平面簡諧波的波動方程學習教案

1、會計學1平面簡諧波的波動平面簡諧波的波動(bdng)方程方程第一頁，共25頁。10.2.1 平面簡諧波的波動(bdng)方程平面(pngmin)簡諧波: 波陣面是平面，且波所到之處，媒質中各質元均作同頻率、同振幅的簡諧振動(zhndng)，這樣的波叫平面簡諧波.1. 波動方程的推導一平面簡諧波波速為u，沿x 軸正方向傳播,起始時刻，原點o 處質元的振動方程為 tAycos0第1頁/共24頁第二頁，共25頁。 振動狀態(tài)從o 點傳播到P 點所用時間為x/u , 即P 點在時刻t 的狀態(tài)應等于o 點在t -(x/u)時刻的狀態(tài). 所以(suy)P 點處質元的振動方程為Pxxoyu uxtAycos第

2、2頁/共24頁第三頁，共25頁。 uxtAycos uxtAycos綜合以上兩種情況, 平面(pngmin)簡諧波的波動方程為 若平面波沿x 軸負方向傳播(chunb)，則P 點的振動方程為 xTtAy2cos,22 T因因為為uT 所以第3頁/共24頁第四頁，共25頁。 xtAy2cos uxtAy cos xTtAy2cos xtAy2cos 選擇適當?shù)挠嫊r起點，使上式中的 等于(dngy)0 ，于是有第4頁/共24頁第五頁，共25頁。2. 波動(bdng)方程的意義 uxtAtxy cos),( 如果x 給定，則y 是t 的函數(shù)，這時波動方程表示距原點為x 處的質元在不同(b tn)時刻

3、的位移.y-t 曲線稱之為位移(wiy)時間曲線.otyT第5頁/共24頁第六頁，共25頁。 如果t 給定，則y 只是x 的函數(shù)(hnsh), 這時波動方程表示在給定時刻波射線上各振動質元的位移，即給定時刻的波形圖. xoy第6頁/共24頁第七頁，共25頁。 如果x 和t 都變化，則波動方程表示波射線上各振動(zhndng)質元在不同時刻的位移，即波形的傳播.時刻的波形t1時刻的波形tt 1tux uo1xyx第7頁/共24頁第八頁，共25頁。 由圖可見t1時刻x1處的振動狀態(tài)與t1+t 時刻x1+x 處的振動狀態(tài)完全相同，即相位(xingwi)相同. uxxttuxt1111 txu t1時

4、刻x1處質元的振動(zhndng)相位在t1+t 時刻傳至x1+x 處，相位的傳播速度為u第8頁/共24頁第九頁，共25頁。10.2.2 波的能量(nngling)1. 波的能量(nngling)行波: 有能量(nngling)傳播的波叫行波. 媒質中所有質元的動能和勢能之和稱之為波的能量. 設平面簡諧波在密度為 的均勻媒質中傳播其波動方程為 uxtAy cos 在x 處取一體積為dV 的小質元，該質元在任意時刻的速度為第9頁/共24頁第十頁，共25頁。 uxtAtyv sin uxtAdVvdmdEk 2222sin)(21)(21質元因變形而具有的勢能(shnng)等于動能kpdEdE 即

5、即質元的總能量(nngling)為kpdEdEdE uxtAdV 222sin)(第10頁/共24頁第十一頁，共25頁。2. 能量(nngling)密度單位體積(tj)內的能量稱為能量密度.dVdEw 為定量的反映(fnyng)能量在媒質中的分布和隨時間的變化情況, 引入能量密度的概念.平面簡諧波的能量密度為 uxtAw 222sin第11頁/共24頁第十二頁，共25頁。dtuxtATwT 2022sin12221 A 平均(pngjn)能量密度: 能量密度在一個周期內的平均(pngjn)值. 3. 能流密度 為了描述(mio sh)波動過程中能量的傳播情況，引入能流密度的概念. 單位(dnw

6、i)時間內通過垂直于波動傳播方向上單位(dnwi)面積的平均能量，叫做波的平均能流密度,也稱之為波的強度.第12頁/共24頁第十三頁，共25頁。uuTS平均(pngjn)能流密度為TSuTSwI uw uA2221 設在均勻媒質中，垂直于波速的方向的面積為S ，已知平均能量密度為 ,則w第13頁/共24頁第十四頁，共25頁。4. 波的吸收(xshu) 波在媒質中傳播時，媒質總要吸收一部分能量，因而(yn r)波的強度將逐漸減弱，這種現(xiàn)象叫做波的吸收. 實驗指出當波通過厚度為dx 的一簿層媒質(mizh)時,若波的強度增量為dI (dI 0) 則dI正比于入射波的強度I ，也正比于媒質(mizh

7、)層的厚度dx IdxdI xIIdxIdI00 第14頁/共24頁第十五頁，共25頁。axeII 0axII 0ln0IoxdxIxo0II第15頁/共24頁第十六頁，共25頁。10.2.3 例題(lt)分析 m1 . 025cos02. 0 xty 求： （1）波的振幅、波長(bchng)、周期及波速;（2）質元振動(zhndng)的最大速度;（3）畫出t =1 s 時的波形圖. 1.一平面簡諧波沿x 軸的正向傳播已知波動方程為第16頁/共24頁第十七頁，共25頁。二式比較(bjio)得 xty21 . 02252cos02. 0 xTtAy2cosm02. 0 As08. 0252 Tm

8、101 . 02 1sm250 Tu 解（）將題給的波動(bdng)方程改寫成而波動方程(fngchng)的標準方程(fngchng)為第17頁/共24頁第十八頁，共25頁。（2）質元的振動(zhndng)速度為其最大值為（3）將t =1s代入波動(bdng)方程得 1sm1 . 025sin2502. 0 xttyv 1maxsm57. 12502. 0 v m1 . 025cos02. 0 xy ox0.02y第18頁/共24頁第十九頁，共25頁。 2. 如圖所示，一平面簡諧波以400 ms-1的波速在均勻媒質中沿x 軸正向(zhn xin)傳播.已知波源在o 點，波源的振動周期為0.01

9、s 、振幅為0.01m. 設以波源振動經(jīng)過平衡位置且向y 軸正向(zhn xin)運動作為計時起點，求：（1）B 和A 兩點之間的振動相位差；（2）以B 為坐標原點寫出波動方程.yoxABm2m1第19頁/共24頁第二十頁，共25頁。解 根據(jù)(gnj)題意設波源的振動方程為 0000vy 0400200cos01. 0 xty 0sin20cos01. 000 即即20 2400200cos01. 0 xty故故（1）B 和A 兩點之間的振動(zhndng)相位差為22400120024002200 tt第20頁/共24頁第二十一頁，共25頁。（2）以B 為坐標(zubio)原點時有 2400

10、2200cos01. 0 tyB 23200cos01. 0 t因此(ync)以B 為坐標原點的波動方程為 23400200cos01. 0 xty第21頁/共24頁第二十二頁，共25頁。 3. 有一沿x 軸正向傳播的平面簡諧波，在t =0時的波形圖如圖中實線所示. 問：（1）原點o 的振動相位是多大？（2）如果振幅(zhnf)為A、圓頻率為、波速為u ，請寫出波動方程.yoxu第22頁/共24頁第二十三頁，共25頁。所以(suy)原點o 的振動相位為20 （2）波動(bdng)方程為 2cos uxtAy解（）設o 點的振動(zhndng)方程為 0cos tAy 0000vy因為因為 0sin0cos00 AA即即第23頁/共24頁第二十四頁，共25頁。NoImage內容(nirng)總結會計學。第1頁/共24頁。媒質中所有(suyu)質元的動能和勢能之和稱之為波的能量.。為定