三角形三心課件教案

1、三角形的重心重心是三角形三邊中線的交點，三線交一點可用燕尾定理證明，十分簡單。 三角形重心已知：abc中，d為bc中點，e為ac中點，ad與be交于o，co延長線交ab于f。求證：f為ab中點。 證明：根據(jù)燕尾定理，saob=saoc，又saob=sboc，saoc=sboc，再應(yīng)用燕尾定理即得af=bf，命題得證。 重心的幾條性質(zhì)： 1.重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。 2.重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。 3.重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。 4.在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其坐標(biāo)為(x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y

2、3)/3)；空間直角坐標(biāo)系橫坐標(biāo)：(x1+x2+x3)/3 縱坐標(biāo)：(y1+y2+y3)/3 豎坐標(biāo)：（z1+z2+z3）/3 5.重心和三角形3個頂點的連線的任意一條連線將三角形面積平分。 證明：剛才證明三線交一時已證。 6.重心是三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點。 如果用塞瓦定理證，則極易證三條中線交于一點。 如圖，在abc中，ad、be、cf是中線 則af=fb，bd=dc，ce=ea (af/fb)*(bd/dc)*(ce/ea)=1 ad、be、cf交于一點 即三角形的三條中線交于一點 定義三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心 三角形外接圓的圓心也就是三角形三邊中垂線的交點,三角形的三個

3、頂點就在這個外接圓上 編輯本段三條中垂線共點證明. l、m為中垂線 af=bf=fc 所以bc中垂線必過f 編輯本段三角形外心的性質(zhì)設(shè)abc的外接圓為g(r)，角a、b、c的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2 性質(zhì)1：（1）銳角三角形的外心在三角形內(nèi)； （2）直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點重合； （3）鈍角三角形的外心在圓心上. 性質(zhì)2：bgc=2a，（或bgc=2(180°-a). 性質(zhì)3：gac+b=90° 證明：如圖所示延長ag與圓交與p a、c、b、p四點共圓 p=b p+gac=90° gac+b=90° 性質(zhì)4：點g是平面ab

4、c上一點，點p是平面abc上任意一點，那么點g是abc外心的充要條件是： （1）向量pg=(tanb+tanc)向量pa+(tanc+tana)向量pb+(tana+tanb)向量pc)/2(tana+tanb+tanc). 或（2）向量pg=(cosa/2sinbsinc)向量pa+(cosb/2sincsina)向量pb+(cosc/2sinasinb)向量pc. 性質(zhì)5：三角形三條邊的垂直平分線的交于一點，該點即為三角形外接圓的圓心.外心到三頂點的距離相等。 性質(zhì)6：點g是平面abc上一點，那么點g是abc外心的充要條件(向量ga+向量gb)·向量ab= (向量gb+向量gc)

5、·向量bc=(向量gc+向量ga)·向量ca=向量0. 編輯本段三角形外心的做法分別作三角形兩邊的中垂線交點計作o 以o為圓心oa為半徑畫圓 圓o即為所求 編輯本段外心的求法設(shè)三角形三邊及其對角分別為a、b、c，a、b、c 正弦定理有r=a/（2sina）=b/（2sinb）=c/（2sinc） r=abc/（4sabc）定義在三角形中,三個角的角平分線的交點是這個三角形內(nèi)切圓的圓心而三角形內(nèi)切圓的圓心就叫做三角形的內(nèi)心, 編輯本段三條角分線共點證明證明：如圖所示 作b、c角分線與ac、ab交與f、d cd與bf交與i連接ai交bc于e 由塞瓦定理有（ad/bd）*（be/

6、ce）*（cf/af）=1 bf、cd為角分線 由角分線定理有ad/bd=ac/bc cf/af=bc/ab be/ce=ab/ac 由角平分線定理的逆定理有ae為a的角分線 證畢 編輯本段三角形內(nèi)心的性質(zhì)設(shè)abc的內(nèi)切圓為i(r)，角a、b、c的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2 1、三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r 2、bic=90°+a/2 3、如圖 在rtabc中，a=90°內(nèi)切圓切bc于d則sabc=bd*cd 4、點o是平面abc上任意一點，點i是abc內(nèi)心的充要條件是： 向量oi=a(向量oa)+b(向量ob)+c(向量oc)/(a+

7、b+c) 5、abc中，a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，那么abc內(nèi)心i的坐標(biāo)是： (ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c) 6、(歐拉定理)abc中，r和r分別為外接圓為和內(nèi)切圓的半徑，o和i分別為其外心和內(nèi)心，則oi2=r2-2rr 7、點o是平面abc上任意一點，點i是abc內(nèi)心的充要條件是： a(向量oa)+b(向量ob)+c(向量oc)=向量0 8、雙曲線上任一支上一點與兩焦點組成的三角形的內(nèi)心在實軸的射影為對應(yīng)支的頂點。 9、abc中，內(nèi)切圓分別與ab，bc，ca相切于p，q，r，則ap=ar=（b+c-a）/2，bp =bq =(a +c-b)/2,cr =cq =(b+a-c)/2,r=(b+c-a)tan(a/2)/2。 10、（內(nèi)角平分線定理） abc中，0為內(nèi)心，a 、b、 c的內(nèi)角平分線分別交bc、ac、ab于q、p、r，則bq/qc=c/b, cp/pa=a/c, br/ra=a/b. 編輯本段三角形內(nèi)心的做法做出三角形的內(nèi)接圓o 過o分別作ac、bc（任意兩邊）垂線與圓o交于e、f連接