考研數(shù)學二公式高數(shù)線代(費了好大的勁)技巧歸納

1、名師推薦精心整理學習必備高等數(shù)學公式一、常用的等價無窮小當x 0 時xsinxtan xarcsinxarctan xln（ 1+ x ） ex -1ax-1 x ln a x( 為任意實數(shù)，不一定是整數(shù))(1+ x ) -1 1-cosx1x 22增加x -sin x13對應(yīng)arcsinx x13xx66tan x x1 x 3對應(yīng)x - arctan x1 x 333二、利用泰勒公式xx22）e = 1 + x +2！o（ xx33sin x xo（ x ）3!名師推薦精心整理學習必備x22）cosx = 1 o（ x2！導數(shù)公式：(tgx)sec2 x( ctgx)csc2 x(sec

2、x)secx tgx(csc x)csc x ctgx( ax )a x ln a1(log a x)x ln a基本積分表：x22）ln（ 1+ x ） = x o（ x21(arcsin x)x21(arccos x)1x211(arctgx )1 x21(arcctgx )x21tgxdxln cos xCdx2tgx Ccos2 xsec xdxctgxdxln sin xCdxcsc2 xdxctgxCsecxdxln secxtgxCsin 2 xcsc xdxln csc xctgxCsecx tgxdxsecxCdx1 arctg xCcsc xctgxdxcsc xCa2x2

3、xaaa xdxaCdx1xaCln ax2a2ln2axashxdxchxCa2dxx21 ln axCchxdxshxC2aaxdxx2arcsin xCdxa 2ln( xx2a2 )Ca2ax 22sin n2cosn xdxn1 I n 2I nxdx00nx2a2 dxxx2a2a2ln( xx2a 2 )C22x2a2dxxx2a2a2ln xx2a2C22a2x2dxxa2x2a2arcsinxC22a三角函數(shù)的有理式積分：sin x2u2 ， cos x1u 2ux2duu1u2 ，tg ，dxu2121名師推薦精心整理學習必備一些初等函數(shù)：兩個重要極限：exe x雙曲正弦

4、: shx2exe x雙曲余弦 : chx2雙曲正切 : thxshxexechxexearshxln( xx21）archxln( xx21)arthx1 ln 1x2 1xlim sin x1x 0xlim (11 )xe 2.7182818284 59045.x xxx三角函數(shù)公式：·誘導公式：函數(shù)角 Asincostgctg- sin cos- tg -ctg 90°-cossin ctg tg 90°+cos-sin - ctg -tg 180°-sin -cos- tg -ctg 180°+- sin -costg ctg 270&

5、#176;- cos-sin ctg tg 270°+- cossin - ctg -tg 360°- sin cos- tg -ctg 360°+sin costg ctg ·和差角公式：·和差化積公式：sin()sincoscossinsinsin2 sincoscos()coscossinsin22sinsin2 cossintg()tgtg1 tgtg22coscos2coscosctgctg1ctg()22ctgctgcoscos2 sinsin22·倍角公式：名師推薦精心整理學習必備sin 22 sincoscos22 c

6、os2112sin 2cos2sin2sin 33sin4 sin3ctg 2ctg 21cos34 cos33cos2ctg3tgtg3tg32tg1 3tg 2tg 2tg 21·半角公式：sin1coscos1cos2222tg1cos1cossinctg1cos1cossin1cossin1cos21cossin1cos2·正弦定理：abc2R222·余弦定理： cab2abcosCsin A sin Bsin C·反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsin xarccos xarctgx2arcctgx2高階導數(shù)公式萊布尼茲（Leibniz ）公式：n(uv

7、) ( n)Cnku (n k ) v(k)k0u ( n) v nu (n 1) vn( n1) u( n 2 )vn(n1)( nk 1) u( nk )v (k)uv (n)2!k!中值定理與導數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理： f (b)f (a)f ()(ba)柯西中值定理： f (b)f (a)f ()F (b)F (a)F ()當 F( x) x時，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式： ds1y 2 dx, 其中 y tg平均曲率：.:從M點到M點，切線斜率的傾角變 化量；：MM弧長。KssM 點的曲率： Klimdy.sds(1y 2 )3s 0直線： K0;半徑為

8、的圓：1aK.a名師推薦精心整理學習必備定積分的近似計算：bba ( y0 y1矩形法： f ( x)yn 1 )anbba 1 ( y0梯形法： f ( x)yn )y1yn 1 an2bba( y0拋物線法： f ( x)yn )2( y2y4yn 2 ) 4( y1 y3yn 1 )a3n定積分應(yīng)用相關(guān)公式：功： W F s水壓力： Fp A引力：m1 m2為引力系數(shù)Fkr 2, k1b函數(shù)的平均值：f ( x) dxyba a1b均方根：f 2 (t )dtba a多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分： dzz dxz dyduu dxu dyu dzxyxyz全微分的近似計算：z dzf x

9、(x, y) xf y ( x, y)y多元復合函數(shù)的求導法：zf u(t), v(t )dzzuzvdtutvtzf u( x, y), v( x, y)zzuzvxuxvx當u，v( x, y)時，u( x, y) vduu dxu dydvv dxv dyxyxy隱函數(shù)的求導公式：隱函數(shù)F ( x, y)，dyFx ，d 2 yFxFxdy0dxFydx2()()x Fyy Fydx隱函數(shù)F ( x, y, z)， zFx ，zFy0xFzyFz名師推薦精心整理學習必備F ( x, y,u,v)0(F ,G)FFFuFvuv隱函數(shù)方程組：0JGGGuGvG( x, y,u,v)(u, v

10、)uvu1(F,G)v1( F,G)xJ( x, v)xJ(u, x)u1(F,G)v1(F,G)yJ( y, v)yJ(u, y)微分法在幾何上的應(yīng)用：方向?qū)?shù)與梯度：多元函數(shù)的極值及其求法：設(shè) f x ( x0 , y0 )f y ( x0 , y0 )0，令： fxx ( x0 , y0 ) A,f xy ( x0 , y0 )B,f yy ( x0 , y0 ) CACB 2A 0, (x0 , y0 )為極大值0時，A 0, ( x0 , y0 )為極小值則： ACB20時，無極 值A(chǔ)CB20時,不確定重積分及其應(yīng)用：f (x, y)dxdyf ( r cos, r sin)rdrd

11、DD22曲面的面積A1zzz f (x, y)xdxdyDyM xx( x, y)dM yy( x, y)d平面薄片的重心： xD,yDM(x, y)dM( x, y)dDD平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量： 對于 x軸I xy 2(x, y)d,對于 y軸I yx2( x, y)dDD平面薄片（位于平面）對 軸上質(zhì)點M (0,0,a), (a的引力：F Fx , Fy , Fz，其中：xoyz0)( x, y)xd3 ，F(xiàn)yf( x, y) ydFzfa( x, y) xdFx f3，3D ( x2y 2a2 ) 2D ( x2y 2a2 ) 2D (x 2y 2a 2 ) 2名師推薦精心整理學習必備微分

12、方程的相關(guān)概念：一階微分方程： yf (x, y)或 P( x, y)dxQ (x, y)dy0可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化為 g( y)dyf (x) dx的形式，解法：g ( y) dyf (x)dx得： G ( y)F (x) C稱為隱式通解。齊次方程：一階微分方程可以寫成 dyf (x, y)( x, y)，即寫成 y 的函數(shù)，解法：dxx設(shè) uy ，則 dyux du ， udu(u)， dxduu分離變量，積分后將y 代替 u，xdxdxdxx(u)x即得齊次方程通解。一階線性微分方程：1、一階線性微分方程： dyP(x) yQ( x)dx當 Q( x)0時 ,為齊次方

13、程， yCeP ( x) dx當 Q( x)0時，為非齊次方程，y( Q (x)eP( x) dxdxP ( x )dxC )e、貝努力方程： dyP(x) yQ( x) yn，0,1)2dx(n全微分方程：如果P(x, y)dxQ( x, y)dy中左端是某函數(shù)的全微 分方程，即：0du(x, y)P(x, y) dxQ( x, y) dy，其中： u，uQ( x, y)0xP( x, y)yu( x, y)C應(yīng)該是該全微分方程的 通解。二階微分方程：2ydy， f ( x)時為齊次d0dx2P(x) dxQ( x) yf (x)時為非齊次f ( x)0二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：(

14、*) ypyqy0，其中 p, q為常數(shù)；求解步驟：1、寫出特征方程： ( )r 2prq0，其中 r 2， r的系數(shù)及常數(shù)項恰好是(*) 式中 y , y , y的系數(shù)；2、求出 ()式的兩個根 r1, r23、根據(jù) r1 ,r2的不同情況，按下表寫 出(*) 式的通解：(*) 式的通解r1，r2的形式兩個不相等實根 (p24 0)r1xr2 xqy c1ec2 e名師推薦精心整理學習必備兩個相等實根(p240)y(c1r1 xqc2 x)e一對共軛復根(p240)yex(c1 cos x c2 sin x)qr1i，r2ip ，4q p 222二階常系數(shù)非齊次線性微分方程ypyqyf (

15、x)， p,q為常數(shù)f ( x)e x Pm ( x)型，為常數(shù)；f ( x)e x Pl ( x) cosxPn ( x)sinx型1、行列式1. n 行列式共有 n2 個元素，展開后有 n! 項，可分解為 2n 行列式；2. 代數(shù)余子式的性質(zhì)：、 Aij 和 aij 的大小無關(guān)；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0；、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為A ；3.代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：M ij ( 1)i jAijAij (1)ij M ij4.設(shè) n 行列式 D ：將 D 上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為n( n 1)D1 ，則 D1( 1)2D ；將

16、 D 順時針或逆時針旋轉(zhuǎn) 90 ，所得行列式為將 D 主對角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得行列式為將 D 主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為D4 ，則5. 行列式的重要公式：、主對角行列式：主對角元素的乘積；n ( n 1)D2，則 D2( 1)2D；D3，則 D3D；D4D；n( n 1)、副對角行列式：副對角元素的乘積(1)2；、上、下三角行列式（ ）：主對角元素的乘積；n( n1)、 和 ：副對角元素的乘積( 1)2；AOACCAOA、拉普拉斯展開式：BOBA B 、OB( 1)m n A BCBC、范德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積；、特征值；名師推薦精心整理學習必備n6.對于 n 階行列式 A

17、，恒有： E An( 1)k Skn k ，其中 Sk 為 k 階主子式；k17.證明 A0 的方法：、 AA ；、反證法；、構(gòu)造齊次方程組Ax0 ，證明其有非零解；、利用秩，證明r ( A)n ；、證明 0 是其特征值；2、矩陣1. A 是 n 階可逆矩陣：A 0 （是非奇異矩陣）；r ( A)n （是滿秩矩陣）A 的行（列）向量組線性無關(guān)；齊次方程組 Ax 0 有非零解；b R n ， Ax b 總有唯一解；A與 E 等價；A 可表示成若干個初等矩陣的乘積；A 的特征值全不為0；AT A 是正定矩陣；A 的行（列）向量組是R n 的一組基；A 是 R n 中某兩組基的過渡矩陣；2.對于 n

18、 階矩陣 A ： AA*A* AA E 無條件恒 成立；3.(A 1)*(A*) 1(A 1)T(AT) 1(A*)T(AT )*(AB)TBT AT(AB )*B* A*(AB) 1B1A14. 矩陣是表格，推導符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和；5. 關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均A、 B可逆：A1若 AA2，則：As、 AA1 A2As ；A11、A1A21；As1A1A 1O、O；（主對角分塊）OBOB 1名師推薦精心整理學習必備OA1B 1、O；（副對角分塊）BOA 1OAC11A1CB1、AOBOB 1；（拉普拉斯）AO1A1O、；（拉普拉斯）CBB1CA1B 13、矩陣

19、的初等變換與線性方程組1. 一 個 m n 矩陣 A ， 總 可經(jīng) 過 初 等 變換 化 為 標 準 形， 其 標 準 形 是唯 一 確 定 的：E rO；FO O m n等價類： 所有與 A 等價的矩陣組成的一個集合， 稱為一個等價類； 標準形為其形狀最簡單的矩陣；對于同型矩陣A 、 B ，若 r (A)r ( B)AB ；2. 行最簡形矩陣：、只能通過初等行變換獲得；、每行首個非 0 元素必須為 1；、每行首個非 0 元素所在列的其他元素必須為0；3. 初等行變換的應(yīng)用： （初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換）r、若 (A, E)(E , X)，則 A可逆，且XA 1；、對矩陣 ( A

20、, B ) 做初等行變化， 當 A 變?yōu)?E 時，B 就變成 A 1B ，即：(A,B)c(E, A 1B) ；r、求解線形方程組： 對于 n 個未知數(shù) n 個方程 Axb ，如果 ( A, b)(E , x) ，則 A 可逆，且 xA 1b ；4. 初等矩陣和對角矩陣的概念：、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；1、2，左乘矩陣A ， i 乘 A 的各行元素；右乘，i 乘 A 的各列元n素；111、對調(diào)兩行或兩列， 符號 E (i , j ) ，且 E (i,j )1 E (i,j )，例如： 11；11、倍乘某行或某列，符號E(i ( k) ，)且

21、 E ( i( k )1 )E1 (i (， )例) 如 ：k名師推薦精心整理學習必備1111k( k0) ；k11 、 倍 加 某 行 或 某 列 ， 符 號 E (ij ( k), 且 E ( ij(k) 1E (ij ( k ) ， 如 ：11k1k11(k0) ；115. 矩陣秩的基本性質(zhì)：、 0 r ( Am n ) min( m, n) ；、 r ( AT )r ( A) ；、若 AB ，則 r ( A) r ( B ) ；、若 P 、 Q 可逆，則 r (A)r ( PA)r (AQ )r (PAQ ) ；（ 可逆矩陣不影響矩陣的秩）、 max( r ( A), r ( B)r

22、(A, B)r ( A)r ( B) ；（ ）、 r ( A B)r ( A)r (B ) ；（ ）、 r ( AB )min( r (A), r ( B) ；（ ）、如果 A 是 m n 矩陣， B 是 n s 矩陣，且 AB0，則：（ ）、 B 的列向量全部是齊次方程組AX0 解（轉(zhuǎn)置運算后的結(jié)論）；、 r (A)r (B)n、若 A、 B均為 n 階方陣，則 r ( AB )r ( A)r ( B )n ；6.三種特殊矩陣的方冪：、秩為 1 的矩陣：一定可以分解為 列矩陣（向量） 行矩陣（向量） 的形式，再采用結(jié)合律；1ac、型如 01b 的矩陣：利用二項展開式；001二項展開(a b)

23、nCn0anCn1 an 1b1Cnm an m bmCnn 1a1bn 1 Cnn bn注：、 (a b) n 展開后有 n1 項；、 Cnmn(n 1)(n m 1)n!Cn0Cnn11 2 3mm!( nm)!、組合的性質(zhì)： CnmCnnmCnm1 CnmCnm1、利用特征值和相似對角化：7. 伴隨矩陣：nr ( A)n、伴隨矩陣的秩：r (A* )1r (A)n1；0r (A)n1式：nCnm a m bn m ；m 0nCnr2nrCnrnCnr 11 ；r0名師推薦精心整理學習必備、伴隨矩陣的特征值：A (AXX,A*A A 1A* XA X)；、 A*AA1、 A*n 1A8.

24、關(guān)于 A 矩陣秩的描述：、 r ( A)n ， A中有 n 階子式不為0， n1 階子式全部為0；（兩句話）、 r ( A)n ， A中有 n 階子式全部為 0；、 r ( A)n ， A中有 n 階子式不為0；9. 線性方程組： Ax b ，其中 A 為 m n 矩陣，則：、 m 與方程的個數(shù)相同，即方程組Axb 有 m 個方程；、 n 與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同，方程組Axb 為 n 元方程；10. 線性方程組 Ax b 的求解：、對增廣矩陣 B 進行初等行變換（ 只能使用初等行變換 ）；、齊次解為對應(yīng)齊次方程組的解；、特解：自由變量賦初值后求得；11. 由 n 個未知數(shù) m 個方程的方程組

25、構(gòu)成 n 元線性方程：a11 x1a12 x2a1n xnb1、 a21 x1a22 x2a2n xnb2；am 1x1 am 2 x2anm xnbna11a12a1nx1b1、 a21a22a2nx2b2Ax b（向量方程， A 為 mn 矩陣， m 個方程，am1am 2amnxmbmn 個未知數(shù)）x1、 a1a2x2anxn、 a1 x1a2 x2an xn、有解的充要條件：r ( A)b1（全部按列分塊，其中b2）；bn（線性表出）r (A,)n （ n 為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）4、向量組的線性相關(guān)性1. m 個 n 維列向量所組成的向量組A ：1,2 ,m 構(gòu)成 n m 矩陣 A (

26、1, 2, m ) ；T11T ,2T ,mT 構(gòu)成 m n 矩陣 BTm 個 n 維行向量所組成的向量組B ：,2；Tm含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)；2.、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)Ax0 有、無非零解； （齊次線性方程組）、向量的線性表出Axb 是否有解；（線性方程組）、向量組的相互線性表示AXB 是否有解；（矩陣方程）名師推薦精心整理學習必備3.矩陣 Am n 與 Bl n 行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組Ax0 和 Bx0 同解；( P101 例 14)4. r ( AT A) r (A) ； ( P101 例 15)5. n 維向量線性相關(guān)的幾何意義：、線性相關(guān)0 ；

27、、,線性相關(guān)線性相關(guān),坐標成比例或共線（平行）；共面；6. 線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若1,2 ,s 線性相關(guān)，則1 ,2 ,s, s 1 必線性相關(guān)；若1,2 ,s 線性無關(guān)，則1 ,2 ,s 1 必線性無關(guān)；（向量的個數(shù)加加減減，二者為對偶）若 r 維向量組A 的每個向量上添上nr 個分量，構(gòu)成n 維向量組B ：若 A 線性無關(guān)，則B 也線性無關(guān)；反之若B 線性相關(guān)，則A 也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減）簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定；7.向量組 A（個數(shù)為 r ）能由向量組B（個數(shù)為 s ）線性表示， 且 A 線性無關(guān)， 則 rs (二版 P74 定理 7)；向量組 A 能由向量組B 線性表示，則r (A)r (B ) ；（ P86 定理 3）向量組 A 能由向量組B 線性表示AXB 有解；r (A)r ( A, B ) （ P85 定理 2）向量組 A 能由向量組 B 等價r ( A)r (B)r ( A, B) （P85定理 2推論）8. 方陣 A可逆存在有限個初等矩陣P1, P2 , Pl ，使 AP1P2Pl ；r、矩陣行等價：A BPAB （左乘， P 可逆）Ax0 與 Bx0 同解c、矩陣列等價：A BAQB （右乘， Q 可逆）；、矩陣等價：A BPAQB（P、Q可逆）；9. 對于矩陣 Am n 與 Bl n ：、若 A 與 B 行等