212141312110000000000000000 sssssssssssssssssssss第64頁/共115頁第六十五頁，共116頁。66由于z(x3)軸為三階轉(zhuǎn)軸,新舊坐標(biāo)系選取(xunq)如圖示,對(duì)此新舊坐標(biāo)系的變換矩陣為:11121321222331323313 2021 3 202001aaaAaaaaaa 第65頁/共115頁第六十六頁，共116頁。6733100044433100044400000010003 2023100002233 20001 22N第66頁/共115頁第六十七頁，共116頁。683310004423

26、3100044200000010003 2023100002233 40001 24tN第67頁/共115頁第六十八頁，共116頁。69將N和Nt代入s=NsNt,再令s=s,得到(d do)s11=s22, s13=s23, s14=-s24,s34=0, s44=s55,s56=2s14, s66=2(s11-s12).第68頁/共115頁第六十九頁，共116頁。70又因?yàn)?yn wi):1112131412222324132333341424344455565666000000 0000000000sssssssssssssssssssss第69頁/共115頁第七十頁，共116頁。711

27、11213141211131413133314144444141411120000000 00000002000022()ssssssssssssssssssss由此可見,獨(dú)立的彈性柔順常數(shù)(chngsh)只有s11, s12, s13, s14, s33, s44共六個(gè)第70頁/共115頁第七十一頁，共116頁。72以222點(diǎn)群為例。222點(diǎn)群表示(biosh)有三個(gè)二次旋轉(zhuǎn)軸，分別沿x,y,z方向。先考察沿z軸的二次旋轉(zhuǎn)軸。因?yàn)閦軸是二階軸，當(dāng)晶體繞z軸轉(zhuǎn)180后，晶體坐標(biāo)變換為，xx,yy,zz 11,22,33 或第71頁/共115頁第七十二頁，共116頁。73由于彈性柔順常數(shù)是一個(gè)四

28、階對(duì)稱張量，完善(wnshn)的寫法應(yīng)有四個(gè)足標(biāo)。例如，s1111、s1122、s1123、s1212等等，通常為了方便，常用二個(gè)足標(biāo)（縮寫下標(biāo)）代替四個(gè)足標(biāo)。第72頁/共115頁第七十三頁，共116頁。74四足標(biāo)與雙足標(biāo)之間的關(guān)系(gunx)為112233231312123456例如(lr)：s1111s11，s1122s12，s1123s14，s1212s66等。當(dāng)晶體繞z軸轉(zhuǎn)180后，四足標(biāo)中的變換為，1111，2222，3333，23-23，13-13，1212；雙足標(biāo)中的變換為11，22，33，4-4，5-5，66。第73頁/共115頁第七十四頁，共116頁。75z axis6 fo

29、ld111213141516111213141516122223242526122223242526132333343536132333343536142434444546142434444546152535455556152535455556162636465666162636465666 11，22，33，4-4，5-5，66第74頁/共115頁第七十五頁，共116頁。76111213001612222300261323330036000444546000455556162636465666繞z軸轉(zhuǎn)180后：繞x、y軸轉(zhuǎn)180后：111213000122223000132333000000

30、440000005500000066第75頁/共115頁第七十六頁，共116頁。77因?yàn)閦軸是二階軸，當(dāng)晶體繞z軸轉(zhuǎn)180后，彈性柔順常數(shù)應(yīng)保持不變，這就要求(yoqi)sij=sij, i,j=1,2,3,4,5,6可見，只有當(dāng)s14=s15=s16=s34=s35=s46=s56=0時(shí)兩者才完全一致。再利用222點(diǎn)群晶體的軸是二階軸 ， 重 復(fù) 上 述 方 法 ， 可 以 得 到s16=s26=s36=s45=0。第76頁/共115頁第七十七頁，共116頁。78665544332313232212131211s000000s000000s000000sss000sss000ssss第77頁

31、/共115頁第七十八頁，共116頁。79665646362616565545352515464544342414363534332313262524232212161514131211ssssssssssssssssssssssssssssssssssss6646553525154644353323132523221215131211s0s0000s0ssss0s0000s0sss0s0sss0s0sss第78頁/共115頁第七十九頁，共116頁。80665544332313232212131211s000000s000000s000000sss000sss000sss664665544332

32、313232212131211s000000s000000s000000sss000sss000sss66161644443313131613111216131211s000ss0s000000s000000ssss00ssss00sss664444331313131112131211s000000s000000s000000sss000sss000sss)ss (2s2s2000s2s00sss20s0ss000sss0sssss0sssss121114251444252152544141433231325142322122514131211第79頁/共115頁第八十頁，共116頁。81)s

33、s (2s20000s2s000000s0ss000sss00ssss00ssss12111414444414143323131423221214131211)ss (2000000s000000s000000sss000sss000sss12114444331313131112131211444444111212121112121211s000000s000000s000000sss000sss000sss第80頁/共115頁第八十一頁，共116頁。82)ss (2000000s000000s000000sss000sss000sss12114444331313131112131211)ss

34、 (2000000)ss (2000000)ss (2000000sss0002sss000sss1211121112111112121112121211第81頁/共115頁第八十二頁，共116頁。83先看彈性柔順常數(shù)s11、s22、s33。因?yàn)閟11反映壓電陶瓷沿x方向伸縮(shn su)形變的彈性柔順常數(shù)，它只與x方向的彈性性質(zhì)有關(guān)。同理，s22、s33是分別是反映壓電陶瓷沿y方向和z 方向伸縮(shn su)形變的彈性柔順常數(shù)，它們分別只與y方向和z方向的彈性性質(zhì)有關(guān)。而經(jīng)過極化處理后的壓電陶瓷（設(shè)軸z軸為極化軸），沿z方向的性質(zhì)就與沿x、y軸方向的性質(zhì)就不一樣了。所以s11s33、s2

35、2s33，但是對(duì)于x軸與y軸之間則沒有任何差別，即xy平面是各向同性面。這就要求彈性柔順常數(shù)s11=s22，于是得到s11=s22s33的結(jié)論。第82頁/共115頁第八十三頁，共116頁。84s12、s13、s23等彈性柔順(rushn)常數(shù)。因?yàn)槿魏螐椥越橘|(zhì)，當(dāng)縱向伸長(zhǎng)時(shí)，橫向都要產(chǎn)生收縮。而s12、s13、s23就是反映這一性質(zhì)的彈性柔順(rushn)常數(shù)，所以s12、s13、s23都不可能等于零。由于壓電陶瓷的xy平面是各向同性面，當(dāng)其x軸與y軸之間互換時(shí)，彈性常數(shù)應(yīng)保持不變，這就要求s13=s23。但是壓電陶瓷的x軸與z軸之間不能互換，這就要求s12s23，于是得到s12s23=s23

36、。此外還有s14=s24，s15=s25，s16=s26。第83頁/共115頁第八十四頁，共116頁。85TjxyxyTj6666TjzxzzTj5555TjyzyzTj4444)TS()TS(s ,)TS()TS(s ,)TS()TS(ss44、s55、s66等彈性(tnxng)柔順常數(shù)又因?yàn)閤y平面的各向同性( xin tn xn)，當(dāng)x軸與y軸之間互換時(shí)，彈性柔順常數(shù)應(yīng)保持不變，即， 55Tj55TjxzxzTjyzyz44s)TS()TS()TS(s因?yàn)?yn wi)：第84頁/共115頁第八十五頁，共116頁。86而x軸、y軸與z軸之間不能互換，固有s44=s55s66。s14、s1

37、5、s16、s24、s25、s26、s34、s35、s36、s45、s46、s56等彈性(tnxng)柔順常數(shù)，可用足標(biāo)代換法證明它們皆等于零。第85頁/共115頁第八十六頁，共116頁。87最后得到(d do)壓電陶瓷的彈性柔順常數(shù)用矩陣表示為：)ss (2000000s000000s000000sss000sss000ssss12114444331313131112131211其中(qzhng)獨(dú)立彈性柔順常數(shù)為s11、s12、s13、s33、s44五個(gè)。第86頁/共115頁第八十七頁，共116頁。88用上述相同的方法，可得到壓電陶瓷(toc)的彈性剛度常數(shù)用矩陣表示為：2/)cc (00

38、0000c000000c000000ccc000ccc000cccc12114444331313131112131211其中獨(dú)立彈性柔順(rushn)常數(shù)為c11、c12、c13、c33、c44五個(gè)。 第87頁/共115頁第八十八頁，共116頁。89以平面波為例，簡(jiǎn)單(jindn)介紹描述壓電體中聲波傳播的方法第88頁/共115頁第八十九頁，共116頁。90對(duì)于各向異性的晶體(jngt)，它的彈性性質(zhì)由胡克定律來描述。)6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1j , i (ScT61jjiji壓電器件(qjin)中有一類重要和應(yīng)用廣泛的領(lǐng)域：聲表面波器件(qjin)（Surface Acou

39、stic Wave Devices, SAWD）,電聲電第89頁/共115頁第九十頁，共116頁。91而應(yīng)變(yngbin)張量元為： )183(;635241yuxvSzwSxwzuSyvSzvywSxuS式 中 u 、 v 、 w 代 表 晶 體 中 質(zhì) 點(diǎn) 位 移(wiy)沿x、y、z方向的分量。第90頁/共115頁第九十一頁，共116頁。922xyxxxz22yxyyyz22zyzxzz2TTTutxyzTTTv(319)txyzTTTwtxyz 式 中代 表 晶 體 密 度 ， 按 （ 3 - 8 ） 對(duì) 應(yīng)(duyng)關(guān)系，上式可改寫為第91頁/共115頁第九十二頁，共116頁。

40、93)203(345224262256122zTyTxTtwzTyTxTtvzTyTxTtu把（3-12）、（3-18）代入上式，原則上就得出波的傳播方程式，從而解出位移(wiy)三個(gè)分量u、v、w。第92頁/共115頁第九十三頁，共116頁。94265122624225342TTTuxyztTTTvxyztTTTwxyzt 6iijjj 1Tc S 142536uwvS;SxyzvuwS;SyzxwvuS;Szxy u(t),v(t),w(t)第93頁/共115頁第九十四頁，共116頁。95顯然，這樣的運(yùn)算比較繁雜，下面我們介紹另外的方法求解晶體中所傳播的彈性波方程的方法。討論(toln)的

41、是各向異性介質(zhì)，波在不同方向上的傳播情況顯然是不同的。例如，各個(gè)方向上的有效彈性常數(shù)不同，波的傳播速度也不同。第94頁/共115頁第九十五頁，共116頁。96下面我們具體來考慮某一方向上的傳播情況。設(shè)任意傳播方向，它的方向余弦為l、m、n，在這個(gè)(zh ge)方向上的某點(diǎn)P(x、y、z)同原點(diǎn)的距離為 ，則顯然，P的位移分量u、v、w依賴于（即質(zhì)點(diǎn)的位移）波的傳播方向l、m、n，所以可以把（3-18）式改寫為：l xm yn z 第95頁/共115頁第九十六頁，共116頁。97應(yīng)變(yngbin)張量元（3-18）式改寫為：142536uwvSl;SmnvuwSm;Snl(321)wvuSn;

42、Slm 142536uwvS;SxyzvuwS;SyzxwvuS;Szxy l xm yn z 第96頁/共115頁第九十七頁，共116頁。98654321665646362616565545352515464544342414363534332313262524232212161514131211654321SSSSSSccccccccccccccccccccccccccccccccccccTTTTTT（3-21）式代入上式得到質(zhì)點(diǎn)位移（u,v,w）與應(yīng)力(yngl)(T1-T6)之間的關(guān)系第97頁/共115頁第九十八頁，共116頁。99質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(yndng)方程可寫為： )223(2233

43、22322231222223222222212222132212221122wvutwwvutvwvutu式中ij稱為(chn wi)克利斯托夫（Christoffel）張量，它共有六個(gè)張量元，組成對(duì)稱二級(jí)張量。第98頁/共115頁第九十九頁，共116頁。100克利(k l)斯托夫（Christoffel）張量ij的具體表示式為：453534332442552332646244422226622246254516234534224256232235614551336453524621523113661256152556452262162211216155655266211211lmc2nlc2

44、mnc2cncmcllmc2nlc2mnc2cncmcl)cc (lm)cc (nl)cc (mncncmcl)cc (lm)cc (nl)cc (mncncmcl)cc (lm)cc (nl)cc (mncncmcllmc2nlc2mnc2cncmcl-（3-23）第99頁/共115頁第一百頁，共116頁。101設(shè)表示沿傳播的波在晶體中所引起的彈性位移(wiy)矢量，它的分量為u、v、w。位移(wiy)矢量的方向余弦為p、q、r，那么，)243(,rwqvpurwqvpu為位移矢量(shling)的長(zhǎng)度。第100頁/共115頁第一百零一頁，共116頁。102把的表達(dá)式代入到質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程(fn

45、gchng)（3-22）式中得到， 22e ff22ct 這 就 是沿 方 向 傳 播 的 彈 性 波 方 程(fngchng)，式中ceff代表沿方向晶體的有效彈性常數(shù)。第101頁/共115頁第一百零二頁，共116頁。103晶體沿方向(fngxing)的有效彈性常數(shù)ceff須滿足下列方程組：)253(332313232212131211effeffeffrcrqpqcrqppcrqp第102頁/共115頁第一百零三頁，共116頁。104因而(yn r)得久期方程 11eff12131222eff23132333effcc0c 由 此 可 知 ， 一 般 情 況 下 ， c e f f 有 三

46、 個(gè) 解ceff,i(i=1、2、3)，它們分別(fnbi)對(duì)應(yīng)于三個(gè)不同的波，其對(duì)應(yīng)的傳播速度為（ceff，i/）1/2。(3-26)第103頁/共115頁第一百零四頁，共116頁。105對(duì)于這三個(gè)波，質(zhì)點(diǎn)分別有相應(yīng)的三個(gè)位移，把由久期方程(fngchng) （3-26）式求得的ceff,i代入到有效彈性常數(shù)（3-25）式，即可解出與ceff,i對(duì)應(yīng)的位移的方向余弦pi、qi、ri。下面以立方晶系為例，對(duì)上面的討論加以(jiy)說明。第104頁/共115頁第一百零五頁，共116頁。106111212121112121211444444ccc000ccc000ccc000c000c000000c000000c 立方晶系只有(zhyu)三個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)c11、c12和c44。第105頁/共115頁第一百零六頁，共116頁。107由（3-23）式可得到(d do)它的克利斯